微专题 利用导数解决函数的最值问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 利用导数解决函数的最值问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共38页。

微专题：利用导数解决函数的最值问题
【考点梳理】
1. 函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的最小值，f(b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值.
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.



【题型归纳】

题型一：由导数求函数的最值（不含参）
1．使函数在上取得最大值的为（       ）
A．0 B． C． D．
2．已知函数，则函数在的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
3．已知函数，则函数在上的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．

题型二：由导数求函数的最值（含参）
4．若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．已知，函数的最小值为，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．

题型三：已知函数最值求参数
7．若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（       ）
A．－2 B．－1 C．2 D．
8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
9．当时，函数取得最大值，则（       ）
A． B． C． D．1





【双基达标】
10．函数y＝的最大值为（       ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
11．已知等差数列满足，，公差为d（不为0），数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
12．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是(       )
A． B． C． D．
13．已知，，，则，，的大小顺序为（       ）
A． B． C． D．
14．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
15．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
16．函数在上的最小值为（       ）
A． B．-1 C．0 D．
17．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为
A． B． C． D．
18．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．
19．已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
20．设函数在R上存在最小值，则函数的零点个数为（       ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
21．已知直线分别与函数和的图象交于点、，现给出下述结论：①；②；③；④，则其中正确的结论个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1
22．已知实数满足，则大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
23．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（       ）
A． B．1 C． D．2
24．函数y＝(x＋1)ex＋1，x∈[－3，4]的最大值为 (　　)
A. 2e－2 B. 5e5 C. 4e5 D. －e－1
25．函数的最大值为（       ）
A． B． C． D．3

【高分突破】
一、 单选题
26．设函数在R上可导，其导函数为，且．则下列不等式在R上恒成立的是（       ）
A． B． C． D．
27．函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．2
28．已知函数，则是恒成立的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分不必要条件
29．已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
30．已知是的极值点，则在上的最大值是（       ）
A． B． C． D．
31．已知函数，，对任意，存在，使得，则的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．2
32．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（       ）
A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克
33．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．设函数，则（       ）
A．有极大值，且有最大值 B．有极小值，且有最小值
C．若方程恰有一个实根，则 D．若方程恰有三个实根，则
35．已知函数f(x)=，函数g(x)=xf(x)，下列选项正确的是（       ）
A．点（0，0）是函数f（x）的零点
B．∈（1，3），使f（）>f（）
C．函数f（x）的值域为[
D．若关于x的方程[g（x）]²－2ag（x）=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（∪（）
36．已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（       ）
A．0 B．4 C． D．
37．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）

A． B．
C．时，取得最大值 D．时，取得最小值
三、填空题
38．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.
39．已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是________．
40．设函数f(x)＝，若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，则实数a的范围 _____
41．已知函数，当时，函数有极值，则函数在上的最大值为_________.
42．已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是___________.
43．已知，，，则的最小值是______.
四、解答题
44．已知，其中.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围.
45．已知函数.
(1)当时，求函数在时的最大值和最小值；
(2)若函数在区间存在极小值，求a的取值范围.
46．已知函数．
(1)设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值：
(2)若方程恰有两个相异的实根，，试求实数a的取值范围，并证明．
47．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)函数在区间上的最小值小于零，求a的取值范围．
48．已知函数f(x)=x-mlnx-m.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.

参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性、最值.
【详解】


   由有：；由有：；
在上单调递增，在上单调递减，
在上取得最大值的为，故A，C，D错误，B正确.
故选：B.
2．A
【解析】
【分析】
利用导函数求得函数在上的单调区间，进而求得函数在的最小值
【详解】
，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
则在时取得最小值
故选：A
3．A
【解析】
【分析】
求导确定函数在上的单调性，求出最小值即可.
【详解】
，当时，，则在上单调递增，
则在上的最小值为.
故选：A.
4．A
【解析】
【分析】
问题转化为在上恒成立，当时，上式显然成立，当时，令，，对函数求导后，分和两种情况求函数最小值，使基本最小值大于等于零即可
【详解】
由在上恒成立，得
在上恒成立，
当时，上式显然成立，
当时，令，，
则，
当时，，所以在上递增，
而当时，，不合题意，
当时，由，得，
令，，作出两函数的图象，如图所示

由图象可知，存在，使，所以，得，
当时，，当时， ，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以
，
由，得，得，
综上，，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题
5．A
【解析】
【分析】
令，故，原不等式变为，进而令，利用最值分析法，通过对的导数进行讨论，即得.
【详解】
由题意得，，令，故，
故.
令，则.
若，则，则在上单调递增，
又，则当时，，不合题意，舍去；
若，则当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
因为，
所以若，则当，，舍去；
若，则当，，舍去；
若，则，符合题意，故.
故选：A
【点睛】
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
6．A
【解析】
【分析】
方法一：求导后，令，结合导数和零点存在定理可得单调性，由此可得，由可化简得到，利用导数可求得的最小值，则，由此可得结果；
方法二：令，由二次函数性质可知，令，利用导数可求得，即为.
【详解】
方法一：由题意得：；
令，则，在上单调递增，
又，当时，，，使得，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
；
由得：，
即，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，.
方法二：令，则当时，，
令，则，
当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
，即.
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
对函数求导后，分和两种情况求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，使最小值等于零，从而可出实数a的值
【详解】
由，得，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，由，得或，
当时，在上恒成立，
所以在上递增，
所以，解得（舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），
当时，当时，，所以在上递减，
所以，解得，
综上，，
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
求导，求得其最小值点，再根据在区间上有最小值，由最小值点在区间内求解可得.
【详解】
因为函数，所以，
当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
因为在区间上有最小值，且
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】
因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
先求导找极大值，再得最大值.
【详解】
令 当时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
11．B
【解析】
【分析】
根据题意构造函数，解不等式可得到函数的单调性，进而得到当距离最近时，取得最小值，根据为最小值可得距离最近，建立绝对值不等式求解即可.
【详解】
令，构造函数，
，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
则对于，当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以当距离最近时，取得最小值，
根据题意知，为最小值，所以距离最近，
而等差数列满足，，所以，所以是递增数列，
∴，解得.
故选：B.
【点睛】
本题的核心是利用函数导数思维根据的表达式求出当距离最近时，取得最小值，根据题意可得距离最近，再根据已知可得是递增数列，且两个数值之间的距离问题可以使用绝对值思维，所以可得不等式组，解不等式组即可.
12．A
【解析】
【分析】
利用函数的导数，求解函数的极值，推出最大值，然后转化列出不等式组求解的范围即可．
【详解】
，
或，
∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，
∴f(x)有极大值，
要使f(x)在上有最大值，则极大值3即为该最大值，
则，
又或，
∴，
综上，.
故选：A.
13．A
【解析】
【分析】
构造函数，根据单调性比较大小即可.
【详解】
令，则，，，
而且，
即时单调增，时单调减，
∵，则.
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】
当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
15．C
【解析】
【分析】
先将参数分离得在时恒成立，转化为在时恒成立，再构造函数，利用导数研究其最大值，即得.
【详解】
函数，，，
恒成立，即，即在时恒成立，
令，即在时恒成立，即
设，则得，
则时，，单调递增；时，，单调递减.
所以时，函数取得最大值，即，
所以.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：
由不等式恒成立（或能成立）求参数时的常用方法：
（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；
（2）根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
16．B
【解析】
【分析】
求导后求得函数的单调性，利用单调性求得函数的最小值.
【详解】
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
故答案为：B.
17．C
【解析】
【分析】
求出f（x）的单调区间和值域，从而得出f（x）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a的范围．
【详解】
f（x）的定义域为（0，+∞）．
，在（0，+∞）递增．
而f′（1）=e0﹣a+a﹣1=0，
则f（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，f（1）=2a．
∴f（x）的值域为[2a，+∞）．
要使y=f[f（x）]与y=f（x）的值域相同，只需2a≤1，又a＞0，解得0＜a．
故选C．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18．C
【解析】
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
原不等式可化为．
令，则．
令，则．
∵函数在区间上递增，∴，
∴．
，使得，即，，
，递减，，递增，
∴，
∴，恒有，在区间上递增，
∴，
∴．
故选：C.
19．A
【解析】
【分析】
不等式中出现的指数式，对数式，故可以考虑同构，将原不等式变形为，以实现不等式左、右两边统一于函数，再利用导数研究函数的单调性，从而由可得，再分离参数求最值即可.
【详解】
因为对任意的，不等式恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
设，则，
因为，又，
所以，所以在上单调递增，
所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
令，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故选:A
20．A
【解析】
【分析】
先求出，利用存在最小值求出的范围，即可判断的零点情况.
【详解】
由可得，
令，得，其判别式．
当时，，在R上恒成立，
故在R上恒成立，没有最小值；
当时，，令，得，
，且，函数值的变化情况如下表所示：
x






+
0
－
0
+

递增
极大值
递减
极小值
递增

当时，，要使有最小值，只需，
即，故，
故，故的判别式，因此有两个零点．
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
根据函数和的图象关于对称，直线与垂直，可得，、，，关于对称，即可判断①；利用基本不等式即可判断②，构造，判断其单调性，即可判断③，由，判断其单调性，即可判断④．
【详解】
由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，
，、，，关于对称，则；①正确；
对于②：由，因为，则；②正确；
对于③：构造函数；则，
当时，可得，函数在单调递增；
当时，可得，函数在单调递减；
，，，③正确；
对于④：，，令函数，则
当时，可得，函数在单调递减；
当时，可得，函数在单调递增；
，不对，即④不对．
故选：B
22．D
【解析】
先分析得到，再构造函数利用导数比较的大小即得解.
【详解】
，
，

设，
所以，
所以函数在单调递减，
设
所以，
所以，
因为函数在单调递减，
所以，
故选：D
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是两次构造函数，第一次是构造函数，得到函数在单调递减，第二次是构造函数得到.在解答函数的问题时，经常要观察已知条件构造函数解决问题.
23．A
【解析】
【分析】
设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】
设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
24．B
【解析】y′＝(x＋2)ex＋1，
当－30，
所以函数y＝(x＋1)ex＋1在(－3，－2)上单调递减，在(－2，4)上单调递增，
因为f(－3)＝－2e－2 所以函数y＝(x＋1)ex＋1，x∈[－3，4]的最大值为5e5. 故选B.
25．B
【解析】
利用诱导公式及二倍角公式可得，令，将函数转化为，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；
【详解】
解：因为
所以
令
则
则
令，得或
当时，；时
所以当时，取得最大值，此时
所以
故选：B
【点睛】
本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．
26．A
【解析】
【分析】
根据给定不等式构造函数，利用导数探讨的性质即可判断作答.
【详解】
依题意，令函数，则，
因，于是得时，时，
从而有在上单调递减，在上单调递增，
因此得：，而，即f(x)不恒为0，
所以恒成立.
故选：A
【点睛】
关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.
27．C
【解析】
【分析】
由可得，由可得，则，设，，利用导数求得最小值即可求解.
【详解】
由可得，
由可得，
所以
设，，则，
记，则恒成立，
所以即在上单调递增，
且，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
28．B
【解析】
【分析】
利用导数求出的最小值，然后可判断出答案.
【详解】
因为，其定义域为
所以
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减
因为，所以
所以由恒成立可得，所以是恒成立的必要不充分条件
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解.
【详解】
由题意，得，
设，求导
令，解得
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
故当时，函数取得极大值，且
又时，；当时，，故；
作出函数大致图像，如图所示：

又，
因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，
由图可知：，即
故选：B.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
30．A
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为是的极值点，可得，解得，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由，
又由，所以，
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故选：A.
31．D
【解析】
【分析】
设换元，问题转化为对任意，存在，使得，则的最小值，利用的关系把转化为一元函数，然后求最小值．
【详解】
设，设，，，对任意，存在，使得，即，，
所以，，
令，，
易知是增函数，，时，，，递减，时，，，递增，
所以时，，所以的最小值是1，的最小值是2．
故选：D．
【点睛】
本题考查用导数求最值，解题关键是化二元函数为一元函数，题中解法是换元后直接利用把用表示，然后转化为一元函数，另外也可以设（），把都用表示，化为的一元函数，然后由导数得最小值．
32．B
【解析】
【分析】
由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.
【详解】
设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．
∵，
∴，即，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．
故选：B．
33．C
【解析】
【分析】
设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,


设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,

所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
34．BD
【解析】
【分析】
求出函数的导数，讨论其符号可得函数的单调性和最值，据此可刻画出函数的图象，从而可得正确的选项.
【详解】
由题意，得，
∴当或时，，当时，，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
∴有极大值，为，有极小值，为．
又当时，恒成立，∴也是最小值．
作出直线和的图象，如图所示，
当或时，有一个实根，当时，有三个实根．
故选：BD．

35．BC
【解析】
【分析】
利用函数的零点判断A，利用函数的单调性及最值判断选项BC；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.
【详解】
对于选项A，0是函数的零点，零点不是一个点，所以A错误；
对于选项B，当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，；
当时，，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，当时，．
综上可得，选项B正确．
对于选项C，，选项C正确．
结合函数的单调性及图像可得：函数有且只有一个零点0，则也有且只有一个零点0；


所以对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有两个不相等的实数根⇔关于的方程有一个非零的实数根⇔函数的图象与直线有一个交点，且，
则
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：




0


+
0

0
+

增
极大值
减
极小值
增

极大值，极小值；
当时，，
当变化时，，的变化情况如下：

1

2




0
+

e
减
极小值
增

极小值．
综上可得，或，
解得的取值范围是，
故D错误．
故选：BC．
36．AB
【解析】
【分析】
先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解
【详解】
，
令，解得或.
①当时，可知在上单调递增，
所以在区间的最小值为，最大值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故A正确.
②当时，可知在上单调递减，
所以在区间的最大值为，最小值为.
此时，满足题设条件当且仅当，，
即，.故B正确.
③当时，可知在的最小值为，
最大值为b或或，，
则，与矛盾.
若，，
则或或，与矛盾.故C､D错误.
故选：AB
37．AB
【解析】
【分析】
由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
38．
【解析】
【分析】
采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.
【详解】
解：令
则，
令，
则由知，
在上单调递减，在上单调递增
且，，.
，，
，
作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.
故答案为：.
39．
【解析】
【分析】
令，，利用导数求得函数单调性与最大值，画出两个函数的图象，结合图象，分类讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，
又由，可得，
令，，其定义域为，
则，令，即，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值，
又由、，当时，
画出函数的大致图像，如图所示，
又由函数的图像是恒过点的直线，
若，则显然不符合题意，
若，则满足，即，解得．
故答案为：.

【点睛】
对于利用导数研究不等式的有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
40．
【解析】
由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最小值，解不等式即可得到所求范围.
【详解】
若对任意x1∈(－∞，0)，总存在x2∈使得，即.
当a≠0时，当x＝时，－ax2＝0.
①当a＝0时，f(x)＝在(－∞，0)上的值域为(0，＋∞)，满足要求；
②当a<0时，f(x1)min＝f()＝0，而f(x2)>0恒成立，所以不可能有f(x2)≤f(x1)；
③当0 ④当a>时，设g(x)＝－ax2，则g′(x)＝－－2ax＝
易得g(x)在上递增，在上递减，在(2,)单调递减
所以,
所以
综上：
【点睛】
本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.
41．13
【解析】
由题可得在的导数值等于0，可求得，再根据导数讨论函数的单调性，即可求出最值.
【详解】
，当时，函数有极值，
，解得，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在处取得极大值，
且，，
在上的最大值为13.
故答案为：13.
【点睛】
方法点睛：利用导数求函数在闭区间上最值的方法：
（1）先求出函数的导数；
（2）根据导数的正负判断函数的单调性；
（3）求出极值，端点值，即可判断出最值.
42．
【解析】
分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，，即，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，，
令，解得，(舍去).
，，为减函数，
，，为增函数.
.
当时，，，
令，解得，
，，为减函数，
，，为增函数.
，且当时，.
函数的图像如图所示：
因为方程有两个不相等的实根，
等价于函数与有2个交点，
所以或.
故答案为：.

【点晴】
关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.
43．.
【解析】
由题意有且，结合已知有，令，，利用导数研究其单调性求最值即可.
【详解】
由题意，，即有且，
将代入化简得：，令，
∴，则有，
当，有，单调递减；当，有，单调递增；
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了通过构造函数，利用其导函数研究单调性求函数最值，属于难题.
44．(1)单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
【解析】
【分析】
（1）当时，求得，设，求得，进而得到的符号，即可求解；
（2）由，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，转化为恒成立，集合，即可求解.
(1)
解：当时，的定义域为，
可得，
设，可得，故在上单调递增，
所以，
由，解得；由，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
解：若要使得，只需恒成立，
设，可得，
由，可得；由，可得，
所以在为单调递减，在上单调递增，所以，
于是需要恒成立，即恒成立，
由（1）可得：当时，，从而，即，
用替换上式中的，可得，
结合时，，所以恒成立，
要使得恒成立，则，即实数的取值范围.
45．(1)最大值为9，最小值为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定在的极值、端点值，比较它们的大小即可知最值.
（2）讨论参数a的符号，利用导数研究的单调性，结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.
(1)
由题，时，，则，
令，得或1，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.
∴在时取极大值，在时取极小值，又，，
综上，在区间上取得的最大值为9，最小值为.
(2)
，且，
当时，单调递增，函数没有极值；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.
∴在取得极大值，在取得极小值，则；
当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.
∴在取得极大值，在取得极小值，由得：.
综上，函数在区间存在极小值时a的取值范围是.
46．(1)
(2)，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题在上恒成立，利用导数求函数最值即得；
（2）由题有两个相异的实根，设，利用导数可得，即求实数a的取值范围，然后结合，构造函数 ，利用函数单调性即可求证．
(1)
由，得在上恒成立，
设，则，
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
∴，即，
∴实数a的最小值为．
(2)
由，得，
令，则，
设，则，
∴函数在上单调递减，又，
∴在上，故单调递增，在上，故单调递减，
∴，
由方程恰有两个相异的实根，，得，
∴，即实数a的取值范围为．
下面证明，
不妨设，则，，
要证，只需证，
由于在上单调递增，故只需证.
由，
得
，
令，则恒成立，
因此在上单调递增，函数，
即，故，即证．
【点睛】
导数求参问题常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
47．(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）对求导并求定义域，讨论、分别判断的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论、、分别确定在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.
(1)
由题设，且定义域为，
当，即时，在上，即在上递增；
当，即时，在上，在上，所以在上递减，在上递增；
(2)
由（1）知：
若，即时，则在上递增，故，可得；
若，即时，则在上递减，在上递增，故，不合题设；
若，即时，则在上递减，故，得；
综上，a的取值范围.
48．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.
（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.
(1)
函数的定义域为，且，
当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，
当时，由，解得，
由，解得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
综上：当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数，在上为增函数；
(2)
由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.
当时，在上上为减函数，在上为增函数，
所以，即，
则，
由，解得，
由，解得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，
即在上恒成立.