河北省廊坊市香河县第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷及答案

这是一份河北省廊坊市香河县第一中学2023-2024学年高三下学期模拟考试数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则的子集的个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．设复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知某地最近天每天的最高气温（单位：）分别为，则天最高气温的第百分位数是（ ）
A．15B．21C．D．22
4．已知，且数列是等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．20D．160
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．定义在R上的偶函数满足：对任意的，（），都有，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
9．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是圆上不同的两点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，直线分别是圆的两条切线，为椭圆的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线与椭圆相交
B．直线与圆相交
C．若椭圆的焦距为两直线的斜率之积为，则
D．若两直线的斜率之积为，则
三、填空题
12．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，且双曲线的一个焦点在直线上，则该双曲线的方程为 ．
13．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 ．
14．已知正实数x，y满足，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知函数在点处的切线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)求的单调区间和极值.
16．人工智能（英语：Artificialintelligence，缩写为）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？
(2)从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
17．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，．
(1)求证：平面平面ABCD；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点．
(1)若直线过的焦点，求的值；
(2)若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
19．如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
(1)若，求的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
180
40
220
女生
120
60
180
合计
300
100
400
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】解分式不等式确定集合，然后由交集定义计算，再由子集的性质得结论．
【详解】由题意知，，所以，所以的子集的个数为．
故选：B．
2．A
【分析】根据复数的运算求出，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】，
所以在复平面内的对应点为，在第一象限.
故选：A
3．C
【分析】结合百分位数的定义，直接求解即可.
【详解】将此组数据从小到大排列：，
且共有个数，因为，所以第百分位数为.
故选：C.
4．B
【分析】利用充分必要条件的判定及等比数列通项公式验证即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，因为不等于0，
所以，若时，无法得出，
所以“”不是“”的充分条件；
若“”，则，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．A
【分析】根据二项式系数的性质得，再根据通项公式可求出结果.
【详解】因为的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
则由二项式系数性质知：展开式共有7项，则，
则展开式的通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故选：A
6．D
【分析】利用诱导公式求出，再由及两角和的正切公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：D
7．C
【分析】根据奇偶性和单调性作出函数草图，借助图形分段讨论可得.
【详解】因为函数满足对任意的，（），都有，
所以在上单调递减，
又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，作函数的草图如图，
所以，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当或或时，.
综上，不等式的解集为.
故选：C．

8．C
【分析】取的中点，根据题意分析可知：三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设，建系，结合空间两点距离公式可得，进而利用基本不等式运算求解.
【详解】连接，取的中点，可知为的外心，
过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上，
设，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，即，
整理得，当且仅当，即时，等号成立，
所以三棱锥外接球半径的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，再以空间直角坐标系为依托，分析求解.
9．AC
【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.
由已知得，
所以或，
所以直线的方程为或.
故选：AC.
10．AD
【分析】利用向量加法法则运算判断AB，先用加法法则求得，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.
【详解】，故A正确，B错误；
因为，
所以
，故C错误，D正确.
故选：AD.
11．BCD
【分析】由时，点时，得到直线方程，联立方程组，结合，可判定A错误；由原点到直线的距离为，可判定B正确；设，根据题意求得，进而得到，结合离心率的定义，可判定C正确；不妨设，根据得到，求得，结合离心率的定义，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，点的坐标可以为，
可得直线为，即，
由，整理得，此时，
所以直线与椭圆无交点，所以A错误；
对于B中，因为，所以，设原点到直线的距离为，
由点到直线的距离公式，可得，
所以直线与圆相交，所以B正确；
对于C中，椭圆的焦距为，可得，即，
不妨设，则直线，
由原点到直线的距离等于1，可得，解得，
同理可得，因为，即，
解得，又由，解得，
所以离心率，所以C正确；
对于D中，不妨设，则,，
所以，解得，
所以，
因为，可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.

【点睛】解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
12．
【分析】根据焦点在直线上确定出的值，根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，结合即可计算出的值，即可得到双曲线的方程.
【详解】因为双曲线的一个焦点在直线上，
令，则，故双曲线的右焦点为，
所以，所以，①
又因为双曲线的一条渐近线平行于直线，
所以，②
由①②解得，
所以，双曲线的方程为：.
故答案为：
13．
【分析】先根据辅助角公式化简，然后结合的范围及正弦函数的性质即可得解.
【详解】，
令，则，
由，得，
因为函数在区间上恰有两个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．/
【分析】先变形同构，令，利用导数讨论单调性，由单调性可得，然后可得，令，利用导数求最值即可.
【详解】由得，所以，则，
因为，，，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
所以由，即，得，
所以，所以．
令，所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故答案为：
【点睛】难点点睛：本题难点主要有二：一是根据已知进行同构函数，二是利用单调性得到，进而可得，利用导数即可求解.
15．(1)
(2)单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；
（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
则，因为函数在点处的切线与直线垂直，
故，解得；
（2）因为，所以，
令，解得或，令得或，令得，
列表如下：
故的单调递减区间为和，单调递增区间为，
的极大值为，极小值为.
16．(1)答案见解析
(2)分布列见解析；.
【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论；
（2）先利用分层抽样确定所抽取男生、女生人数，再利超几何概率公式计算即得分布列与期望；
【详解】（1）零假设为：学生对人工筸能是否感兴趣与性别无关.
根据列联表计算可得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对人工筸能是否感兴趣与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，
其中抽取男生人，抽取女生人；
根据已知条件的可能取值为：；
，，
，；
.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可得到，再由勾股定理逆定理证明，即可得到平面，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为底面是边长为的菱形，所以为、的中点且，
又，，所以，，
，同理可得，
所以，
所以，所以，即，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求出抛物线方程，联立直线与曲线方程，根据韦达定理解出，，即可求解的值；
（2）根据已知条件分析出直线的斜率一定存在，由此设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理表示出，，利用两点式求出方程，令，求出，同理可得，结合条件即可求得由此可得直线过定点.
【详解】（1）因为点在抛物线上，所以有，即，
所以抛物线方程为，焦点坐标为，
根据抛物线方程设，；
若直线斜率不存在，则直线为轴，不合题意，所以直线的斜率存在设为，
且直线过的焦点，所以直线的方程为，
联立直线与抛物线方程：，整理有，
根据韦达定理有：，；
因为向量，，
所以.
（2）
根据题意可知直线的斜率一定存在，设直线方程为，
根据题意设，，，，，
联立直线与抛物线有：，整理有：，
根据韦达定理有，，
由题意可知直线斜率存在，若所在直线斜率为，
则与或重合，不合题意；所以所在直线斜率不为，
则方程为，化简得：，
令解得；同理可得；
，，所以，
即，由，有，，
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：直线方程和曲线方程联立，利用韦达定理表示出两根的，，将已知条件归纳成的关系式即可求解.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，17
【分析】（1）将分别代入即可求解；
（2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可；
（3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可.
【详解】（1）由题：令则，即，故，
得，又，同理可得，.
（2）由题意，
故，
从而，即，
因为，所以即，故数列是等差数列.
（3）因为,则，解得，
又，故是以为首项，公比为的等比数列，
则，即，
当n为奇数时，，易知单调递减，
故，得，进一步有；
当n为偶数时，，易知单调递增，
故，即，得，进一步有；
综上，，
易知
当n为偶数时，由，得即，无解；
当n为奇数时，
由,得即，
故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定.
3
0
+
0
↘
极小值
↗
极大值
↘