2023年河南省开封市中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河南省开封市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  第届亚运会将于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某学校将国家非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点；若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  每年的月日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动如图是初三某班班长统计的全班名学生一学期课外图书的阅读量单位：本，则这名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.  如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是(    )

A. 是的平分线 B.
C. 点在线段的垂直平分线上 D. ：：

9.  如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，且是等边三角形，若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：           ．

12.  已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．

13.  不等式组的解集是______．

14.  若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．

15.  甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系，则图中的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了解学生对四大名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
 
请根据以上信息，解决下列问题 
本次调查所得数据的众数是______部，中位数是______部； 
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______度； 
请将条形统计图补充完整； 
没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，求他们恰好选中同一名著的概率．

18.  本小题分
如图，菱形的对角线，交于点，，，与交于点．
求证：四边形是矩形；
若，求的长．

19.  本小题分
图是安装在倾斜屋顶上的热水器，图是安装热水器的侧面示意图已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．
真空管上端到水平线的距离．
求安装热水器的铁架水平横管的长度结果精确到米
参考数据：，，，，，．
 

20.  本小题分
每年的月日是世界读书日，某校计划购买、两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知种图书的单价比种图书的单价多元，且购买本种图书和本种图书共需花费元．
、两种图书的单价分别为多少元？
学校计划购买这两种图书共本，且投入总经费不超过元，则最多可以购买种图书多少本？

21.  本小题分
如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
求反比例函数和一次函数的表达式；
连接，，求的面积；
如图，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
 

22.  本小题分
如图，和均为等边三角形，直线和直线交于点．
求证：；
求的度数．
如图，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点．
求证：；
若，，将绕着点在平面内旋转，当点落在线段上时，在图中画出图形，并求的长度．
 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为．

求点的坐标；
如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看到的几何体的图形为：．
故选：．
根据三视图的定义求解即可．
本题考查了三视图的有关知识，掌握三视图的概念是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由折线统计图得这组数据的中位数为，
众数为，
平均数为．
故选：．
利用折线统计图得到个数据，其中第个数为本，第个数是本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了中位数、众数和平均数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
这棵树的高度是米，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，所以选项的结论正确；
，，
，
，
，所以选项的结论正确；
，
，
点在的垂直平分线上，所以选项的结论正确；
在中，
，
，
而，
，
：：，
：：，所以选项的结论错误．
故选：．
利用基本作图可对选项进行判断；通过角度的计算得到，，则可对选项的结论正确；利用得到，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理可对选项进行判断；根据含度的直角三角形三边的关系得到，则，所以：：，然后根据三角形面积公式可对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意设，则，
为等边三角形，
，
，，
解得，
故选：．
根据反比例函数的对称性以及等边三角形的性质设，则，根据勾股定理得到，，解得．
本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，发现、的坐标特征是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
将矩形沿直线折叠，
，，
，
，
∽，
，
，
，
设，
则，，
，
在中，，
，
解得：，舍，
，
故选：．
证明∽，求得，设，则，，由勾股定理列出方程即可求解．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用，利用勾股定理列出方程和证明相似三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

解：，
故答案为：．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．  

12.【答案】 

【解析】解：设另一个根为，由根与系数之间的关系得，
，
，
故答案为，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
 

13.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
根据根的判别式列出不等式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：由图可得，
普通列车的速度为：千米小时，
动车的速度为：千米小时，
，
故答案为：．
根据函数图象中的数据，可以先计算出普通列出的速度，然后根据两车小时相遇，可以求得动车的速度，然后即可得到的值．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

16.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】分别根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，涉及到零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

17.【答案】；；
； 
条形统计图如图所示，


将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作，，，，
画树状图可得：

共有种等可能的结果，其中选中同一名著的有种，
故两人选中同一名著． 

【解析】

【分析】
先根据调查的总人数，求得部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
根据扇形圆心角的度数部分占总体的百分比，即可得到“部”所在扇形的圆心角；
根据部对应的人数为，即可将条形统计图补充完整；
根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．
此题考查了树状图法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
【解答】
解：调查的总人数为：，
部对应的人数为，
本次调查所得数据的众数是部，
，，
中位数为部，
故答案为：；；
扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为：；
故答案为：；
见答案；
见答案．  

18.【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
在菱形中，，
． 

【解析】先证明四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形；
依据矩形的性质可得到，然后依据菱形的性质可得到，得即可．
本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：过作于．
在中，，
则米．
答：真空管上端到的距离约为米；

在中，，
则米，
，，，
四边形是矩形．
，，
米，
米，
在中，，
则米，
米，
答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 

【解析】过作于，根据正弦的定义计算，得到答案；
根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种图书单价元，种图书单价元，
由题意可得：，
解得：，
种图书单价元，种图书单价元；
设购买种图书本，
由题意可得；，
解得：，
最多可以购买本种图书． 

【解析】设种图书单价元，种图书单价元，根据“种图书的单价比种图书的单价多元，且购买本种图书和本种图书共需花费元”列出方程组，解之即可；
设购买种图书本，根据“投入总经费不超过元”列出不等式，求出最大整数解即可．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
 

21.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
，，
反比例函数为，点，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为：；
令，则，
，
；
如图，过点作轴的平行线，作于，于，

设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或舍去，
 

【解析】用待定系数法即可求解；
求得点的坐标，然后根据求得即可；
过点作轴的平行线，作于，于，设，通过证得≌，得到，代入，即可求得的值，从而求得点的坐标．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
 

22.【答案】解：和均为等边三角形，
，，．
．
≌．
；
如图，设交于点．
，，
．
即．
，，，
，．
．
∽．
．
．
当点落在线段上时，
如图，
则，．
过点作于点，
则，
．
，．
∽．
．
又，
．
．
又，
∽．
．
．
． 

【解析】先判断出≌，即可得出结论；
求出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，即可得出结论；
先求出，进而判断出∽，得出，进而判断出∽，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，判断出∽是解本题的关键．
 

23.【答案】解：点在抛物线的图象上，

，
点的坐标为；

过作于点，过点作轴交于点，交于点，如图：
，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，最大为，
最大为，即点到直线的距离值最大；

存在，点的坐标为：或或． 

【解析】解：见解析；

见解析；

存在，
理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
即，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
，
解得，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，则、的中点重合，
，
解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．

把点的坐标代入，求出的值即可；
过作于点，过点作轴交于点，交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得，再根据二次函数的性质求解即可；
分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时分别求解即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．