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辽宁省大连金石高级中学、志德高级中学中2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷（原卷版+解析版）
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这是一份辽宁省大连金石高级中学、志德高级中学中2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷（原卷版+解析版），文件包含辽宁省大连金石高级中学志德高级中学中2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷原卷版docx、辽宁省大连金石高级中学志德高级中学中2023-2024学年高二下学期4月考试数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
祝考试顺利
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案选项涂黑．
3．非选择题，用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效．
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量的期望为，则（ ）
A. 9B. 11C. 27D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据期望的性质计算可得.
【详解】因，所以.
故选：B
2. 已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布函数的对称性即可求解.
【详解】由题可知服从正态分布，
则，又，故，
故.
故.
故选：B.
3. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 252B. 210C. 126D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为
．
故选：B．
4. 一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，利用全概率公式计算可得.
【详解】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂，
事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，
所以
.
故选：A
5. 某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A. 84B. 72C. 76D. 130
【答案】D
【解析】
【分析】求出每种情况数量，再利用分类加法计数原理相加即可.
【详解】依据题意分两类：第一类为：只有一个选中，
则不同演出顺序有种情况；
第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况，
故不同演出顺序的种数为，
故选：D．
6. 某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用原则求出的值，利用正态曲线的对称性求出的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由题知，事件为“该同学的成绩满足”，
因为，
所以
，
又，所以，
故选：A．
7. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，
因为该电路正常工作为事件，则
，
故选：A．
8. 乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国十分普及，深受国人喜爱，在民间经常开展各种乒乓球比赛．现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为，若比赛为“五局三胜”制，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，求出和，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，
则，
，
故，
故选：D
二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.
【详解】依题意可得，，，，
所以，故A正确、B正确、C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以所得的余数是
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求出，令求出，令可得，即可求出A、D，又，利用二项式展开式，即可判断B，对令即可判断C.
【详解】，
令，可得，
再令，可得，
所以，故A错误；
由于，即的展开式中各项系数和，
令可得，
，故C错误．
由题意，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被整除，除以所得的余数是，故B正确．
又，
令可得，
又，
所以，故D错误.
故选：ACD．
11. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A. 四名同学的报名情况共有种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断C；由条件概率可判断D.
【详解】解：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有种，A错误；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，
再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D，由已知有：，，
所以，D正确.
故选：CD.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有选法有_________种.
【答案】70
【解析】
【分析】分两种情况，结合组合知识求出答案.
【详解】若选出的1男2女，此时选法有种，
若选出的2男1女，此时选法有种，
故男女生都要有的选法有种.
故答案为：70
13. 已知的展开式中的系数为80，则m的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，，
在的展开式中，由，
令，得无解，即的展开式中没有的项；
在的展开式中，由，
令，解得，
即的展开式中的项的系数为，
所以的展开式中的系数为，
又因为的展开式中的系数为80，
所以，解得.
所以m的值为.
故答案为：.
14. 近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有______种方案.
【答案】36
【解析】
【分析】将2天的6个时段编号，分类考虑，先排大剧院与洪崖洞项目，再排“轻轨穿楼”，根据分类加法以及分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】将第1天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为1，2，3，
第2天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为4，5，6，
由于大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，
则仅有2、3或5、6两种排法，
若大剧院与洪崖洞的时段为2、3，则“轻轨穿楼”在1，4，5中选一个，有种选法，
其余3个项目在剩下的3个时段全排列，共有种排法，故共有种排法；
同理若大剧院与洪崖洞的时段为5、6，也有18种排法，
故共有（种）方案，
故答案为：36
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，.
【答案】（1）列联表见解析，有把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关；
（2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可.
【小问1详解】
依题意可得列联表如下：
零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联，
则，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.
则X的可能取值为0、1、2、3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
所以.
16. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
【答案】（1）；（2）是.
【解析】
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列；
（3）依题意，即可求出的分布列，再求出数学期望，即可得解；
【详解】解：（1）样本中一共有件产品，包装质量在克的产品有件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率
（2）依题意的可能取值为、、；
，，
故的分布列为：
（3）由（2）可得
依题意，则的可能取值为，，
，，
故的分布列为：
所以
所以
18. 联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；
（2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.
（3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问1详解】
两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，
所以得分大于100分的概率.
【小问2详解】
抢答环节任意一题甲得15分的概率.
【小问3详解】
的可能取值为2，3，4，5，
由抢答任意一题甲得15分的概率为，得抢答任意一题乙得15分的概率为，
，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
19. 在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
【答案】（1）第6项和第7项；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二项式系数的性质求解即得.
（3）利用（1）的结论，按正负比较即得.
【小问1详解】
的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
【小问2详解】
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
【小问3详解】
由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
X
0
1
2
3
P
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价
销售量
分组区间(单位：克)
产品件数
3
4
7
5
1
2
3
4
5
祝考试顺利
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案选项涂黑．
3．非选择题，用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效．
一、选择题：本题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知随机变量的期望为，则（ ）
A. 9B. 11C. 27D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】根据期望的性质计算可得.
【详解】因，所以.
故选：B
2. 已知某市高三女生在国家体质健康测试中的50米跑成绩（单位：s）近似地服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据正态分布函数的对称性即可求解.
【详解】由题可知服从正态分布，
则，又，故，
故.
故.
故选：B.
3. 在的展开式中，项的系数为（ ）
A. 252B. 210C. 126D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
则的展开式中项的系数为，
所以的展开式中项的系数为
．
故选：B．
4. 一玩具制造厂的某一配件由、、三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂、、的次品率分别为，，，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，则抽到的是次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，利用全概率公式计算可得.
【详解】设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂，
事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂，
所以
.
故选：A
5. 某班组织文艺晚会，准备从等7个节目中选出3个节目演出，要求两个节目中至少有一个被选中，且同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为（ ）
A. 84B. 72C. 76D. 130
【答案】D
【解析】
【分析】求出每种情况数量，再利用分类加法计数原理相加即可.
【详解】依据题意分两类：第一类为：只有一个选中，
则不同演出顺序有种情况；
第二类为：同时选中，则不同演出顺序有种情况，
故不同演出顺序的种数为，
故选：D．
6. 某校高三学生的一次期中考试的数学成绩（单位：分）近似服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为为事件，记该同学的成绩为为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为（ ）（附参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用原则求出的值，利用正态曲线的对称性求出的值，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】由题知，事件为“该同学的成绩满足”，
因为，
所以
，
又，所以，
故选：A．
7. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，
因为该电路正常工作为事件，则
，
故选：A．
8. 乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国十分普及，深受国人喜爱，在民间经常开展各种乒乓球比赛．现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为，若比赛为“五局三胜”制，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，求出和，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，
则，
，
故，
故选：D
二、选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.
【详解】依题意可得，，，，
所以，故A正确、B正确、C错误；
，故D正确.
故选：ABD
10. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以所得的余数是
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令求出，令求出，令可得，即可求出A、D，又，利用二项式展开式，即可判断B，对令即可判断C.
【详解】，
令，可得，
再令，可得，
所以，故A错误；
由于，即的展开式中各项系数和，
令可得，
，故C错误．
由题意，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被整除，除以所得的余数是，故B正确．
又，
令可得，
又，
所以，故D错误.
故选：ACD．
11. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A. 四名同学的报名情况共有种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；将四名志愿者先分组，再分到三个活动可判断B；先求出四名同学最终只报了两个项目的方法总数，再结合A选项可判断C；由条件概率可判断D.
【详解】解：对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有种，A错误；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，
再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，
故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B错误；
对于C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D，由已知有：，，
所以，D正确.
故选：CD.
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有选法有_________种.
【答案】70
【解析】
【分析】分两种情况，结合组合知识求出答案.
【详解】若选出的1男2女，此时选法有种，
若选出的2男1女，此时选法有种，
故男女生都要有的选法有种.
故答案为：70
13. 已知的展开式中的系数为80，则m的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及二项式展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，，
在的展开式中，由，
令，得无解，即的展开式中没有的项；
在的展开式中，由，
令，解得，
即的展开式中的项的系数为，
所以的展开式中的系数为，
又因为的展开式中的系数为80，
所以，解得.
所以m的值为.
故答案为：.
14. 近年来，重庆以独特的地形地貌、城市景观和丰富的美食吸引着各地游客，成为“网红城市”．远道而来的小明计划用2天的时间游览以下五个景点：解放碑、洪崖洞、重庆大剧院、“轻轨穿楼”打卡点、磁器口，另外还要安排一次自由购物，因此共计6项内容．现将每天分成上午、下午、晚上3个时间段，每个时段完成1项内容，其中大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，“轻轨穿楼”必须安排在白天，其余项目没有限制，那么共有______种方案.
【答案】36
【解析】
【分析】将2天的6个时段编号，分类考虑，先排大剧院与洪崖洞项目，再排“轻轨穿楼”，根据分类加法以及分步乘法原理，即可求得答案.
【详解】将第1天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为1，2，3，
第2天的上午、下午、晚上3个时间段分别编号为4，5，6，
由于大剧院与洪崖洞的时段必须安排在同一天且相邻，洪崖洞必须安排在晚上，
则仅有2、3或5、6两种排法，
若大剧院与洪崖洞的时段为2、3，则“轻轨穿楼”在1，4，5中选一个，有种选法，
其余3个项目在剩下的3个时段全排列，共有种排法，故共有种排法；
同理若大剧院与洪崖洞的时段为5、6，也有18种排法，
故共有（种）方案，
故答案为：36
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式：，.
【答案】（1）列联表见解析，有把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关；
（2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可.
【小问1详解】
依题意可得列联表如下：
零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联，
则，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关.
【小问2详解】
由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.
则X的可能取值为0、1、2、3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
所以.
16. 某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间一组数据如下表所示：
（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
参考公式：回归直线方程，其中.
参考数据：，.
【答案】（1）；（2）是.
【解析】
【分析】（1）先由表中的数据求出，再利用已知的数据和公式求出，从而可求出关于的回归直线方程；
（2）当时，求出的值，再与15比较即可得结论
【详解】（1）因为，，
所以，
得，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，
则，
故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
包装质量在克的产品为一等品，其余为二等品
（1）估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
（2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望与则望的大小.(结论不要求证明)
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）直接利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，列出分布列；
（3）依题意，即可求出的分布列，再求出数学期望，即可得解；
【详解】解：（1）样本中一共有件产品，包装质量在克的产品有件，故从该流水线任取一件产品为一等品的概率
（2）依题意的可能取值为、、；
，，
故的分布列为：
（3）由（2）可得
依题意，则的可能取值为，，
，，
故的分布列为：
所以
所以
18. 联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛，决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分；抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分；两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立.
（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率；
（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率；
（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（1）；
（2）；
（3）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即得.
（2）甲获得15分的事件是甲抢到答正确与乙抢到答错的事件和，再列式求出概率.
（3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.
【小问1详解】
两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，
所以得分大于100分的概率.
【小问2详解】
抢答环节任意一题甲得15分的概率.
【小问3详解】
的可能取值为2，3，4，5，
由抢答任意一题甲得15分的概率为，得抢答任意一题乙得15分的概率为，
，，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
19. 在的展开式中，
（1）系数的绝对值最大的项是第几项？
（2）求二项式系数最大的项.
（3）求系数最大的项.
【答案】（1）第6项和第7项；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二项式系数的性质求解即得.
（3）利用（1）的结论，按正负比较即得.
【小问1详解】
的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
【小问2详解】
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
【小问3详解】
由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
X
0
1
2
3
P
月份
1
2
3
4
5
6
销售单价
销售量
分组区间(单位：克)
产品件数
3
4
7
5
1
2
3
4
5
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