2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区九年级中考数学模拟试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区九年级中考数学模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区九年级中考数学模拟试题原卷版docx、2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区九年级中考数学模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“中的范围是，是正整数”是解题的关键．
【详解】解：，
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而判断得出答案．
【详解】解∶ A． 与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．，故此选项不合题意；
C． 与不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；；
D． ，故此选项符合题意．
故选∶ D．
4. 同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10，这组数据的众数为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数”即可求解．
【详解】解：在9，7，10，8，10，9，10这7个数据中，10出现的次数最多，
∴这组数据的众数是10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
5. 若与的相似比为，若，则的长是（ ）
A. B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的性质得出的长．
【详解】解：∵，相似比为，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键．
6. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果．
【详解】解：∵两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
∴点关于原点对称的点的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题的关键．
7. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：连接BC，
由题意可得：OB=OC=BC，
则△OBC等边三角形，
故sin∠AOC=sin60°=．
故选D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键．
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．
考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
二、填空题（每题3分，共24分，请把正确答案填在答题卡上）
9. 使有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】二次根式有意义的条件．
【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
．
故答案为：．
10. 甲、乙、丙、丁四名学生最近次数学考试平均分都是分，方差，，，，则这四名学生的数学成绩最稳定的是________．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
根据方差的意义求解可得．
【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，
方差，，，，
所以甲的方差最小，
所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，
故答案为：甲．
11. 方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可．
【详解】解：
两边同时乘以，得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1：，
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
12. 若二次函数的图象经过点，则________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
即：，
，
故答案为：2025．
13. 已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是___．
【答案】5
【解析】
【分析】根据众数定义求解即可．
【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．熟练掌握众数的定义是解题的关键．
14. 比较大小：________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数大小比较解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答．
15. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为______．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的性质求出，计算即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
∴，
∴，
即点D，之间的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出是解题的关键．
16. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【解析】
【分析】利用勾股定理得到BC边长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
三、解答题（本大题102分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的计算，特殊角三角函数值，零指数幂，即可求解，
（2）先通分，再分解因式，根据分式除法运算法则，即可求解，
本题考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
．
18. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
【答案】，正整数解为1，2，3
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的方法是解答此题的关键．再求出每个不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①：
解不等式②：
故不等式组的解集为：，
正整数解为：1，2，3．
19. 如图，矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，由矩形的性质可得，，根据，得到由即可得出结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，
，
，
即，
在和中，
，
．
20. 某同学家准备购买一辆新能源汽车．在预算范围内，收集了A，B两款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：

（1）数据分析：
①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为 ；
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1∶3∶3∶3的比例统计，求A款新能源汽车四项评分数据的平均数．
（2）合理建议：
请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A、B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由．
【答案】（1）①4667；②67.5
（2）B车平均分69.7分，高于A车的平均分，且A车销量一直下滑，所以我推荐B车
【解析】
【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．
（1）①根据中位数的定义求解；
②根据加权平均数的计算方法求解即可；
（2）计算B车的平均分，比较两车的平均分与近期销量，即可解答．
【小问1详解】
①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：
1563，2248，3279，4667，4922，8153，8840，
处于中间位置的是4667，故中位数为4667．
故答案为：4667
②
∴A款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分．
【小问2详解】
∵B款新能源汽车四项评分数据的平均分为（分），
∴B车平均分高于A车的平均分，
又A车销量一直下滑，
∴我推荐B车．
21. 如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：△ABE≌△DCF．
【答案】见详解
【解析】
【分析】据平行四边形的性质得出AB=CD，，进而得到，然后再利用全等三角形的判定的“SAS”来解答即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，，
∴∠B=∠DCF．
在与中
，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形去的性质，全等三角形的判定．根据平行四边形的性质得出AB=CD，是解答关键．
22. 某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为31°，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，，然后在点测得建筑物顶点的仰角为53°，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
（1）求点到地面的高度；
（2）求建筑物的高度．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）作BE⊥AD，利用坡度的定义求解BE即可；
（2）在（1）的基础之上，作EF⊥CD，利用三角函数求解CF的长度即可．
【详解】（1）如图所示，作BE⊥AD于E点，
∵斜坡的坡度，
∴，
根据正切函数的定义：，
设，，
在Rt△ABE中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点到地面的高度为；
（2）作BF⊥CD于F点，则四边形BEDF为矩形，
由题意，∠CBF=53°，
在Rt△CBF中，，
∴设，则，
∴，，
在Rt△ACD中，由题意，∠CAD=31°，
∴，
即：，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，且符合实际意义，
∴，
∴建筑物的高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关键．
23. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，为边的中点，连．

（1）请判断是否为的切线，并证明你的结论．
（2）当时，时，求的半径r．
【答案】（1）是的切线，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，，，根据全等三角形的判定，易得进而可得，故是的切线；
（2）连接，证明，由相似三角形的性质得到，设， ，代入数据可得关于的方程，解可得答案．
【小问1详解】
解：是的切线，
证明：连接，，，如图所示：

是圆的直径，
，
在中，为边的中点，
，
在和中，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，如图所示：

∵是的直径，
，
，
为的中点，
，
，，
，
，
，
设，，
，
或（负值舍去），
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
的半径．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
24. 某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨元/件（为偶数），每天的销售量为件．
（1）当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件．
（2）请写出与的函数关系式．
（3）设每天的销售利润为元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?
【答案】（1）200 （2）与的函数关系式为
（3）每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案；
（2）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到与的函数关系式；
（3）先求出利润关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【小问1详解】
解：∵销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件），
故答案为：200
【小问2详解】
设销售价格上涨元/件，
销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.
其销售量；
【小问3详解】
依题意可得每天的销售利润为，
故当时，最大值，
但为偶数，当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，
，符合题意，此时．
此时销售单价为（元），
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键．
25. 如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A 出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．

（1）当时．
①求的度数；
②判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求t的值．
【答案】（1）①；②与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）①由题意可知，，根据弧长公式，设，当时，，求解即可；
②连接，由①可知，，，可知为等边三角形，则，再证，则，得，即可求得，可证得与相切；
（2）由（1）可知，，，由轴对称可知，，，根据勾股定理的逆定理可证明，则，再由弧长公式得，即可求得．
【小问1详解】
解：①∵是的直径，，
∴，
设，当时，
∴，即：；
②与相切，理由如下：
连接，

由①可知，，，
∴为等边三角形，则，，
又∵，
∴，则，
∴，则，
∴与相切；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
由轴对称可知，，，
在中，，，
∴，
∴，则，
则，解得：．
26. 如图，将一张三角形纸片（其中，，）的边与直线l重合放置．现将三角形纸片的直角顶点沿方向，从点C 向终点B移动，移动过程中始终保持点A的对应的落在边上，记点C、点B的对应点分别为、，连接．
（1）当时， ， ．
（2）设点、到直线BC的距离分别为a、b，求与满足的数量关系；
（3）运动过程中的度数是否为一个定值？ 如果是请求出这个定值，如果不是请说明理由；
（4）当点从点C运动到点B时，的中点P运动的路径长为 ．
【答案】（1）；
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）过点作于点E，根据，得出，求出，解直角三角形得出，根据直角三角形的性质求出，即可得出答案；
（2）解直角三角形得出，证明，得出，求出，，得出，根据勾股定理得出，得出即可；
（3）根据解析（2）可知，，根据，求出，得出，求出即可；
（4）连接，证明，说明点从点C运动到点B时，的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，根据当点在点时，与重合，此时点P在的中点上，证明为等边三角形，得出，求出的中点P运动的路径长即可．
【小问1详解】
解：过点作于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，
根据题意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于点E，过点作于点D，如图所示：
则，
根据题意可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【小问3详解】
解：根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问4详解】
解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴点从点C运动到点B时，的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，
当点在点时，与重合，此时点P在的中点上，当点在点B时，的位置，如图所示：
∵，
∴的中点P运动的路径为的长，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的中点P运动的路径长为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，弧长公式，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
27. 抛物线的顶点为P，作轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），交抛物线的对称轴于点H，且，则称为该抛物线的顶端三角形．
（1）求抛物线的顶端三角形的面积；
（2）下列说法正确的有 ；（ 填序号 ）
①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形：
②当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为；
③当时，若点P的纵坐标为k，则点H的纵坐标为．
（3）抛物线的顶端三角形面积为 ；
（4）已知抛物线的顶端三角形面积为2，且点在的内部（含边界），求a的值及b、c的取值范围．
【答案】（1）3 （2）①③
（3）当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为
（4）当时，，；当时，，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
（1）根据顶端三角形的定义，即可求解．
（2）①根据抛物线、等腰三角形的对称性，即可判断①，根据顶端三角形的定义判断②和③即可求解；
（3）由点P的坐标为，分当和时，分别求得的坐标进而根据三角形的定义即可求解；
（4）根据点在的内部（含边界），得出所在直线，根据二次函数的性质求得对称轴，进而得出的坐标，进而确定顶点位置，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线的顶点P的坐标为，
∵，
∴，
∴直线此时与x轴重合，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3；
【小问2详解】
解：∵轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴点M和点N关于对称轴对称，
∴，
∴抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确；
当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴一点在定点P的下方，
∵，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为，故②错误；
当时，由于轴交抛物线于点M、N（M在N的左侧），
∴一点在定点P的上方，
∵，点P的纵坐标为k，
∴点H的纵坐标为，故③正确；
故答案为：①③；
【小问3详解】
解：∵点P是抛物线的顶点，
∴点P的坐标为，
当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为，
∴点M和点N的纵坐标为，
设，
令，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴；
当时，由（2）的结论可得，点H的坐标为，
∴点M和点N的纵坐标为，
设，
令，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∴；
综上所述，当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为；
故答案为：当时，抛物线的顶端三角形面积为，当时，抛物线的顶端三角形面积为；
【小问4详解】
解：①当时，
∵抛物线的顶端三角形面积为2，
∴，
∴，
∵
∴点P的坐标为，，
∴，，
∵点在的内部（含边界），
当在上时，则顶点在轴上，即，
当点与点重合时，，解得：，
当点与点重合时， ，解得：，
∴当在上时，M在N的左侧，则
∵
∴
∴
∴当时，，
②当时，则
∵
∴点P的坐标为，，
∴，，
当上时，∵，则顶点在轴上，即，
当点与点重合时，，解得：，
当点与点重合时， ，解得：，
∴当在上时，
∴
∵
∴
∴
即
∴当时，，
综上所述：当时，，；当时，，．