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2024学年吉林省长春市德惠市九年级第一次模拟考试数学模拟试题（原卷版+解析版）
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一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则的取值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据，且a在b的左侧，即可确定，进一步即可得出答案．
【详解】解：∵，且a在b的左侧，
∴，
故只有符合题意，
故选：A．
2. 国家游泳中心—“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：，进行表示即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键．
3. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
4. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义求解可得．
【详解】如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
5. 将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．
【详解】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算．
6. 如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
7. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
过点作于点．证明，利用面积法求出即可．
【详解】如图，过点作于点．
由作图过程可知：平分，
∴，
设，则有
∴，
∵为上一动点，
则的最小值为，
故选：B．
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．提取，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
10. 方程组的解是__________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据方程组的特点，选加减消元法．
【详解】解：在方程组中，
①②得：，
解得：．
代入①得：．
即原方程组的解为．
【点睛】要根据方程组的特点，选择适当的解法．
11. 当时，关于的方程根的情况是__________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：关于的方程，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
12. 如图所示的正方形网格中，是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点，则弧与弧的长度之比为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则，
∴，
∴弧与弧的长度之比为，
故答案为：．
13. 在数学课外实践活动中，小欣在河北岸上，在处测得对岸的灯塔位于南偏东方向，往东走米到达处，测得对岸的灯塔位于南偏东方向．则灯塔到河北岸的距离约为______米(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点作于点，根据题意得，，，米，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论；
【详解】过点作于点，
由题意知，，，米，
，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
16. 中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体是：A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率．
【答案】
【解析】
分析】本题考查画树状图或列表法求概率，根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图为：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种．
∴至少有1张图案为“A指南针”的概率为：．
17. 在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？
【答案】甲骑行的平均速度为每分钟千米
【解析】
【分析】设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，根据题意列出分式方程求解并检验即可．
【详解】解：设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，
根据题意，得 ，
解得，
经检验是原方程的根，且符合题意，
（千米/分），
甲骑行的平均速度为每分钟千米．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，准确建立分式方程，并注意求解之后要检验是解题关键．
18. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析．
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．
【小问1详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
19. 香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1-5月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．
已知1-5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
（1）求出的值．
（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为__________，中位数为__________．
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
【答案】（1）
（2）110.9，89.8
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，求中位数和众数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）利用总数，频数和频率之间的关系，进行求解即可；
（2）根据中位数和众数的定义，进行求解即可；
（3）根据统计图获取信息即可．
【小问1详解】
解：，
∴，；
【小问2详解】
由图可知，偏酸口味售出的数量最多，故众数为；
售出的玻璃瓶装的香醋的总数量为，
∵，
∴中位数出在适中口味中，即中位数为；
故答案为：110.9，89.8；
【小问3详解】
由图可知：玻璃瓶装的香醋的售量高于塑料瓶装．（不唯一，合理即可）
20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）
（1）图1中线段上确定一点，使得；
（2）在图2中作出的边上的高；
（3）在图3中作出的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图，设与网格交于点，利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（2）如图，延长交于点，连接即可；
（3）如图，取格点，连接即可．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，直线即为所求．
【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：）之间的关系如图所示．
（1）小明经计算甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式为：，请你求出乙种苹果销售额与销售量之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）分段和段两种情况，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当时，设，
由图象可知，当时，，
∴，
∴；
当时，
设，
由图象可知：，
解得：，
∴，
综上：；
【小问2详解】
当，由题意，得：，
解得：（舍去）；
当时，，
解得：；
故．
22. 【探究】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，在矩形中，为对角线，，E、F分别为边、上的点，连结、，分别将和沿、翻折，使点B、D的对称点G、H都落在上．求证：四边形是平行四边形．”以下是两名学生的解题方法：
甲学生的方法是：首先由矩形的性质和轴对称的性质证得，，，，易得，可得≌，由平行四边形的判定定理可得结论．
乙学生的方法是：不利用三角形全等知识，依据平行四边形的定义证明．
（1）甲学生证明四边形是平行四边形所用的判定定理的内容是______．
（2）用乙学生的方法完成证明过程．
【应用】当学生们完成证明后，老师又提出了一个问题：
若四边形是菱形，则的值为______．
【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）证明过程见详解；应用：
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质、矩形的性质，找出全等条件，用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明即可；
（2）根据翻折的性质，证出，再证明，即可；根据菱形和翻折的性质可求出，从而可求.
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形.
故答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
应用
解：四边形是菱形，
，
由翻折可知：，
，
，
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的性质、常见三角函数值等知识，熟练掌握基本的判定方法和性质，并会根据题意灵活运用解决问题是解题的关键是．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
（1）求A、B两点坐标；
（2）当时，__________；
（3）设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
（4）当为轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）1 （3），（）， ．
（4）当为轴对称图形，t的值是或或
【解析】
【分析】（1）把，分别代入函数解析式，求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，即可求出答案；
（3）先证明，得到，根据列出y关于t的一元二次函数，根据函数得性质求解即可．
（4）当为轴对称图形，即为等腰三角形或者等边三角形，根据勾股定理分别求出、、的平方，分为三种情况：当时，当时，当时，以及当代入求出t值即可．
【小问1详解】
解：直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
，．
【小问2详解】
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：1．
【小问3详解】
∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴当时，．
【小问4详解】
当为轴对称图形，即为等腰三角形，
如图1，过作，交于，交直线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分为四种种情况：①如图2，当时，，
（不满足，舍去），；
②如图2，
当时，，
（舍去），；
③如图3，
当时，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④当时，
即，t无解．
故不存在这样的t值．
故当为轴对称图形时，的值是或或
【点睛】本题考查了二次函数的面积综合问题，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定以及性质，勾股定理的应用等知识，用了分类讨论思想．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；
（3）点为此函数图象上任意一点，其僙坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为；
（3）①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）利用待定系数法求解；
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解．
【小问1详解】
解：将点 代入，得：
解得：
．
【小问2详解】
解：，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，取最小值为
∴当时，取最大值：．
【小问3详解】
解：①
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得：；
解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点，
如图，
增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点，
直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为
时，与图象有个交点，
当时，与图象有个交点，
综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点，
∴只有个交点时的取值范围是：或时．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/（mg/100mL）
71.2
89.8
110.9
一、选择题（每小题3分，共24分）
1. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则的取值可以是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据，且a在b的左侧，即可确定，进一步即可得出答案．
【详解】解：∵，且a在b的左侧，
∴，
故只有符合题意，
故选：A．
2. 国家游泳中心—“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法：，进行表示即可．
【详解】解：；
故选D．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键．
3. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体．
【详解】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体知识，解题的关键是具有较强的空间想象能力，难度不大．
4. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A. 区域①处B. 区域②处C. 区域③处D. 区域④处
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义求解可得．
【详解】如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
5. 将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图1得，一个小长方形的长为a，宽为b，由图2得：中间空的小正方形的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，代入计算．
【详解】解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算．
6. 如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
7. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
过点作于点．证明，利用面积法求出即可．
【详解】如图，过点作于点．
由作图过程可知：平分，
∴，
设，则有
∴，
∵为上一动点，
则的最小值为，
故选：B．
8. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A. 4B. ﹣4C. ﹣3D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．提取，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
10. 方程组的解是__________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据方程组的特点，选加减消元法．
【详解】解：在方程组中，
①②得：，
解得：．
代入①得：．
即原方程组的解为．
【点睛】要根据方程组的特点，选择适当的解法．
11. 当时，关于的方程根的情况是__________．
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：关于的方程，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
12. 如图所示的正方形网格中，是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点，则弧与弧的长度之比为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长的计算，根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：由勾股定理得，，
则，
∴，
∴弧与弧的长度之比为，
故答案为：．
13. 在数学课外实践活动中，小欣在河北岸上，在处测得对岸的灯塔位于南偏东方向，往东走米到达处，测得对岸的灯塔位于南偏东方向．则灯塔到河北岸的距离约为______米(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点作于点，根据题意得，，，米，根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论；
【详解】过点作于点，
由题意知，，，米，
，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点．
【答案】8
【解析】
【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
三、解答题（共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【解析】
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解．
【详解】
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键．
16. 中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体是：A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率．
【答案】
【解析】
分析】本题考查画树状图或列表法求概率，根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图为：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种．
∴至少有1张图案为“A指南针”的概率为：．
17. 在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？
【答案】甲骑行的平均速度为每分钟千米
【解析】
【分析】设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，根据题意列出分式方程求解并检验即可．
【详解】解：设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，
根据题意，得 ，
解得，
经检验是原方程的根，且符合题意，
（千米/分），
甲骑行的平均速度为每分钟千米．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，准确建立分式方程，并注意求解之后要检验是解题关键．
18. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析．
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证．
【小问1详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【小问2详解】
证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
19. 香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1-5月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．
已知1-5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
（1）求出的值．
（2）售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为__________，中位数为__________．
（3）根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
【答案】（1）
（2）110.9，89.8
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，求中位数和众数，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）利用总数，频数和频率之间的关系，进行求解即可；
（2）根据中位数和众数的定义，进行求解即可；
（3）根据统计图获取信息即可．
【小问1详解】
解：，
∴，；
【小问2详解】
由图可知，偏酸口味售出的数量最多，故众数为；
售出的玻璃瓶装的香醋的总数量为，
∵，
∴中位数出在适中口味中，即中位数为；
故答案为：110.9，89.8；
【小问3详解】
由图可知：玻璃瓶装的香醋的售量高于塑料瓶装．（不唯一，合理即可）
20. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）
（1）图1中线段上确定一点，使得；
（2）在图2中作出的边上的高；
（3）在图3中作出的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）如图，设与网格交于点，利用三角形的中位线定理解决问题即可；
（2）如图，延长交于点，连接即可；
（3）如图，取格点，连接即可．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求；
【小问3详解】
解：如图，直线即为所求．
【点睛】本题考查作图，三角形的中位线定理，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：）之间的关系如图所示．
（1）小明经计算甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式为：，请你求出乙种苹果销售额与销售量之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）分段和段两种情况，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当时，设，
由图象可知，当时，，
∴，
∴；
当时，
设，
由图象可知：，
解得：，
∴，
综上：；
【小问2详解】
当，由题意，得：，
解得：（舍去）；
当时，，
解得：；
故．
22. 【探究】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，在矩形中，为对角线，，E、F分别为边、上的点，连结、，分别将和沿、翻折，使点B、D的对称点G、H都落在上．求证：四边形是平行四边形．”以下是两名学生的解题方法：
甲学生的方法是：首先由矩形的性质和轴对称的性质证得，，，，易得，可得≌，由平行四边形的判定定理可得结论．
乙学生的方法是：不利用三角形全等知识，依据平行四边形的定义证明．
（1）甲学生证明四边形是平行四边形所用的判定定理的内容是______．
（2）用乙学生的方法完成证明过程．
【应用】当学生们完成证明后，老师又提出了一个问题：
若四边形是菱形，则的值为______．
【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（2）证明过程见详解；应用：
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质、矩形的性质，找出全等条件，用 “一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明即可；
（2）根据翻折的性质，证出，再证明，即可；根据菱形和翻折的性质可求出，从而可求.
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形.
故答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【小问2详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
应用
解：四边形是菱形，
，
由翻折可知：，
，
，
故答案为
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的性质、常见三角函数值等知识，熟练掌握基本的判定方法和性质，并会根据题意灵活运用解决问题是解题的关键是．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
（1）求A、B两点坐标；
（2）当时，__________；
（3）设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
（4）当为轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）1 （3），（）， ．
（4）当为轴对称图形，t的值是或或
【解析】
【分析】（1）把，分别代入函数解析式，求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，即可求出答案；
（3）先证明，得到，根据列出y关于t的一元二次函数，根据函数得性质求解即可．
（4）当为轴对称图形，即为等腰三角形或者等边三角形，根据勾股定理分别求出、、的平方，分为三种情况：当时，当时，当时，以及当代入求出t值即可．
【小问1详解】
解：直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
，．
【小问2详解】
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：1．
【小问3详解】
∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴当时，．
【小问4详解】
当为轴对称图形，即为等腰三角形，
如图1，过作，交于，交直线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分为四种种情况：①如图2，当时，，
（不满足，舍去），；
②如图2，
当时，，
（舍去），；
③如图3，
当时，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④当时，
即，t无解．
故不存在这样的t值．
故当为轴对称图形时，的值是或或
【点睛】本题考查了二次函数的面积综合问题，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定以及性质，勾股定理的应用等知识，用了分类讨论思想．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值；
（3）点为此函数图象上任意一点，其僙坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为；
（3）①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．
（1）利用待定系数法求解；
（2）将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
（3）①由求出取值范围，②通过数形结合求解．
【小问1详解】
解：将点 代入，得：
解得：
．
【小问2详解】
解：，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，取最小值为
∴当时，取最大值：．
【小问3详解】
解：①
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得：；
解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点，
如图，
增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点，
直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为
时，与图象有个交点，
当时，与图象有个交点，
综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点，
∴只有个交点时的取值范围是：或时．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/（mg/100mL）
71.2
89.8
110.9
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