2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年安徽省合肥市瑶海区八年级上学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．合B．肥C．瑶D．海
2．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
3．直线y＝4x﹣5的截距是（ ）
A．4B．﹣4C．5D．﹣5
4．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
5．如图，D，E在线段AB，AC上，且AD＝AE，再添加条件（ ），不能得到△ABE≌△ACD．
A．∠B＝∠CB．∠BDF＝∠CEFC．AB＝ACD．BE＝CD
6．已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则P点的坐标（ ）
A．（﹣2，2）B．（6，6）C．（2，﹣2）D．（﹣6，﹣6）
7．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y1＞y2，且kb＜0，则直线y＝kx+b（k≠0）在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，交AB，AC于E，F两点，连接EF，以点B为顶点作∠1，使得∠1＝∠2，下列结论：①EB＝ED；②△BEG≌△EDF；③∠A＝∠EDF；④|BE﹣AE|＝GD．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，且BA＝BE，CA＝CD，设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝xB．y＝C．y＝90°﹣D．y＝180°﹣
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
12．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是： ．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝5，CH＝2，则BE＝ ．
14．如图，直线l1：y1＝ax+b经过（﹣3，0），（0，1）两点，直线l2：y2＝kx﹣2；
①若l1∥l2，则k的值为 ；
②当x＜1时，总有y1＞y2，则k的取值范围是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的一次函数y＝（2m+1）x﹣2，其图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣1）、B（2，﹣2），C（0，﹣3）．
（1）将△ABC平移，平移后点A的对应点为A1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2的坐标．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
18．已知△ABC的三边长分别为m+2，2m，8．
（1）求m的取值范围；
（2）如果△ABC是等腰三角形，求m的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：在△ABC中，以AB，AC为直角边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，其中∠ABD＝
＝∠ACE＝90°，且AD＝AE，DB＝EC．
（1）求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）若∠BAC与∠ABC的角平分线交于F点，且∠F＝130°，求∠BAC的度数．
20．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线l2：y＝﹣x+4与x轴交于D点，与y轴交于C点，l1与l2交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）连接BD，求△BPD的面积．
六、（本题满分12分）
21．如图，∠ABC＝100°．
（1）用尺规作出∠B的角平分线BM和线段BC的垂直平分线GH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）按下面要求画出图形：BM和GH交于点D，GH交BC于点E，连接CD并延长，交AB于点F；
（3）求证：FD＝2DE．
七、（本题满分12分）
22．为迎接元旦，某食品加工厂计划用三天时间生产某种糕点600斤，其库存量稳定增加，从第四天开始停止生产，进行销售，每天销售150斤．图中的折线OAB表示该糕点的库存量y（斤）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）B点坐标为 ，线段AB所在直线的解析式为 ．
（2）在食品销售期间，某超市提前预定当天这种糕点150斤的销量，并搭配活动将这批糕点分甲乙两种方式售卖，甲种方式每斤8元，乙种方式每斤12元，同时为了保证甲种方式的数量不低于乙种方式，求该超市卖完全部糕点销售总额的最大值．
八、（本题满分14分）
23．已知，在△AOB和△COD中，AO＝CO，∠AOB＝∠COD＝∠α，∠B＝∠D，且A，O，D三点在同一条直线上．
（1）如图1，求证：OB＝OD；
（2）如图2，连接AC、DB并延长交于点Q．当∠α＝120°时，判断△QAD的形状，并说明理由；
（3）如图3，过D点作DG⊥AQ，垂足为G，若QB＝4，DG＝5，当∠α＝135°时，求QC的长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．合B．肥C．瑶D．海
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形的定义进行判断即可．
解：“合”能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形，
“肥”、“瑶”、“海”不能找到这样的一条直线，使其沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形，
故选：A．
2．下列各点中，位于第二象限的是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【分析】根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
解：因为第二象限的点的坐标的特征是（﹣，+），
所以（﹣2，3）在第二象限，
故选：C．
3．直线y＝4x﹣5的截距是（ ）
A．4B．﹣4C．5D．﹣5
【分析】代入x＝0求出y值，此题得解．
解：当x＝0时，y＝4×0﹣5＝﹣5，
∴直线y＝4x﹣5的截距是﹣5．
故选：D．
4．在△ABC中，∠A＝∠B+∠C，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【分析】根据三角形的内角和是180°计算．
解：∠A+∠B+∠C＝180度．
又∠A＝∠B+∠C，
则2∠A＝180°，
即∠A＝90度．
即该三角形是直角三角形．
故选：B．
5．如图，D，E在线段AB，AC上，且AD＝AE，再添加条件（ ），不能得到△ABE≌△ACD．
A．∠B＝∠CB．∠BDF＝∠CEFC．AB＝ACD．BE＝CD
【分析】已有条件AD＝AE，公共角∠A＝∠A，然后根据所给选项，结合全等三角形的判定方法进行分析即可．
解：A、添加∠B＝∠C可利用AAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
B、添加∠BDF＝∠CEF可得∠AEB＝∠ADC，可利用ASA判定△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
C、添加AB＝AC可利用SAS判定△ABE≌△ACD，故此选项不符合题意；
D、添加BE＝CD不能判定△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
6．已知点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，则P点的坐标（ ）
A．（﹣2，2）B．（6，6）C．（2，﹣2）D．（﹣6，﹣6）
【分析】根据点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，可以得到2x＝x﹣1，然后求出x的值，再代入点P的坐标中，即可得到点P的坐标．
解：∵点P的坐标为（2x，x+3），点M的坐标为（x﹣1，2x），PM平行于y轴，
∴2x＝x﹣1，
解得x＝﹣1，
∴2x＝﹣2，x+3＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，2），
故选：A．
7．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2
【分析】由图象得y＝kx+b＜2时x＜﹣3．
解：由图象可得当x＜﹣3时，y＜2，
∴kx+b＜2解集为x＜﹣3．
故选：B．
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y1＞y2，且kb＜0，则直线y＝kx+b（k≠0）在平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由“当x1＜x2时，y1＞y2”，利用一次函数的性质可得出k＜0，结合kb＜0可得出b＞0，再利用一次函数图象与系数的关系可得出直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、二、四象限，对照四个选项后即可得出结论．
解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y＝kx+b（k≠0）上，当x1＜x2时，y1＞y2，
即y随x的增大而减小，
∴k＜0．
又∵kb＜0，
∴b＞0，
∴直线y＝kx+b（k≠0）经过第一、二、四象限．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，过点D作DE∥AC，DF∥AB，交AB，AC于E，F两点，连接EF，以点B为顶点作∠1，使得∠1＝∠2，下列结论：①EB＝ED；②△BEG≌△EDF；③∠A＝∠EDF；④|BE﹣AE|＝GD．其中正确的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由平行线的性质可得∠ABC＝∠EDB＝∠ACB，可得EB＝ED，故①正确；
由“ASA”可证△BEG≌△EDF，故②正确；
由平行线的性质可得∠A＝∠BEG＝∠EDF，故③正确；
由线段的和差关系可得|BE﹣AE|＝|DE﹣EG|＝DG，故④正确，即可求解．
解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠EDB，
∴EB＝ED，故①正确；
∵DF∥AB，
∴∠BEG＝∠EDF，
又∵∠1＝∠2，
∴△BEG≌△EDF（ASA），
∴EF＝BG，
∵AF∥DE，
∴∠2＝∠AFE，
∵∠1＝∠2，
∴∠AFE＝∠1，
∵∠AED＝∠1+∠EGB＝∠2+∠AEF，
∴∠BGE＝∠AEF，
又∵BE＝EF，∠1＝∠AFE，
∴△AEF≌△EGB（ASA），故②正确；
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠A＝∠BEG，∠BEG＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，故③正确；
∵BE＝DE，AE＝EG，
∴|BE﹣AE|＝|DE﹣EG|＝DG，故④正确，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，D，E是边BC上的两点，且BA＝BE，CA＝CD，设∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝xB．y＝C．y＝90°﹣D．y＝180°﹣
【分析】根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，将∠BAC＝x°，∠DAE＝y°代入即可求出y与x之间的关系式．
解：∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAE）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝x°，∠DAE＝y°，
∴2y＝180°﹣x，
∴y＝90°﹣．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠0 ．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
解：根据题意得函数y＝中分母不为0，即x≠0．
故答案为x≠0．
12．“全等三角形的对应边相等”的逆命题是： 三对边相等的三角形是全等三角形 ．
【分析】根据互逆命题的定义进行解答即可．
解：∵命题“全等三角形的对应边相等”的题设是：如果两个三角形是全等三角形，结论是：这两个三角形的对应边相等．
∴此命题的逆命题是：三对边相等的三角形是全等三角形．
故答案为：三对边相等的三角形是全等三角形．
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是D，E，AD、CE交于点H，已知AE＝CE＝5，CH＝2，则BE＝ 3 ．
【分析】根据ASA证明△AEH与△CEB全等，进而利用全等三角形的性质解答．
解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH＝∠HDC＝90°，
∵∠EHA＝∠DHC，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△AEH与△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴BE＝EH＝CE﹣CH＝5﹣2＝3，
故答案为：3．
14．如图，直线l1：y1＝ax+b经过（﹣3，0），（0，1）两点，直线l2：y2＝kx﹣2；
①若l1∥l2，则k的值为 ；
②当x＜1时，总有y1＞y2，则k的取值范围是 ≤k＜ ．
【分析】①由l1∥l2可得k＝a，将（﹣3，0），（0，1）代入y＝ax+b求解．
②先求出x＝1，y1＝y2时k的值，根据图象可得k减小至两直线平行时满足题意．
解：①将（﹣3，0），（0，1）代入y＝ax+b得，
解得，
∴y＝x+1，
∵l1∥l2，
∴k＝，
故答案为：．
②将x＝1代入y＝x+1得y＝，
∴直线l1经过（1，），
将（1，）代入y2＝kx﹣2得＝k﹣2，
解得k＝，
∵直线l2经过定点（0，﹣2），
当直线l2绕着点（0，﹣2）顺时针旋转至两直线平行时满足题意，
∴≤k＜，
故答案为：≤k＜．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的一次函数y＝（2m+1）x﹣2，其图象经过第一、三、四象限，求m的取值范围．
【分析】根据函数图象经过第一、三，四象限，得出m的不等式组解答即可．
解：由题意可得：2m+1＞0，
解得：m＞﹣，
即当m＞﹣时函数图象经过第一、三，四象限．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣1）、B（2，﹣2），C（0，﹣3）．
（1）将△ABC平移，平移后点A的对应点为A1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2（3，0）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某汽车在加油后开始匀速行驶．已知汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，如界油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间是一次函数关系，请求出这个一次函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【分析】先设出油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，然后根据汽车行驶到20km时，油箱中剩油53L，行驶到50km时，油箱中剩油50L，可以得到关于k和b的二元一次方程组，然后求出k、b的值，即可写出y和x的函数关系式，再令y＝0求出x的值，即可写出x的取值范围．
解：设油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意可得，
解得，
∴y＝﹣0.1x+55，
当y＝0时，0＝﹣0.1x+55，得x＝550，
即油箱中剩余油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的函数解析式为y＝﹣0.1x+55（0≤x≤550）．
18．已知△ABC的三边长分别为m+2，2m，8．
（1）求m的取值范围；
（2）如果△ABC是等腰三角形，求m的值．
【分析】（1）根据三角形的三边关系，可得，解不等式组即可；
（2）分m+2＝2m，m+2＝8，2m＝8三种情况分别讨论即可求解．
解：（1）根据三角形的三边关系得
，
解得2＜m＜10；
（2）当m+2＝2m时，
解得m＝2（不合题意，舍去）；
当m+2＝8时，
解得，m＝6，符合题意；
当2m＝8时，
解得，m＝4，符合题意．
所以若△ABC为等腰三角形，m＝6或4．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：在△ABC中，以AB，AC为直角边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，其中∠ABD＝
＝∠ACE＝90°，且AD＝AE，DB＝EC．
（1）求证：∠ABC＝∠ACB；
（2）若∠BAC与∠ABC的角平分线交于F点，且∠F＝130°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ADB≌Rt△AEC，可得AB＝AC，可得结论；
（2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠ACB＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】（1）证明：在Rt△ADB和Rt△AEC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL），
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB；
（2）∵∠BAC与∠ABC的角平分线交于F点，
∴∠BAF＝∠BAC，∠ABF＝∠ABC，
∵∠F＝130°，
∴∠ABF+∠BAF＝50°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝20°．
20．如图，直线l1：y＝x+1与x轴交于A点，与y轴交于B点，直线l2：y＝﹣x+4与x轴交于D点，与y轴交于C点，l1与l2交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）连接BD，求△BPD的面积．
【分析】（1）联立方程y＝x+1与y＝﹣x+4求解．
（2）由直线解析式求出点B，C，D的坐标，由S△BPD＝S△OCD﹣S△PCB﹣S△OBD求解．
解：（1）令x+1＝﹣x+4，
解得x＝2，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点P坐标为（2，3）．
（2）连接BD，
将x＝0代入y＝x+1得y＝1，
∴点B坐标为（0，1），
将x＝0代入y＝﹣x+4得y＝4，
∴点C坐标为（0，4），
将y＝0代入y＝﹣x+4得0＝﹣x+4，
解得x＝8，
∴点D坐标为（8，0），
S△BPD＝S△OCD﹣S△PCB﹣S△OBD
＝OD•OC﹣BC•xP﹣OB•OD
＝×8×4﹣×（4﹣1）×2﹣×1×8
＝9．
六、（本题满分12分）
21．如图，∠ABC＝100°．
（1）用尺规作出∠B的角平分线BM和线段BC的垂直平分线GH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）按下面要求画出图形：BM和GH交于点D，GH交BC于点E，连接CD并延长，交AB于点F；
（3）求证：FD＝2DE．
【分析】（1）利用尺规作出图形即可；
（2）利用角平分线的性质定理以及直角三角形30°的性质证明即可．
【解答】（1）解：如图，射线BM直线GH即为所求；
（2）解：如图，线段DF即为所求．
（3）证明：过点D作DT⊥AB于点T．
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝50°，
∵DE垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠C＝∠DBC＝50°，
∴∠BFC＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∵∠DTF＝90°，
∴DF＝2DT，
∵DT⊥BA，DE⊥BC，BM平分∠ABC，
∴DT＝DE，
∴DF＝2DE．
七、（本题满分12分）
22．为迎接元旦，某食品加工厂计划用三天时间生产某种糕点600斤，其库存量稳定增加，从第四天开始停止生产，进行销售，每天销售150斤．图中的折线OAB表示该糕点的库存量y（斤）与销售时间x（天）之间的函数关系．
（1）B点坐标为 （7，0） ，线段AB所在直线的解析式为 y＝﹣150x+1050 ．
（2）在食品销售期间，某超市提前预定当天这种糕点150斤的销量，并搭配活动将这批糕点分甲乙两种方式售卖，甲种方式每斤8元，乙种方式每斤12元，同时为了保证甲种方式的数量不低于乙种方式，求该超市卖完全部糕点销售总额的最大值．
【分析】（1）由题意知销售完600斤（库存量为0）需要4天，即可得B的坐标，设直线AB解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可得直线AB的解析式；
（2）设该超市卖完全部糕点销售总额是y元，甲种方式售卖x斤，则乙种方式售卖（150﹣x）斤，可得y＝8x+12（150﹣x）＝﹣4x+1800，又甲种方式的数量不低于乙种方式，即有x≥75，根据一次函数性质即可得答案．
解：（1）∵进行销售，每天销售150斤，
∴销售完600斤（库存量为0）需要4天，
∴B（7，0），
设直线AB解析式为y＝kx+b，将A（3，600）、B（7，0）代入得：
，解得，
∴线AB解析式为y＝﹣150x+1050，
故答案为：（7，0），y＝﹣150x+1050；
（2）设该超市卖完全部糕点销售总额是y元，甲种方式售卖x斤，则乙种方式售卖（150﹣x）斤，根据题意得：
y＝8x+12（150﹣x）＝﹣4x+1800，
∵甲种方式的数量不低于乙种方式，
∴x≥150﹣x，
∴x≥75，
而﹣4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝75时，y最大为﹣4×75+1800＝1500，
答：该超市卖完全部糕点销售总额的最大值是1500元．
八、（本题满分14分）
23．已知，在△AOB和△COD中，AO＝CO，∠AOB＝∠COD＝∠α，∠B＝∠D，且A，O，D三点在同一条直线上．
（1）如图1，求证：OB＝OD；
（2）如图2，连接AC、DB并延长交于点Q．当∠α＝120°时，判断△QAD的形状，并说明理由；
（3）如图3，过D点作DG⊥AQ，垂足为G，若QB＝4，DG＝5，当∠α＝135°时，求QC的长．
【分析】（1）证明△AOB≌△COD（AAS），由全等三角形的性质得出OB＝OD；
（2）证出∠OAC＝∠ODB＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；
（3）在QA上取点H，使QH＝QB，连接DH，证明△QHD≌△QBA（SAS），由全等三角形的性质得出HD＝BA，由（1）可知△AOB≌△COD，得出AB＝CD，求出HG＝CG＝1，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AO＝OC，∠AOB＝∠COD，∠B＝∠D，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴OB＝OD；
（2）解：△QAD是等边三角形．
理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝120°，
∴∠BOD＝∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAC＝∠ODB＝60°，
∴△QAD是等边三角形；
（3）在QA上取点H，使QH＝QB，连接DH，
∵QD＝QA，∠Q＝∠Q，QH＝QB，
∴△QHD≌△QBA（SAS），
∴HD＝BA，
由（1）可知△AOB≌△COD，
∴AB＝CD，
∴HD＝CD，
由（2）可知，当α＝135°时，∠OAC＝∠ODB＝67.5°，
∴∠Q＝45°，
∵DG⊥AQ，
∴QG＝DG＝5，
∵HD＝CD，
∴CG＝GH，
∵QB＝4，
∴HQ＝4，
∴HG＝CG＝1，
∴QC＝CG+GH+QH＝4+1+1＝6．