2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型复数专题：利用复数几何意义求与模有关的最值问题--2024一轮数学讲义+题型细分与精练（解析版）

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一、复数的几何意义
每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.
复数集C中的数与复平面内的点建立了一 一对应的关系，
复数z=a+bi在复平面内的对应点Z(a,b)
二、复数模的几何意义
1、向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作z或a+bi，
即z=a+bi=a2+b2，其中a、b∈R
z表示复平面内的点Za,b到原点的距离；
2、z1−z2的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示。
示例：z+(1+2i)表示：点Z到点−1,−2的距离
小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，
若z=x+yi，则z−(a+bi)表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，
则z−(a+bi)=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.
三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题
如图所示，点P在圆O上运动，在圆上找一点P使得PA最小（大）
如图，当P为OA连线与圆O交点时，PA最小，最小为OA−r；
当P在AO延长线与圆O交点P'时，PA最大，最大为OA+r
题型一 与复数有关的轨迹（图形）
【例1】已知复数z1＝eq \r(3)＋i，z2＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i. 设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
【答案】以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
【解析】|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2.
因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，
所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，
|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，
故符合题设条件点的集合是:
以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．
【变式1-1】已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆
【答案】A
【解析】∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.
【变式1-2】若复数z满足|z－i|≤eq \r(2)(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【答案】2π
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则由|z－i|≤ eq \r(2)可得 eq \r(x2＋y－12)≤eq \r(2)，即x2＋(y－1)2≤2，
它表示以点(0,1)为圆心，eq \r(2)为半径的圆及其内部，
所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【变式1-3】（多选）3+2i−(1+i)表示( )
A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,
所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；
,可表示点到原点的距离,故C说法正确；
,
可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确.
【变式1-4】满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝eq \r(5)的点的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
【答案】C.
【解析】|z－2i|＋|z＋1|＝eq \r(5)表示动点Z到两定点(0，2)与(－1，0)的距离之和为常数eq \r(5)，
又点(0，2)与(－1，0)之间的距离为eq \r(5)，
所以动点的轨迹为以两定点(0，2)与(－1，0)为端点的线段．
【变式1-5】在复平面内，已知定点M与复数m=1+2i，那个点Z与复数z=x+yi，问：满足不等式z−m≤2的点Z的集合是什么图形？
【答案】以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部
【解析】不等式z−m≤2即x+yi−(1+2i)≤2，
根据复数的几何意义可得：点(x,y)到点(1,2)的距离小于等于2
所以点Z的集合表示以(1,2) 为圆心，半径为2的圆及圆的内部
题型二 模长最值问题
【例2】已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．eq \r(5) D．3
【答案】D
【解析】∵|z|＝2，∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
而|z－i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z－i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，
易知此距离为3，故选D．
【变式2-1】已知复数的模为1，则的最大值为__________.
【答案】3
【解析】设，复数复数的模为1，表示以原点为原点，1为半径的圆，
∴，即表示的是圆上的点到点的距离，
因此的最大值为，
【变式2-2】已知|z|＝2，求|z＋1＋eq \r(3)i|的最大值和最小值．
【答案】最大值为4，最小值为0
【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
又|z＋1＋eq \r(3)i|表示点(x，y)到点(－1，－eq \r(3))的距离．
又因为点(－1，－eq \r(3))在圆x2＋y2＝4上，
所以圆上的点到点(－1，－eq \r(3))的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋eq \r(3)i|的最大值和最小值分别为4和0.
【变式2-3】已知复数z，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．
【答案】4
【解析】方法一：∵复数z满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，
∴|z+3+4i|的最小值是4．
方法二：复数z满足|z|＝1，点z表示以原点为圆心、1为半径的圆．
则|z+3+4i|表示z点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，
圆心O到点（﹣3，﹣4）之间的距离d5，
∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，
【变式2-4】若且则的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为所以设因为所以，
复数在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O.
式子的几何意义是：
圆上任意一点到的距离,圆心O到的距离为,
由圆的几何性质可知：圆上任意一点到的距离的最大值为,
最小值为,
因此的取值范围是.
【变式2-5】已知复数z满足等式，则的最大值为______
【答案】
【解析】|z﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：
|z﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.
由图可知，|z﹣3|的最大值为．
【变式2-6】若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
【答案】最大值为3，最小值为1
【解析】根据复数的几何意义可知|z＋eq \r(3)＋i|≤1表示以(−3,−1)为圆心，1为半径的圆上及圆内
如图所示，2OM=−32+−12=2.
由圆的几何性质可知：|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
【变式2-7】若且，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】的几何意义为：
复平面内动点Z到定点的距离小于等于2的点的集合，
表示复平面内动点Z到原点的距离，
∵，
.
∴的取值范围为．
【变式2-8】若(是虚数单位)，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而|z−2−2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，
由图象可知：的最小值应为点到的距离，
而 ，圆的半径为1，
故的最小值为，