新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题11一元函数的导数及其应用导数中的极值偏移问题全题型压轴题(教师版)
展开①对称化构造法
1.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知函数(其中e为自然对数的底)
(1)若在上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若,是的极值点且.若,且. 证明:.
【答案】(1)
(2)见解析
(1)
因为在上单调递增,所以在恒成立,
所以在恒成立,
令,,
①当时,在恒成立,在上单调递增,
所以,所以满足题意.
②当时,令,则.
(i),所以,在单调递增,
所以,所以满足题意.
(ii),在上单调递减,在上单调递增,
所以,
令,,
所以在恒成立,所以在上单调递减,
而,所以不成立.
所以实数a的取值范围为:.
(2)
,,
因为是的极值点,所以满足,
令,则若,解得,
所以当时,,当时,,
所以,,
所以是唯一负极值点,且在上单调递增,在上单调递减,
要证明,即证明,
化简得,由于在上单调递增,
且由,,可知.
故,
从而可推得,而,
因此.
令,
则,
,
而,所以,
故单调递增,从而,即,
从而,即证得.
2.(2022·四川泸州·高二期末(文))已知函数,e为自然对数的底数.
(1)若函数在上有零点,求的取值范围;
(2)当,,且,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
令,即,则
函数在上有零点等价于方程在上有解,
设,则,
故函数在上是减函数,在上是增函数,故
所以a的范围是.
(2)
因为,故,
因为,所以得,
故在上是减函数,在上是增函数
因为,,
所以不妨设,,
设(),
故,
所以在上是增函数,
所以,即,
故,即,
因为,,且,
所以,
因为在上是减函数,
所以,故.
3.(2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,证明:.
【答案】(1)单调递增区间:,单调递减区间:
(2)证明见解析
(1)
解:∵,∴,
令,得x=1,
当时,,单调递减;当时,,单调递增,
故函数的减区间为,增区间为;
(2)
证明:由(1)知,不妨设,
构造函数,,
故,
故在上单调递减,,
∵,∴,
又∵,∴,即,
∵,∴,,
又∵在上单调递增,∴,即,得证.
4.(2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习)已知函数f(x)=ex(lnx+a).
(1)若f(x)是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1+x2>2.
【答案】(1)[﹣1,+∞)
(2)证明见解析
(1)
函数的定义域为,
若f(x)是增函数,即f′(x)≥0对任意x>0恒成立,故恒成立,
设,则,
所以当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以当x=1时,g(x)min=g(1)=a+1,由a+1≥0得a≥﹣1,
所以a的取值范围是[﹣1,+∞).
(2)
不妨设0<x1<x2,因为x1,x2是f(x)的两个极值点,
所以,即,同理,
故x1,x2是函数的两个零点,即g(x1)=g(x2)=0,
由(1)知,g(x)min=g(1)=a+1<0,故应有a∈(﹣∞,﹣1),且0<x1<1<x2,
要证明x1+x2>2,只需证x2>2﹣x1,
只需证g(x2)﹣g(2﹣x1)=g(x1)﹣g(2﹣x1)
,
设,
则,
所以h(x)在(0,1)上单调递减,因为x1∈(0,1),所以h(x1)>h(1)=0,
即g(x2)﹣g(2﹣x1)>0,g(x2)>g(2﹣x1),
又x2>1,2﹣x1>1,及g(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以x2>2﹣x1成立,即x1+x2>2成立.
5.(2022·广东佛山·高二期末)已知函数,其中.
(1)若,求的极值:
(2)令函数,若存在,使得,证明:.
【答案】(1)极小值为,无极大值.
(2)证明见解析
(1)
解:当时,,
所以,
当时,,,所以,
当时,,,所以,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以的极小值为,无极大值.
(2)
证明:,
令,则上述函数变形为,
对于,,则,即在上单调递增,
所以若存在,使得,则存在对应的、,
使得,
对于,则,因为,所以当时,当时,
即在上单调递减,在上单调递增,所以为函数的唯一极小值点,
所以,则,
令,则,
所以在上单调递减,所以,
即,又,所以,
又的单调性可知,即有成立,
所以.
6.(2022·甘肃酒泉·模拟预测(文))已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若(为的导函数),方程有两个不等实根、,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解:因为,则,所以,,,
所以,曲线在点处的切线方程为,即.
(2)
证明:因为,,所以.
因为为增函数,所以在上单调递减,在上单调递增.
由方程有两个不等实根、,则可设,
欲证,即证,
即证,而,即,
即,
设,其中,
则,设,
则,所以,函数在上单调递增,
所以,所以在上单调递减,
所以,即,故得证.
7.(2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习(理))已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若函数有两个不同的零点,,证明:.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
,得,
当时,,单调递减,当时,令,解得,
所以当,,函数单调递减,
当,,函数单调递增,
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)
由题可知函数有两个零点,,
记,则,
当时,,单调递增,不可能有两个零点,
当时,令,得,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减,因为有两个零点,
所以,解得.所以不妨设,
要证,即证,
因为,,又在单调递减,
所以即证,即证,
构造函数,
所以
,
所以函数在单调递增,且,
所以当时,,
即,所以,即,得证.
8.(2022·江西·新余市第一中学三模(理))已知函数,.若函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)当时,证明:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
(1)
函数定义域为,
在内有两个不同的极值点、,等价于在内有两个不同的零点、.
设,由,
当时,,在上单调递增,至多只有一个零点,不符题意;
当时,在上,单调递增;在上,单调递减,
∴当时,,函数有两个零点,则必有,
即,解得.
易证,证明如下:
令,,
当时,,单调递减,当时,单调递增,
故,故,得证.
∴,又,
∴在和上各有一个零点、,此时:
故在定义域内有两个不同的极值点时,a的范围为;
(2)
方法1:由(1)可知是的两个零点,不防设,
由且,得.
∵.
令,则,
记,,
则,令,.
又,则,即,
∴在上单调递增,故,即成立.
∴不等式成立.
方法2:欲证,由,,则只需证:.
不妨设,
则且,则,
∴,
令,则,记,,
由,即在上单调递增,故,即成立.故.
②差值代换法
1.(2022·江苏江苏·高三期末)设f(x)=xex-mx2,m∈R.
(1)设g(x)=f(x)-2mx,讨论函数y=g(x)的单调性;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)有两个零点x1,x2,证明:x1+x2>2.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
,,
时,,当时,是单调递增函数,
当时,是单调递减函数;
时,令,得,
当即时,或时,是单调增函数, 时,是单调递减函数,
当即时,或时,是单调增函数, 时,是单调递减函数,
当即时,,在上是单调增函数,
综上所述
时,在是单调递增函数,在上是单调递减函数;
时,在,上是单调增函数, 在是单调递减函数,
时,在, 上是单调增函数, 在是单调递减函数,
时,在上是单调增函数.
(2)
令,因为,所以,
令, ,两式相除得,
, ①
不妨设,令,则,,
代入①得:,反解出:,则,
故要证即证,又因为,
等价于证明:,
构造函数,
则,,
故在上单调递增,,
从而在上单调递增,.
即.
③比值代换法
1.(2022·河北省唐县第一中学高二阶段练习)已知函数.
(1)若有两个零点,的取值范围;
(2)若方程有两个实根、,且,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解:函数的定义域为.
当时,函数无零点,不合乎题意,所以,,
由可得,
构造函数,其中,所以,直线与函数的图象有两个交点,
,由可得,列表如下:
所以,函数的极大值为,如下图所示:
且当时,,
由图可知,当时,即当时,直线与函数的图象有两个交点,
故实数的取值范围是.
(2)
证明:因为,则,
令,其中,则有,
,所以,函数在上单调递增,
因为方程有两个实根、,令,,
则关于的方程也有两个实根、,且,
要证,即证,即证,即证,
由已知,所以,,整理可得,
不妨设,即证,即证,
令,即证,其中,
构造函数,其中,
,所以,函数在上单调递增,
当时,,故原不等式成立.
2.(2022·全国·高三专题练习)设函数为的导函数.
(1)求的单调区间;
(2)讨论零点的个数;
(3)若有两个极值点且,证明:.
【答案】(1)单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)答案见解析
(3)证明见解析
(1)
解:因为,
所以.
即,,则.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以的单调递增区间为,的单调递减区间为.
(2)
解:由(1)得,.
当时,,则在上无零点.
当时,,则在上有一个零点.
当时,,因为,,,
所以,,,
故在上有两个零点.
综上,当时,在上无零点;
当时,在上有一个零点;
当时,在上有两个零点.
(3)
证明:由(2)及有两个极值点,且,
可得, 在上有两个零点,且.
所以,
两式相减得,即.
因为,所以.
下面证明,即证.
令,则即证.
令,,则,
所以在上单调递增,所以,
故.
又,
所以,
故.
3.(2022·四川·阆中中学高二阶段练习(文))已知函数.
(1)若函数为增函数,求实数的取值范围;
(2)若函数有两个极值点、.求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解:因为,该函数的定义域为,
,
若函数为增函数,则恒成立.
令,,令得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,故,
所以,,因此.
(2)
解:因为函数有两个极值点、,即方程有两个不等的实根、,
因为在上递减,在上递增,所以,,
即、是的两个根,
所以,则,
所以,
,
即证,即证.
由两式作差得,
令,则,,
即只需证,即证.
令,其中,则,
故在区间上单调递减,当时,,命题得证.
4.(2022·全国·高二期末)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的图象与的图象交于,两点,证明:.
【答案】(1)增区间为,减区间为
(2)证明见详解
(1)
的定义域为
令,解得
令,解得
所以的单调增区间为,减区间为
(2)
由(1)得
由题知,
两式相减整理可得:
所以要证明成立,只需证明
因为,所以只需证明
令,则只需证明,
即证
令
记
则
易知,当时,,当时,
所以当时,
所以当时,,函数单调递增
故,即
所以,原不等式成立.
5.(2022·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)证明:曲线在点处的切线恒过定点;
(2)若有两个零点,,且,证明:.
【答案】(1)恒过定点,证明见解析;
(2)证明见解析.
【详解】(1)函数的定义域为,由,得,则,又,则曲线在点处的切线的方程为,即,显然恒过定点.
(2)若有两个零点,,则,,得.
因为,令,则,
得,则,
所以.
令,则,
令,则,
则在上单调递增,所以.
所以,则在上单调递增,
所以,即,故.
6.(2022·浙江·效实中学高二期中)已知函数有两个零点,.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【详解】(1)函数定义域为,.
令得,可得在上单调递增,在上单调递减,
又时,,时,,
故欲使有两个零点,只需,即.
(2)证明:不妨设,则由(1)可知,
且,两式相减可得.
欲证,即证,
设,则即证,
构造函数,
则,
所以在上单调递增,故,
所以,原不等式得证.
④对数均值不等式法
1.(2022·四川南充·高二期末(文))设函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)设,记,当时,若方程有两个不相等的实根,求证:.
【答案】(1)答案见解析;
(2)证明见解析.
(1)的定义域为,.令,则得到导函数的两个零点,或,由于分母为正,故我们只关注分子函数,其为二次函数,借助其图像,以两个零点的大小关系为分类标准得到如下:①当时,即时,当时,,单调递减,当时,,单调递增;②当时,即时,恒成立,即恒成立,故在上单调递增;综上所述,当时,的单减区间为,单增区间为;当时,只有单增区间;
(2)由题可知,,设是方程的两个不等实根,不妨设为,则,两式相减整理得到,从而得到,要证,故只需要证明,由于,转化为,即,即,令,则上述式子转化为设,则,当且仅当时等号成立,故在上单调递增,故有,故得证,即.
2.(2022·四川·树德中学高三阶段练习(理))已知函数.
(1)当,和有相同的最小值,求的值;
(2)若有两个零点,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
由.
所以.
所以.
令,则为上的增函数,且.
所以在上单调递减,上单调递增.
所以.
又.
所以.令,则
所以为上的增函数.
又.
令,因为在上单调递增,且,而,因此函数与直线有唯一交点,
故方程在上有唯一解,
所以存在唯一,使得.
即,故,
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以.
所以.
故而.
(2)
由题意有两个零点.
所以,即.
所以等价于:有两个零点,证明.
不妨令.
由.
要证,只需要证明.
即只需证明:.
只需证明:,即.
令.
只需证明:.
令.
则,即在上为增函数.
又.
所以.
综上所述,原不等式成立.
3.(2022·全国·高二专题练习)已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)若在上有两个极值点、.
①求实数的取值范围;
②求证:.
【答案】(1)递减区间为,递增区间为;(2)①,②证明见解析.
【详解】(1),
令,,
因为,所以当时,,单调递减,
所以当时,,单调递增,所以,
所以当时,,当时,,
因此,的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2)(i),
要使在上有两个极值点、,
则在上有两个不同的零点,
①时,由(1)知,,
令,故,
所以在上为增函数,所以,故,
故在上无零点,舍;
②当时,,,,
则在上单调递减,故最多只有一个零点,不合题意,舍去;
③当时,,
当时,;当时,.
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,即要使,解得.
综上所述,的取值范围为;
(ii)由(i)知,,,
先证不等式,其中,
即证,即,
令,即证,
构造函数,则,
所以,函数在区间上单调递减,故,
由已知可得,故,
所以,则,所以,,
因此,.0
0
↓
极小值
↑
极大值
↓
增
极大值
减
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