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    期中测试卷01-2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第二册)
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    期中测试卷01-2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第二册)

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    这是一份期中测试卷01-2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第二册),共23页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.的共轭复数为( )
    A.B.C.D.
    2.平面向量,若,则( )
    A.6B.5C.D.
    3.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是( )
    A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥
    4.已知,,,,且四边形ABCD为平行四边形,则( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知向量,若与的夹角为;若与的夹角为钝角,则取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    6.如图,是一个正三棱台,而且下底面边长为6,上底面边长和侧棱长都为3,则棱台的高和体积分别为( )

    A.,B.,
    C.,D.,
    7.在锐角三角形分别为内角所对的边长,,则( )
    A.3B.4C.5D.6
    8.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全对得5分,少选得3分,多选、错选不得分)
    9.(多选)下列命题中的真命题是( )
    A.若直线不在平面内,则
    B.若直线上有无数个点不在平面内,则
    C.若,则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
    D.平行于同一平面的两直线可以相交
    10.已知复数,其中i为虚数单位,则下列结论正确的有( )
    A.复数z的共轭复数的模为1B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
    C.复数z是方程的解D.复数满足,则的最大值为2
    11.如图,四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形,已知,,则下列说法正确的是( )

    A.B.四边形的周长为
    C.D.四边形的面积为
    12.设点是所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
    A.若,则的形状为等边三角形
    B.若,则点三点共线
    C.若点是的重心,则
    D.若所在平面内一动点满足:,则的轨迹一定通过的内心
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A船沿北偏东30°的方向航行,B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为30n mile/h,1小时后,B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上,则此时A,B两船相距 n mile.
    14.已知,且,i为虚数单位,则的最小值是 .
    15.已知矩形的边长分别为1,,沿对角线折起,使四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
    16.已知,点是平面上任意一点,且(),给出以下命题:
    ①若,,则为的内心;
    ②若,则直线经过的重心;
    ③若,且,则点在线段上;
    ④若,则点在外;
    ⑤若,则点在内.
    其中真命题为
    四、解答题(本大题共6小题,第17-18题每小题10分,第19-21题每小题12分,第22题14分,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
    17.已知向量,,向量,的夹角为﹒
    (1)求的值;
    (2)求﹒
    18.已知复数.
    (1)若在复平面内的对应点位于第二象限,求的取值范围;
    (2)若为纯虚数,设,在复平面上对应的点分别为A,B,求线段AB的长度.
    19.的内角的对边分别为,若,求:
    (1)的值;
    (2)和的面积.
    20.正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4,高为1.
    求:(1)棱锥的侧棱长和侧面的高;
    (2)棱锥的表面积与体积.
    21.已知中,是边(含端点)上的动点.

    (1)若点为与的交点,请用表示;
    (2)若点使得,求的取值范围.
    22.在中,对应的边分别为,
    (1)求;
    (2)奥古斯丁.路易斯.柯西(Augustin Luis Cauchy,1789年-1857年),法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在,在(1)的条件下,若是内一点,过作垂线,垂足分别为,借助于三维分式型柯西不等式:当且仅当时等号成立.求的最小值.
    2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷01(测试范围:6.1-8.3)
    一、单选题
    1.的共轭复数为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】根据复数乘法运算求出,再求出共轭复数即可.
    【解析】由题意得,所以,
    故选:D
    2.平面向量,若,则( )
    A.6B.5C.D.
    【答案】B
    【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得,再利用平面向量模的坐标表示即可得解.
    【解析】因为,,
    所以,解得,
    所以,
    因此.
    故选:B.
    3.从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、,过此三点作长方体的截面,那么截去的几何体是( )
    A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D.四棱锥
    【答案】B
    【分析】画出图形观察即可.
    【解析】如图所示,

    截去的立体图形有四个面,四个顶点,六条边,所以该几何体为三棱锥.
    故选:B.
    4.已知,,,,且四边形ABCD为平行四边形,则( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【分析】利用向量减法和向量相等的定义即可求得之间的关系,进而得到正确选项.
    【解析】,
    而在平行四边形ABCD中,,所以,
    又,,,,
    则,也即.
    故选:B.
    5.已知向量,若与的夹角为;若与的夹角为钝角,则取值范围为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】
    根据与的数量积小于0,且不共线可得.
    【解析】与的夹角为钝角,

    又与的夹角为,
    所以,即,解得,
    又与不共线,所以,
    所以取值范围为.
    故选:D
    6.如图,是一个正三棱台,而且下底面边长为6,上底面边长和侧棱长都为3,则棱台的高和体积分别为( )

    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】C
    【分析】首先还原为三棱锥,再计算小棱锥的高,再根据相似关系,即可计算三棱台的高.再根据棱台的体积公式求解即可.
    【解析】如图1,将正三棱台,还原为正三棱锥,由相似关系可知,三棱锥的棱长都是3,如图2,点在底面的射影是底面三角形的中心,
    高,
    所以根据相似关系可知,三棱台的高也是.

    所以棱台的体积为.
    故选:C.
    7.在锐角三角形分别为内角所对的边长,,则( )
    A.3B.4C.5D.6
    【答案】B
    【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式,化简可得,然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.
    【解析】因为,
    所以由余弦定理可得,即,
    所以
    故选:B
    8.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】由sinB=csA•sinC化简可求 csC=0 即C=90°,再由,S△ABC=6可得bccsA=9,可求得c=5,b=3,a=4,考虑建立直角坐标系,由P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得,由,为单位向量,可得,,可得,可得,则由,利用基本不等式求解最小值.
    【解析】中设,,
    ,,
    即,

    ,,
    ,,
    ,,
    ,根据直角三角形可得,,
    ,,,
    以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得,,,P为直线上的一点,
    则存在实数使得,
    设,,则,,,
    ,
    ,则,
    ,
    故所求的最小值为,
    故选:D.
    【点睛】本题为平面向量的综合题,考查解三角形、平面向量数量积、平面向量共线定理、基本不等式的应用,属于综合题,解题关键在于将三角形中数量关系利用向量坐标运算进行转换,属于较难题.
    二、多选题
    9.(多选)下列命题中的真命题是( )
    A.若直线不在平面内,则
    B.若直线上有无数个点不在平面内,则
    C.若,则直线与平面内任何一条直线都没有公共点
    D.平行于同一平面的两直线可以相交
    【答案】CD
    【解析】根据直线与平面的位置关系,结合题目,进行分析和判断即可.
    【解析】A中,直线也可能与平面相交,故A是假命题;
    B中,直线与平面相交时,上也有无数个点不在平面内,故B是假命题;
    C中,时,与没有公共点,所以与内任何一条直线都没有公共点,故C是真命题;
    D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D是真命题.
    故选:CD.
    【点睛】本题考查直线与平面的位置关系,属基础题.
    10.已知复数,其中i为虚数单位,则下列结论正确的有( )
    A.复数z的共轭复数的模为1B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
    C.复数z是方程的解D.复数满足,则的最大值为2
    【答案】ABD
    【分析】利用复数的运算法则求出,再逐一对各个选项分析判断即可求出结果.
    【解析】因为,所以,
    对于选项A,因为,所,故选项A正确;
    对于选项B,因为复数z在复平面内对应的点为,故选项B正确;
    对于选项C,,所以,故选项C错误;
    对于选项D,设,则由,得到,又,由几何意义知,可看成圆上的动点到原点的距离,所以的最大值为,故选项D正确.
    故选:ABD.
    11.如图,四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形,已知,,则下列说法正确的是( )

    A.B.四边形的周长为
    C.D.四边形的面积为
    【答案】AD
    【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.
    【解析】如图过作,

    由等腰梯形可得:是等腰直角三角形,
    即,即C错误;
    还原平面图为下图,

    即,即A正确;
    过C作,由勾股定理得,
    故四边形ABCD的周长为:,即B错误;
    四边形ABCD的面积为:,即D正确.
    故选:AD.
    12.设点是所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
    A.若,则的形状为等边三角形
    B.若,则点三点共线
    C.若点是的重心,则
    D.若所在平面内一动点满足:,则的轨迹一定通过的内心
    【答案】ACD
    【分析】根据向量的线性运算以及模长的含义即可判断A,根据共线定理的推论即可判断B,根据重心的性质即可判断C,根据向量加法的平行四边形法则即可判断D.
    【解析】对于A,,为等边三角形,故A正确;
    对于B,,,、、三点不共线,故B错误;
    对于C,设,,分别为,,的中点,则,
    ,,
    ,即,故C正确;
    对于D,,,,,在的角平分线上,的轨迹一定通过的内心,故D正确.
    故选:ACD.
    三、填空题
    13.已知轮船A和轮船B同时离开C岛,A船沿北偏东30°的方向航行,B船沿正北方向航行(如图).若A船的航行速度为30n mile/h,1小时后,B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上,则此时A,B两船相距 n mile.
    【答案】
    【分析】利用正弦定理即可求出结果.
    【解析】由题意得,
    ,,,
    由正弦定理,
    即,解得.
    故答案为:.
    14.已知,且,i为虚数单位,则的最小值是 .
    【答案】
    【分析】
    将问题化为坐标系中点到定点的距离恒为1,求定点与动点的最小距离.
    【解析】令,则,
    所以,等价于坐标系中点到定点的距离恒为1,
    即动点在以为圆心,半径为1的圆上,如下图:

    又表示动点到定点的距离,而与的距离为,
    所以,
    在之间且共线,左侧等号成立;在之间且共线,右侧等号成立;
    所以的最小值是.
    故答案为:
    15.已知矩形的边长分别为1,,沿对角线折起,使四个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
    【答案】
    【分析】取中点,则,从而可得球的半径为,由此能求出该球的表面积.
    【解析】将长方形沿对角线折起,使顶点,,,落在同一个球面上,
    取中点,则,
    该球的半径为,
    该球的表面积为.
    故答案为:.

    16.已知,点是平面上任意一点,且(),给出以下命题:
    ①若,,则为的内心;
    ②若,则直线经过的重心;
    ③若,且,则点在线段上;
    ④若,则点在外;
    ⑤若,则点在内.
    其中真命题为
    【答案】②④
    【解析】①可得在的角平分线上,但不一定是内心;②可得在BC边中线的延长线上;③利用向量线性运算得出可判断;④得出,根据向量加法的平行四边形法则可判断;⑤令可判断.
    【解析】①若,,则,因为是和同向的单位向量,则在的角平分线上,但不一定是内心,故①错误;
    ②若,则,则根据平行四边形法则可得,在BC边中线的延长线上,故直线经过的重心,故②正确;
    ③若,且,则,即,即,则点在线段上或的延长线上,故③错误;
    ④若,,整理可得,,根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外,故④正确;
    ⑤若,则令,则,则根据向量加法的平行四边形法则可判断点在外,故⑤错误.
    故答案为:②④.
    【点睛】本题考查向量基本定理的应用,解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断,合理的进行转化,清楚向量加法的平行四边形法则.
    四、解答题
    17.已知向量,,向量,的夹角为﹒
    (1)求的值;
    (2)求﹒
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据题意得到,,再根据数量积的定义即可求解;
    (2)结合(1)可得,进而即可求得﹒
    【解析】(1)由,,向量,的夹角为,
    则,,
    所以﹒
    (2)结合(1)可得,
    所以﹒
    18.已知复数.
    (1)若在复平面内的对应点位于第二象限,求的取值范围;
    (2)若为纯虚数,设,在复平面上对应的点分别为A,B,求线段AB的长度.
    【答案】(1)
    (2)2
    【分析】(1)根据已知条件,结合复数的几何意义,即可求解;
    (2)根据已知条件,结合纯虚数的定义,以及复数的几何意义,即可求解.
    【解析】(1)在复平面内的对应点为,
    因为点位于第二象限,所以,解得.
    所以的取值范围为.
    (2)因为为纯虚数,所以,解得,
    所以,所以,,
    ∴点,,∴,
    所以.
    19.的内角的对边分别为,若,求:
    (1)的值;
    (2)和的面积.
    【答案】(1)
    (2),三角形面积为
    【分析】(1)应用余弦定理列方程求值即可;
    (2)由同角三角函数平方关系求,应用正弦定理求,三角形面积公式求的面积.
    【解析】(1)由余弦定理得:,解得.
    (2)由,则,
    由正弦定理得,又,则,

    20.正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4,高为1.
    求:(1)棱锥的侧棱长和侧面的高;
    (2)棱锥的表面积与体积.
    【答案】(1)侧棱长为,侧面的高为;(2)表面积,体积为.
    【分析】(1)设为正四棱锥的高,则,作,连结,分别在和,即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高;
    (2)由(1)利用棱锥的侧面积公式和体积公式,即可求解.
    【解析】(1)如图所示,设为正四棱锥的高,则,
    作,则为中点,
    连结,则,
    因为,可得,
    在中,,
    在中,,
    所以棱锥的侧棱长为,侧面的高为.
    (2)棱锥的表面积为=,
    几何体的体积为.
    21.已知中,是边(含端点)上的动点.

    (1)若点为与的交点,请用表示;
    (2)若点使得,求的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【分析】(1)由已知得,再由A、O、P三点共线,令,由得,然后由C、O、Q三点共线,求出作答.
    (2)由(1)中信息,设,则,再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律,求出,借助函数的单调求解作答.
    【解析】(1)因为,则 ,又A、O、P三点共线,有,,
    又,即有,而C、O、Q三点共线,于是,解得,
    所以.
    (2)由(1)知,,而,设,则,
    由,得,即,
    整理得,即,
    于是,显然函数在上单调递增,
    因此,
    所以的取值范围.
    22.在中,对应的边分别为,
    (1)求;
    (2)奥古斯丁.路易斯.柯西(Augustin Luis Cauchy,1789年-1857年),法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在,在(1)的条件下,若是内一点,过作垂线,垂足分别为,借助于三维分式型柯西不等式:当且仅当时等号成立.求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】
    (1)先用正弦定理角化边,然后结合余弦定理可以解出.
    (2)将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式,然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.
    【解析】(1)由正弦定理得即
    由余弦定理有,
    若,等式不成立,则,
    所以.
    因为,
    所以.
    (2).
    又,
    由三维分式型柯西不等式有.
    当且仅当即时等号成立.
    由余弦定理得,
    所以即,则.
    令,则
    因为解得,当且仅当时等号成立.
    所以.则.
    令,则在上递减,
    当即时,有最大值,此时有最小值.
    【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造,找到所求要素与柯西不等式的内在联系,再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解,属于难题.
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