河北省廊坊市2022届高三数学模拟试卷及答案

 高三数学模拟试卷

一、单选题

1．已知集合 ， ，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知复数 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

3．若二项式（2x+ ）7的展开式中 的系数是84，则实数a=（　　）

A．2 B． C．1 D．

4．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是      （　　）

A．等边三角形 B．等腰直角三角形

C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形

5．若 ，则事件 与 的关系是（　　） 

A．事件 与 互斥

B．事件 与 对立

C．事件 与 相互独立

D．事件 与 既互斥又相互独立

6．已知 ，则 （　　）

A． B． C． D．

7．已知⊙O：x2＋y2＝1，点A（0，－2），B（a，2），从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是（　　） 

A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B． ∪

C． ∪  D．

8．如图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所得六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（　　）． 

A． B． C． D．

二、多选题

9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（　　） 

A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同

B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大

C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）

D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

10．已知实数 、 和向量 、 ，下列结论中正确的是（　　） 

A．

B．

C．若 ，则

D．若 ，则

11．已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（　　）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切

B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离

D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

12．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题， 在空间中仍然成立的有（　　） 

A．平行于同一条直线的两条直线必平行

B．垂直于同一条直线的两条直线必平行

C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补

三、填空题

13．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 　     　.  

14．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为　         　.

15．已知 ，则 ，则A等于　     　． 

16．设直线 是曲线 的一条切线，则实数b的值是　     　． 

四、解答题

17．在 中，角 所对的边分别为 ．且 ． 

（1）求 的值； 

（2）若 ，求 的面积． 

18．已知数列 的首项 的等比数列，其前 项和 中 ， 

（1）求数列 的通项公式； 

（2）设 ，求 . 

19．已知四棱锥 ，底面ABCD为菱形， ， ，平面 平面ABCD， ，E为AB的中点. 

（1）若F为PD上一点， ，证明： ； 

（2）若 ，求二面角 的正弦值. 

20．已知函数 ， 是 的导函数. 

（1）求 的极值；  

（2）当 时，证明： .  

21．已知椭圆C： （ ）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形. 

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为 的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线 、 的斜率为 、 ，当 时，求此时“卫星圆”的个数. 

22．有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到 ），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到 ），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为 . 

（1）求 ， ， 的值； 

（2）求证： ，其中 ， ； 

（3）求 及 的值. 

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】C

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】D

9．【答案】A,B,C

10．【答案】A,B,D

11．【答案】A,B,D

12．【答案】A,C

13．【答案】

14．【答案】x＝－

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）因为 ， 

由正弦定理 ，

得 ，

∴ ；

（2）∵ ， 

由余弦定理得 ，

即 ，

所以 ，

解得 或 （舍去），

所以

18．【答案】（1）解：若 ，则 不符合题意， ， 

当 时，由 得

.

（2）解： ， 

，

.

19．【答案】（1）证明：如图，连接CE，AC.

∵底面ABCD为菱形，且 ，∴△ABC为等边三角形.

又E为AB的中点，故 .

∵平面 平面ABCD，且AB为平面PAB与平面ABCD的交线，

平面ABC，∴ 平面PAB.

∵ 平面PAB，∴ .

又∵ ， ， 面 ，∴ 平面CFE.

∵ 平面CFE，∴ .

（2）解：连接PE，∵ ，且E为AB的中点，∴ . 

∵平面 平面ABCD，且AB为平面PAB与平面ABCD的交线， 平面PAB，

∴ 平面ABCD，又 面 ，故 ，

∴EB，EC，EP两两垂直，

∴以点E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

∵ ， ，

∴由勾股定理可得 ， ，

∴ ， ， ， ，

∴ ， ， .

设平面PBC的法向量为 ，由 得

取 ，则 ， ，则 .

设平面PCD的法向量为 ，由 得

取 ，则 ，则 ·

则 ，

∴二面角 的正弦值为 .

20．【答案】（1）解：因为 ，所以 ．  

当 时， ；当 时， ．

所以 在 上单调递增，在 上单调递减，

从而 有极大值，极大值为 ，无极小值．

（2）证明：令 ，  

则 ．

设 ，则 ．

因为 ，所以 ，

所以 在 上单调递减．

又 ，

所以当 时， ；当 时， ，

即当 时， ；当 时， ．

所以 在区间 上单调递增，在区间 ， 上单调递减．

所以 ，

所以 ．

21．【答案】（1）解：∵椭圆C的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形，

∴由椭圆的定义和正方形的性质，可得 ，

解得 .

又

∴椭圆C的标准方程为 .

（2）解：设“卫星圆”的圆心为 . 

由“卫星圆”的定义，可得“卫星圆”的半径为 .

∴“卫星圆”的标准方程为 .

∵直线 ： 与“卫星圆”相切，

则由点到直线的距离公式可 ，

化简得 .

同理可得 .

∴ 、 是方程 的两个不相等的实数根，

∴ ，由 ，得 ，

将 代入得 ， .

又∵“卫星圆”的圆心 在椭圆C上，

∴代入椭圆方程 中，可得 .

解得 ，

.

当 时， ；

当 时， ，

∴满足条件的点 共8个，

∴这样“卫星圆”存在8个.

22．【答案】（1）解：棋子开始在第0站为必然事件，∴ . 

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为 ，∴ .

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为 ；

②第一次掷硬币出现反面，其概率为 .

∴ .

（2）证明：棋子跳到第n（ ）站的情况是下列两种，而且也只有两种： 

①棋子先到第 站，又掷出反面，其概率为 ；

②棋子先到第 站，又掷出正面，其概率为 .

∴ .

∴ .

（3）解：由（2）知，当 时，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 

∴ ， ，

，…， .

以上各式相加，得 ，

∴ .

∴ ，

.