中考数学一轮复习考点过关练习专题12 二次函数的核心知识点精讲（讲义）（2份打包，原卷版+含解析）

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2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式；
3.掌握二次函数的图像性质，并灵活运用二次函数的图像性质解决问题；
4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想，提高分析问题、解决问题的能力。

考点1:二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
考点2：二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
考点3：二次函数的图象及性质
考点4：抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
考点5：二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
【题型1：确定二次函数解析式】
【典例1】（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】（1）（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7；
（3）y＝﹣x2+2x+2．
【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
1．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．
【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．
【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）
2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1）二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）如图：
∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），
∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．
【题型2：二次函数的图像和性质】
【典例2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C
1．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【答案】D
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
2．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4
【答案】D
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
3．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，
故选：D．
4．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，5
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
5．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x＝＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x＝＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，
∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
【题型3：二次函数的图像变换】
【典例3】（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ﹣＜b＜﹣1 ．
【答案】﹣＜b＜﹣1．
【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．
故答案为：﹣＜b＜﹣1．
1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4
C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
【答案】A
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
2．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝﹣x2+xB．y＝﹣x2﹣4
C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1
【答案】D
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，
∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．
故选：D．
3．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：①向右平移2个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣2）2，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故①符合题意；
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故②符合题意；
③向下平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故③符合题意；
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+4，当x＝2时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（2，0），故④符合题意；
故选：D．
【题型4：二次函数与方程、不等式】
【典例4】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3
【答案】D
【解答】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，
∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，
如图所示：
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），
∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），
根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
1．（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4
B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4
C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2
D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4
【答案】D
【解答】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，
由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，
而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，
故选：D．
2．（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为 ﹣1＜x＜2 ．
【答案】﹣1＜x＜2．
【解答】解：由题意，可大致画出函数图象如下，
则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
一．选择题（共9小题）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
【答案】C
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（3，4），
故选：C．
2．将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
【答案】B
【解答】解：y＝x2﹣6x+2
＝x2﹣6x+9﹣9+2
＝（x﹣3）2﹣7，
故选：B．
3．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．（﹣1，0）在此函数图象上
【答案】D
【解答】解：根据题意得：
A、a＝﹣1＜0，图象开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、，对称轴是直线，原说法错误，不符合题意；
C、，，顶点坐标为，原说法错误，不符合题意；
D、当x＝﹣1时，y＝0，（﹣1，0）在此函数图象上，正确，故符合题意．
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：先将抛物线先向右平移2个单位长度，得到抛物线的函数解析式为：；再将抛物线向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为：，
故选：C．
5．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x1＞x2＞1，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1≥y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1＜y2
【答案】D
【解答】解：y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5的对称轴为直线x＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴x＜1时y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＜y2．
故选：D．
6．关于二次函数y＝（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，1）
C．当x＞3时，y随x的增大而减小
D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，10）
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+1中a＝1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
∴对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，1），
∴函数有最低点（3，1），当x＞3时，y随x的增大而增大．
令y＝（x﹣3）2+1中的x＝0解得：y＝10，
∴A、B、C选项错误，不符合题意；
D选项说法正确，符合题意．
故选：D．
7．在抛物线y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x＜1C．x＞1D．x＞﹣1
【答案】A
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴x≤1时，y随x增大而增大．
故选：A．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0．
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＜0，①错误；
②当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，②错误；
③∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴当x＝2时与x＝0时，y值相等，
∵当x＝0时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＝c＞0，③正确；
④∵抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，④正确．
综上可知：成立的结论有2个．
故选：B．
9．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝3B．x1＝﹣5，x2＝2
C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣3，x2＝2
【答案】C
【解答】解：把B（1，1）代入y＝ax2，
得a＝1，
把A（﹣2，4），B（1，1）代入y＝bx+c，
得，
解得：，
关于x的方程化为x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x1＝﹣2，x2＝1，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为 x＝1或x＝3 ．
【答案】x＝1或x＝3．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为x＝1或x＝3，
故答案为：x＝1或x＝3．
11．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为 y＝（x﹣1）2 ．
【答案】y＝（x﹣1）2．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为：
y＝（x﹣1）2+2﹣2，即y＝（x﹣1）2，
故答案为：y＝（x﹣1）2．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【答案】﹣1＜x＜3．
【解答】解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，经过（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．
∵抛物线在x轴的下方部分y＜0，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线是x＝1，它与x轴的一个交点是（3，0），则它与x轴的另一个交点是 （﹣1，0） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴＝1，
解得：x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
14．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为 ﹣1＜x＜6 ．
【答案】﹣1＜x＜6．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集是：﹣1＜x＜6．
故答案为：﹣1＜x＜6．
15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 或﹣4 ．
【答案】或﹣4．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∵1≤x≤4，
∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，
当x＝4时y有最大值，
a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝，
当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，
a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．
故答案为：或﹣4．
三．解答题（共2小题）
16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+3．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．
【答案】（1）作图见解析，顶点坐标为（2，7）；
（2）﹣2≤y≤7．
【解答】解：（1）由题意，列表格如下：
描点、连线，作图象如下：
∵y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）；
（2）由题意知，对称轴为直线x＝2，
∵﹣1≤x≤3，
∴当x＝﹣1时，，
当x＝2时，ymax＝7，
∴当﹣1≤x≤3时，y的取值范围为﹣2≤y≤7．
17．如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对称轴是直线x＝2.5．
（1）求该函数解析式；
（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；
（2）（1，2）和（4，2）．
【解答】解：（1）由题意得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，
则x2﹣5x+6＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∴B（2，0），C（3，0），
设点P的纵坐标为m，
∵△PBC的面积1，
∴，
解得m＝±2，
当m＝2时，x2﹣5x+6＝2，
解得x1＝1，x2＝4；
当m＝﹣2时，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0，
∴此方程无实数根，
故舍去m＝﹣2，
∴点P的坐标是（1，2）和（4，2）．
1．抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点，则c的值可能为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，
解得c＜1，
∴选项A符合题意．
故选：A．
2．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣2
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），
∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线．
故选：C．
3．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0
D．a＝b
【答案】C
【解答】解：把（﹣2，0），（﹣1，4），（0，6）分别代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6．
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，所以A选项错误，不符合题意．
当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），所以B错误，不符合题意．
又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝4；当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4，
∴（a﹣b+c）（4a+2b+c）＝16＞0，故C正确，符合题意．
∵y＝﹣x2+x+6，
∴a＝﹣1≠b＝1．
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．若点A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1＜m＜1B．m＜﹣3或m＞1
C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线，
∵A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，
∴根据抛物线对称性可知：
点A（﹣1，y1）与点A'（3，y1）关于对称轴直线x＝1对称，
点B（5，y2）与点B'（﹣3，y2）关于对称轴直线x＝1对称，
∵y2＜y1，﹣3＜﹣1，3＜5，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足y2＜y3＜y1，则m的取值范围为：3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1，
故选：C．
5．已知抛物线（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB，则m等于（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵当x＝0时，y＝m2﹣1
∴抛物线与y轴的交点B为（0，m2﹣1），
∵OA＝OB
∴抛物线与x轴的交点A为（m2﹣1，0）或（m2+1，0），
∴（m2﹣1）2+（m+1）（m2﹣1）m2﹣1＝0或（m2+1）2+（m+1）（m2+1）﹣m2﹣1＝0，
∴m2﹣1＝0或m2﹣1+m+1+1＝0或m2+1＝0或m2+1+m+1﹣1＝0，
∵m为整数
∴m＝﹣2．
故选：D．
6．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤
【答案】D
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴﹣＝1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③错误；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
故选：D．
7．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝x﹣7的“和谐值”为 ．
【答案】．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴抛物线在直线上方，
设“和谐值”为h，
∵x2﹣2x+3﹣（x﹣7）＝（x﹣）2+，
∴该函数最小值为，
故答案为：．
8．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围是 m＜﹣3 ．
【答案】m＜﹣3．
【解答】解：∵函数和x轴有2个交点，
则△═（﹣2k﹣2）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＞0，
解得：k＞﹣1，
当k取最小整数时，则k＝0，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
则x＝﹣1或3，
即点A（3，0），如下图：
当直线y＝x+m过点A时，
则0＝3+m，
解得：m＝﹣3，
故新图象与直线y＝x+m无公共点，则m的取值范围：m＜﹣3，
故答案为：m＜﹣3．
9．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去．则点A2023的坐标是 （4046，0） ．
【答案】（4046，0）．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣2）＝0，
解得x1＝0，x2＝2，即A1（2，0），
由旋转得：OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝AnAn+1＝2，
∴An的坐标为（2n，0），
∴A2023（4046，0），
故答案为：（4046，0）．
10．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+4，当a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，则a的值为 0或﹣3 ．
【答案】﹣3或0．
【解答】解：令y＝1，则﹣x2﹣2x+4＝1，
解得：x1＝﹣2，x2＝1．
∵a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，
∴a+1＝﹣2或a+1＝1，
∴a＝﹣3或a＝0．
故答案为：﹣3或0．
11．把二次函数y＝x2+4x﹣10的图象向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（m＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件 0＜m＜14且m≠5． ．
【答案】0＜m＜14且m≠5．
【解答】解：由题意可得，
平移后函数解析式为：y＝（x+1）2+4（x+1）﹣10+m＝x2+6x﹣5+m，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，
∴抛物线与x轴有两个交点，
即：方程x2+6x﹣5+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4×1×（m﹣5）＞0，
解得：m＜14，
当m＝5时，函数y＝x2+6x，过坐标原点，不符合题意，
∴0＜m＜14且m≠5．
故答案为：0＜m＜14且m≠5．
12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（﹣1，0），与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标yM的取值范围．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）点M的纵坐标yM的取值范围是﹣9≤yM＜16．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
∴对称轴，
∴b＝﹣4．
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+c，得0＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+c，
∴c＝﹣5，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）由题意得﹣3＜xM＜3，
∴当x＝﹣3时，y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）﹣5＝16，
当x＝3时，y＝32﹣4×3﹣5＝﹣8．
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，抛物线y＝x2﹣4x﹣5取得最小值，最小值为﹣9．
∴点M的纵坐标yM的取值范围是﹣9≤yM＜16．
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1．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：B．
2．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
15．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【答案】D
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
3．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：B．
4．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
5．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3
C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【答案】D
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
6．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：D．
7．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若 AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【解答】解：∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝15，
∴xC﹣xP＝，
∵BC＝5，CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝11，
∴xQ﹣xB＝，
∴PQ＝xQ﹣xP＝（xQ﹣xB）+（xC﹣xP）﹣（xC﹣xB）＝+﹣5＝8，
故选：B．
8．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的个数为（ ）
①x1•x2＝﹣4．
②y1+y2＝4k2+2．
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．
④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：由题意，联列方程组
∴可得得x1，x2满足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2满足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．
依据根与系数的关系得，x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1•y2＝1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．
∴当k＝0时，AB最小值为4．
∴S△AOB＝×1×AB＝2．
∴③正确．
由题意，kAN＝，kBN＝，
∴kAN•kBN＝•＝＝＝﹣k2﹣1．
∴当k＝0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
9．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或4
【答案】D
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
10．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1或x＝2．
∴y＝，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴函数最大值为y＝3．
故选：C．
11.（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣3
【答案】A
【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
12．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＜0；
③3a+c＝0；
④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：①∵二次函数图象的开口向上，
∴a＞0，
∵二次函数图象的顶点在第三象限，
∴，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故结论①正确；
②对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函数的图象上，
又∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴点（﹣2，4a﹣2b+c）在x轴下方的抛物线上，
∴4a﹣2b+c＜0，故结论②正确；
③∵二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0），
∴，消去b得：3a+c＝0，故结论③正确；
④∵二次函数图象的开口向上，与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（﹣3，0）
∴当﹣3＜x＜1时，二次函数图象的在x轴的下方，
∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故结论④正确．
综上所述：结论①②③④正确．
故选：D．
13．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
14．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 y＝﹣3 ．
【答案】y＝﹣3．
【解答】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．
故答案为：y＝﹣3．
15．（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1 ＜ y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【答案】＜．
【解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
16．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝ 9 ．
【答案】9．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，
∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．
即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，
解得：m＝9．
故答案为：9．
17．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为直线x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=– SKIPIF 1 < 0
顶点
（– SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=– SKIPIF 1 < 0 时，y最小值= SKIPIF 1 < 0
当x=– SKIPIF 1 < 0 时，y最大值= SKIPIF 1 < 0
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小；当x>– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大
当x<– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大；当x>– SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小
x
0
1
2
3
4
y
3
6
7
6
3
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6