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所属成套资源：新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题（附解析）
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新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题02函数概念与基本初等函数选填压轴题（学生版）
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这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题02函数概念与基本初等函数选填压轴题（学生版），共18页。试卷主要包含了函数及其表示，函数的基本性质，分段函数，函数的图象，二次函数，指对幂函数，函数与方程，新定义题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南南阳·高一期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
5．（2022·全国·高三专题练习）设，则的定义域为_______.
6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数的值域为______．
7．（2022·上海·高三专题练习）函数的值域为_____.
8．（2022·上海·模拟预测）若函数的值域是，则函数的值域是________.
9．（2022·全国·高一）函数的值域是________________．
10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
二、函数的基本性质
1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，当，时，，，若对，，，，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河北·高三阶段练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域，对任意的，，都有，若在上单调递减，且对任意的，恒成立，则的取值范围是______．
9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数，则的单调递增区间为_________．
10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为______．
13．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是______.
14．（2022·上海·高三专题练习）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________
15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数（）如果对任意，，则的取值范围为_____________ .
16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知，若对恒成立，则实数___________.
17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.
19．（2022·全国·高三专题练习）设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是________.
三、分段函数
1．（2022·江苏南京·三模）已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．
C．（0，＋∞）D．
2．（2022·河南·二模（理））已知函数，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数则当时，函数有______个零点；记函数的最大值为，则的值域为______.
7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.
9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知，若存在，使得，则的取值范围为___________.
四、函数的图象
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数的图像如图，则该函数的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数，则其图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
五、二次函数
1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数（其中）存在零点，且经过点和．记M为三个数，，的最大值，则M的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数，若存在，使，则称 是函数与图象的一对“雷点”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒有，且当时，．若函数与的图象恰好存在一对“雷点”，则实数的取值范围为____________________．
6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
7．（2022·湖北·一模）若函数的定义域为，对任意的，当时，都有，则称函数f（x）是关于D关联的.已知函数是关于{4}关联的，且当时，.则：①当时，函数的值域为___________；②不等式的解集为___________.
六、指对幂函数
1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______
6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
7．（2022·天津·二模）已知，则的最小值为__________.
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
七、函数与方程
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，实数，是函数的零点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
8．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
八、新定义题
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．{0，}B．{ ，1}C．{0，1}D．{ ，0，1}
2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为，关于狄利克雷函数，下列说法不正确的是（ ）．
A．对任意，
B．函数是偶函数
C．任意一个非零实数T都是的周期
D．存在三个点、、，使得为正三角形
4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．，
D．任意一个非零有理数T，对任意恒成立
5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为： ．若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（ ）
A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃
7．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.
如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若，则落在区间（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（ ）
A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃
9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数是简化大数运算的有效工具，依据下表数据，的计算结果约为（ ）
A．3.797B．4.715C．5D．7.397
11．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．在上单调递增D．有最大值无最小值
14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：（其中，且）.以下对说法正确的有（ ）
A．的定义域为RB．是非奇非偶函数
C．在实数集的任何区间上都不具有单调性D．任意非零有理数均是的周期
15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，如果存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为____________．(，)
19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantr）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为______．（参考数据：，）
20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunctin）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为，则________．
21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则___________.
22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其定义为： ，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则________.
23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的序号是______.
①函数是圆O的一个太极函数；②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数是圆O的一个太极函数；④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件.
26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
11
12
…
19
20
21
22
23
24
25
…
2048
4096
…
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
…
x
1.310
2
3.190
3.797
4.715
5
7.397
0.2700
0.6931
1.1600
1.3342
1.550
1.6094
2.001
1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数，，其中，若，，使得成立，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南南阳·高一期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为______．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．
5．（2022·全国·高三专题练习）设，则的定义域为_______.
6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数的值域为______．
7．（2022·上海·高三专题练习）函数的值域为_____.
8．（2022·上海·模拟预测）若函数的值域是，则函数的值域是________.
9．（2022·全国·高一）函数的值域是________________．
10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
二、函数的基本性质
1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
A．B．
C．D．
2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数的定义域为，当，时，，，若对，，，，使得，则正实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河北·高三阶段练习）函数的最大值为2，且在上单调递增，则a的范围是______，的最小值为______.
8．（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域，对任意的，，都有，若在上单调递减，且对任意的，恒成立，则的取值范围是______．
9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数，则的单调递增区间为_________．
10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数，函数、的表达式分别为、．若对任意，总存在，使得，则a的最大值为______．
13．（2022·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是______.
14．（2022·上海·高三专题练习）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则_____________
15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数（）如果对任意，，则的取值范围为_____________ .
16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知，若对恒成立，则实数___________.
17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为___________.
19．（2022·全国·高三专题练习）设函数，对于任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数t的取值范围是________.
三、分段函数
1．（2022·江苏南京·三模）已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．
C．（0，＋∞）D．
2．（2022·河南·二模（理））已知函数，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知的最小值为2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数则当时，函数有______个零点；记函数的最大值为，则的值域为______.
7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数，给出下列命题：
（1）无论取何值，恒有两个零点；
（2）存在实数，使得的值域是；
（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；
（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.
其中，所有正确命题的序号是___________.
8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数，，若关于x的方程（）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.
9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知，若存在，使得，则的取值范围为___________.
四、函数的图象
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数的图像如图，则该函数的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数，则其图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
五、二次函数
1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数（其中）存在零点，且经过点和．记M为三个数，，的最大值，则M的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数，且在上的最大值为，若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数，若存在，使，则称 是函数与图象的一对“雷点”．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，恒有，且当时，．若函数与的图象恰好存在一对“雷点”，则实数的取值范围为____________________．
6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
7．（2022·湖北·一模）若函数的定义域为，对任意的，当时，都有，则称函数f（x）是关于D关联的.已知函数是关于{4}关联的，且当时，.则：①当时，函数的值域为___________；②不等式的解集为___________.
六、指对幂函数
1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·广东·模拟预测）已知，且，则之间的大小关系是__________.（用“”连接）
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______．
5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______
6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
7．（2022·天津·二模）已知，则的最小值为__________.
8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.
七、函数与方程
1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数在区间上有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数满足，则实数之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数，实数，是函数的零点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数，对任意的实数a，b，c，关于x的方程的解集不可能是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2B．3C．6D．10
8．（2022·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.
9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.
八、新定义题
1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．{0，}B．{ ，1}C．{0，1}D．{ ，0，1}
2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为，关于狄利克雷函数，下列说法不正确的是（ ）．
A．对任意，
B．函数是偶函数
C．任意一个非零实数T都是的周期
D．存在三个点、、，使得为正三角形
4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．，
D．任意一个非零有理数T，对任意恒成立
5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为： ．若函数是定义在实数集上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（ ）
A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃
7．（2022·安徽·淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.
如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若，则落在区间（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（ ）
A．5℃B．10℃C．15℃D．20℃
9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数是简化大数运算的有效工具，依据下表数据，的计算结果约为（ ）
A．3.797B．4.715C．5D．7.397
11．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历步构造后，不属于剩下的闭区间，则的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（ ）
A．为奇函数B．C．在上单调递增D．有最大值无最小值
14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：（Q是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：（其中，且）.以下对说法正确的有（ ）
A．的定义域为RB．是非奇非偶函数
C．在实数集的任何区间上都不具有单调性D．任意非零有理数均是的周期
15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，如果存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Bruwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”
18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为____________．(，)
19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantr）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间长度为，则构造“康托三分集”的第次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第次操作去掉的各区间的长度之和小于，则的最小值为______．（参考数据：，）
20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunctin）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在上，其定义为，则________．
21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则___________.
22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其定义为： ，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意都有，当时，，则________.
23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．
24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础. 著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”. 若使去掉的各区间长度之和不小于则需要操作的次数n的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)
25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆，则下列说法中正确的序号是______.
①函数是圆O的一个太极函数；②圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数是圆O的一个太极函数；④函数的图象关于原点对称是为圆O的太极函数的充要条件.
26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
11
12
…
19
20
21
22
23
24
25
…
2048
4096
…
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
16777216
33554432
…
x
1.310
2
3.190
3.797
4.715
5
7.397
0.2700
0.6931
1.1600
1.3342
1.550
1.6094
2.001
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