安徽省六安市裕安区新安中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

这是一份安徽省六安市裕安区新安中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，，则，已知平面向量满足且，则，下列说法正确的是，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．设集合A=，B=，则“”是“a=2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量满足且，则（ ）
A．B．5C．D．6
5．如图所示，中，点D是线段的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．－4B．4C．5D．8
8．已知函数的一段图象过点，如图所示，则函数（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D．若非零向量满足，则
10．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
11．下列命题中错误的是（ ）
A．已知为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大
D．若，则存在唯一实数使得
12．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为2π
C．函数的值域为D．函数图象的相邻两对称轴间的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在中，a＝7，c＝5，则的值是 .
14．已知向量，，若，则 .
15．已知单位向量，满足，则与的夹角为 .
16．已知是定义在上的奇函数，且对，当时，都有．若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．
(1)若，，求c；
(2)若的面积为，，求a．
18．已知函数.
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若，求的值.
19．如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.
(1)若是边的中点，求的值；
(2)当时，请确定点的位置.
20．已知向量，且.
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值.
21．已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
参考答案：
1．A
【分析】
根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解.
【详解】由设为单位向量，，当的夹角为时，
所以在上的投影向量为.
故选：A．
2．B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，则，，或，充分性不满足，
时，，因此有，必要性也满足，因此是必要不充分条件．
故选：B．
3．C
【分析】利用二倍角余弦公式求，再由求即可.
【详解】由，得，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】由垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算即得.
【详解】由，得，由，得，则，
由，得，即，则，
所以.
故选：D
5．B
【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果.
【详解】由题意：.
故选：B
6．B
【分析】根据题意把函数的零点问题即的解，转化为函数和的图像交点问题，由题可得关于对称，由，可得的周期为4，根据函数图像，即可得解.
【详解】由可得关于对称，
由函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以的周期为4，
把函数的零点问题即的解，
即函数和的图像交点问题，
根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，
由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，
故选：B.
7．C
【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以
所以的最小值为5.
故选：C
8．D
【分析】通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式.
【详解】由图知，，则.
由图知，在取得最大值，且图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
故选：D .
9．ABD
【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义，以及向量夹角的定义，即可判断选项.
【详解】A.根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确；
B.根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确；
C.由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误；
D. 若非零向量满足，则，则，故D正确.
故选：ABD
10．BC
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，
故是第二象限角，A错；
对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，B对；
对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；
对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.
故选：BC.
11．BCD
【分析】根据共线向量定理即基底的概念可判定A;根据向量的定义及向量共线的定义可判定B,C,D.
【详解】对于A，因为为平面内两个不共线的向量，
设，,
则，无解，
所以不共线，
则可作为平面的一组基底，故A正确；
对于B,根据共线向量的定义知，方向相反的向量一定是共线向量，
故B错误；
对于C,根据向量的定义知，向量不能比较大小，故C错误；
对于D，当时，满足，
此时任意实数使得，故D错误，
故选：BCD.
12．AD
【分析】先将函数利用三角恒等变换公式化简，再结合奇偶性、周期性、对称性以及值域逐项判断即可.
【详解】解：由得：，
所以函数的定义域为：
因为，
所以
对A，，
所以函数是偶函数，故A正确；
对B，
所以
因为的最小正周期为
所以的最小正周期为，故B错误；
对C，
因为，所以
即，所以
所以函数的值域为，故C错误；
对D，由选项B的分析可知，函数图象的相邻两对称轴间的距离为，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：对求最小正周期时，直接求的最小正周期即可.
13．
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5.
故答案为：.
14．
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示计算即得.
【详解】向量，，，则，解得，即，
所以.
故答案为：
15．/
【分析】根据得到，由数量积的运算求出，再由夹角公式计算可得.
【详解】因为，为单位向量，
所以，
又，所以，
所以，
所以，又，所以，
即与的夹角为.
故答案为：
16．
【分析】先判断函数的单调性，根据奇偶性化简题目所给不等式，利用函数的单调性求得的取值范围．
【详解】当时，不妨设，根据已知条件得，即，
所以在上是减函数，
又因为函数是定义在上的奇函数，所以，
故等价于，
所以，解得．
故答案为：．
17．(1)2
(2)
【分析】
（1）先求出角，结合正弦定理可得答案；
（2）先利用面积求出，结合余弦定理可得答案.
【详解】（1）因为，，所以，
由正弦定理，可得.
（2）因为的面积为，所以，
因为，，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据诱导公式化简分子、分母，即可得，进而可得最简形式；（2）根据两角和的正切公式有，结合已知求得，即可求函数值
【详解】（1），
∴
∴
（2）由，知：，即
又，所以
【点睛】本题考查了利用诱导公式化简函数式，并由已知函数值，结合两角和的正切公式求函数值，属于简单题
19．(1)
(2)是线段靠近处的四等分点
【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.
（2）设，则，结合数量积运算即可.
【详解】（1）
由题意知，
由于是边的中点，因此，
因此.
（2）不妨设，因此，
又，
所以
解得，即，
故是线段靠近处的四等分点.
20．(1)
(2)
【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.
（2）运用平面向量夹角公式计算即可.
【详解】（1）因为，，
所以，解得.
故的值为3.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故与的夹角的余弦值为.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
【详解】解：（1）
则∵，
∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时.
【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
22．(1)，递减区间为，
(2)
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.
【详解】（1）由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.