2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型复数—讲义

这是一份2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型复数—讲义，共7页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的分类，复数相等，复数的集合意义，共轭复数，复数方程的解等内容，欢迎下载使用。
一、复数的有关概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，
满足i2=−1，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1.我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集
①定义：全体复数所成的集合．
②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，
其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：
复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的集合意义
1、复平面
当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量OZ的eq \a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
五、共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq \x\t(z)＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共轭复数是eq \x\t(z)＝2－3i.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝eq \x\t(z)，
也就是，任一实数的共轭复数是它本身．
（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
专题35 复数的四则运算
一、复数的加法
1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数的减法
1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
三、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量OZ1=(x1，y1)，OZ2=(x2，y2)，
如图1，且OZ1和OZ2不共线，
以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZ=OZ1+OZ2，
而OZ1+OZ2所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，
这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，
复数z1−z2与向量OZ1−OZ2等于Z2Z1）对应，
这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、复数的乘法
1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)；
（2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有
zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝zeq \\al(n,1)·zeq \\al(n,2)，z0＝1；z－m＝eq \f(1,zm)(z≠0)．
【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立．
4、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1－i,1＋i)＝－1，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1,i)＝－i.
五、复数的除法
规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）
a+bi÷c+di=a+bic+di=a+bic−dic+dic−di=ac+bdbc−adic2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i
在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成eq \f(a＋bi,c＋di)的形式，
再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果．
【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数．
（2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·eq \x\t(z)＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段．
六、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
= 1 \* GB3 ①当∆≥0时，x=−b±b2−4ac2a = 2 \* GB3 ②当∆