2024年河北省邯郸市广平县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共16小题，共38分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算，则“”为（ ）
A. 3B. 9C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂除法计算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂除法计算，正确理解题意是解题的关键．
2. 如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，有关面积的说法正确的是（ ）

A. 主视图面积最大B. 俯视图面积最大C. 左视图面积最大D. 三种视图面积都相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义，确定三视图的形状和大小．
【详解】解：主视图，四个小正方形构成，如图所示：

左视图，四个小正方形构成，如图所示：

俯视图，5个小正方形构成，如图所示：

所以，主俯视图面积最大；
故选：B．
【点睛】本题考查三视图，从不同方向观察物体的形状，具备相应的空间想象能力是解题的关键．
3. 2021年5月15日07时18分，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆在火星上，从此，火星上留下中国的脚印，同时也为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】科学记数法：将一个数表示成形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键．
4. 如图，直线的顶点在上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出的余角∠ABF，利用平行线性质可求∠ADE．
【详解】解：∵，
∴∠ABC=90°，∠ABF=90°-∠CBF=90°-20°=70°，
∵，
∴∠ADE=∠ABF=70°．
故选择A．
【点睛】本题考查余角性质，平行线性质，掌握余角性质，平行线性质是解题关键．
5. 垃圾分类功在当代，利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 厨余垃圾
B. 可回收物
C. 其他垃圾
D. 有害垃圾
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
因为图C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
因为图D既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以此选项符合题意．
故选：D．
6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由数轴易得，然后问题可求解．
【详解】解：由数轴可得：，
∴，
∴正确的是B选项；
故选B．
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值意义及实数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及实数的运算是解题的关键．
7. 若，则A可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可．
【详解】A.如：，，故此项错误；
B. 如：，，故此项错误；
C. ，故此项正确；
D. 如：，，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键．
8. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
9. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（ ）
A. aB. C. D. b
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查线段长度的最值，
只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值．
故选：B．
10. 甲乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是，
依题意，得：，
故选：D．
11. 对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如,按这个规定，方程的解为 ( )
A. B. C. D. 或-1
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况将所求方程变形，求出解即可．
【详解】当，即时，所求方程变形为，
去分母得：，即,
解得：
经检验是分式方程的解；
当，即时，所求方程变形为，
去分母得：代入公式得：，
解得：（舍去），
经检验是分式方程的解，
综上，所求方程的解为或-1．
故选D.
【点睛】本题考查的知识点是分式方程的解，解题关键是弄清题中的新定义．
12. 如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠ APB＝45°，则CD长的最大值为（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可得，即当为直径时，长最大，由直角三角形的性质可求 的长，即可求解．
【详解】解：，分别是，的中点
，
∴当为直径时，长最大，
如图示
为直径，
，且， ，
．
长的最大值为．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，解直角三角形等知识点，熟练运用圆周角定理是本题的关键．
13. 如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC=BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别延长AE，BF交于点H，则可证得四边形EPFH为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得G为EF的中点，也是PH的中点，所以G的运动轨迹是三角形HCD的中位线，所以点G到直线AB的距离为y是一个定值，问题得解．
【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∴G为HP的中点，
∵EF的中点为G，
∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，
∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，
又∵MN∥CD，
∴G到直线AB的距离为一定值，
∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0），故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，利用到的是三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，对于此类问题来说是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
14. 在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：

下列判断正确的是（ ）
A. 甲对，乙错B. 甲错，乙对C. 甲和乙都对D. 甲和乙都错
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；乙：根据作图过程可得是的垂直平分线，然后证明，可得，判断四边形是平行四边形，根据，即可得四边形是菱形．
【详解】解：甲正确，理由如下：四边形是平行四边形，

，
根据作图过程可知：，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故甲的说法正确；
乙正确，理由如下：
如图(2)，连接交于点O，
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，.
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
故乙的说法正确，
故选：C
15. 对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值是解题的关键．首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当时，，即，
解得：；
如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线与y轴交点纵坐标为1，
，
解得：，
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点．
抛物线经过点，
∴；
如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
抛物线经过点，
，
解得：
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：A．
二、填空题：本题共3小题，共10分．
16. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角．设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
17. 对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最大的数，例如：，．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）______；
（2）若，则负整数a的值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了新概念信息题，解题的关键是读懂题意并根据题意列式计算．
（1）根据题意，读懂弄通式子的含义，代入求值即可得解．
（2）由题意，依据所给材料，列出不等式计算即可得解．
【详解】解：（1）由题意得，，
故答案为：；
（2）由题意，，
又，
且，
又a是负整数，
∴.
故答案为：.
18. 如图将菱形的沿翻折，使点C落在边上，连结，，如果，设的面积为，的面积为，则________，_________________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】三个等腰三角形、、全等，可得，利用求；构造，求出，由求出面积比，利用等高求出，进而得到．
【详解】解：在上取一点G，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由翻折得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由翻折可得DC=DE
∵△DAE≌△DFC
∴ DE=DF
∴DC=DF，
∴，
∴，
∴，
由得；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题在菱形下考查了顶角为，底角为的等腰三角形的判断与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出，构造，求出相似比．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．

（1）判断原点在第几部分，说明理由；
（2）若A，B之间的距离为3，B，C之间的距离为5，，求a和c；
（3）若点A表示数，数轴上一点D表示的数为d，当点A、原点、点D这三点中其中一点到另外两点的距离相等时，直接写出d的值．
【答案】（1）原点在第③部分，理由见解析
（2），
（3）d的值为或或，0，
【解析】
【分析】（1）由，可得b，c异号，从而可得原点的位置；
（2）直接利用数轴上两点之间的距离进行解得即可；
（3）先表示，，，再分三种情况讨论即可．
【小问1详解】
解：原点在第③部分，理由如下：
∵，
∴b，c异号，
∴原点在第③部分；
【小问2详解】
∵A，B之间的距离为3，，
∴，
∵B，C之间的距离为5，，
∴；
【小问3详解】
∵点A、原点、点D这三点中其中一点到另外两点的距离相等时，点A表示数，数轴上一点D表示的数为d，
∴，，，
当，则，
∴，
解得：，
当时，则，
∴或，
解得：或，
当时，，
解得：，
∴的值为：或或，0，．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，一元一次方程的应用，熟练的利用绝对值的含义建立方程求解是解本题的关键．
20. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图1，可得等式：.
（1）由图2，可得等式______；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值.
（3）如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，.请求出阴影部分的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解；
（2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可；
（3）根据题意阴影部分的面积两个正方形的面积和两个直角三角形的面积，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：由图可得：
；
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）可知：，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由图可知：，
∵，，

∴，
∴．
【点睛】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式．
21. 数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查几何概率，列表法或树状图法求概率．掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，
∴可列表格如下，
由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，即可以配成紫色的情况有3种，
∴配成紫色的概率为．
22. 如图，钢球从斜坡顶端A处由静止开始向下滚动，速度每秒增加，经过到达斜坡底端B处，继续沿平地向前滚动，并且均匀减速．设小球减速后的速度为（单位：），平地上的滚动时间为t（单位：s），随t变化的部分数据如下表．
（1）已知速度与滚动时间t之间成一次函数关系，则与t的函数解析式是______；
（2）求小球在平地上滚动的最远距离．
（提示：本题中，平地上滚动的距离平均速度时间t，，其中，是平地上开始时的速度，是平地上滚动t秒时的速度）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用等知识，找准等量关系，正确列出函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，再求出，然后用平地上滚动的距离平均速度时间列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设关于t的函数解析式为：，
由题意得：，
解得：
关于t的函数解析式为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：钢球从斜坡顶端A处由静止开始向下滚动，速度每秒增加，经过到达斜坡底端B处，
，
，
设小球在平地上滚动的距离为，
，
当时，s有最大值为100，
答：小球在平地上滚动的最远距离为.
23. 如图，A为外一点，线段交于点B，，，的半径为5，点P在上．

（1）当的面积最大时，求的长；
（2）当与相切时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到，点P在上，则当时，点P到的距离最大，此时的面积最大，设于点D，连接，则，在中，，得到，由勾股定理即可得到答案；
（2）当与相切时，如图，连接，过点O作于点D，由切线性质定理得到，由垂径定理得到，则，利用勾股定理求得，，在中，由勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵点P在上，
∴当时，点P到的距离最大，此时的面积最大，
如图，设于点D，连接，则，

在中，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
即当的面积最大时，的长为；
【小问2详解】
当与相切时，如图，连接，过点O作于点D，

则，，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
即的长为．
【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，准确画出图形，数形结合是解题的关键．
24. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）

（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】（1），米
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，当时，则
解得：，，则，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标；
（3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
，
，
上边缘抛物线函数解析式为；
令，则
解得：，
∴米．
【小问2详解】
解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，当时，
则
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴(米)
点的坐标为；
【小问3详解】
解：，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述，的取值范围是．
【点睛】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的图象的平移，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
25. 在中，，点D（与点B、C不重合为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．
（1）如果．如图①，且点D在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果，如图②，且点D在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点P，设，，，求线段的长．（用含x的式子表示）
【答案】（1）垂直 证明过程见解析
（2）成立，理由见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质证明，再根据全等三角形的对应角相等得，可得答案；
（2）作交于点G，再证明，可得答案；
（3）分两种情况去解答．①点D在线段上运动，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；②点D在线段延长线上运动时，作，证明，根据相似三角形的对应边成比例得出答案.
【小问1详解】
解：与位置关系是垂直；
证明如下：∵，，
∴，
∴．
由正方形得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：时，的结论成立，理由如下：
过点A作交于点G，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，，
即；
【小问3详解】
过点A作交的延长线于点Q，
①点D在线段上运动时，
∵，
∴，,
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得；
②点D在线段延长线上运动时，
∵，
同①理得：，
∴.
过A作，令与的交点为，
∴.
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，注意分情况讨论，准确的作出图形是解题的关键．
R
B
W
r
rR
rB
rW
b
bR
bB
bW
甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形．
A盘 B盘
红
红
蓝
红
红，红
红，红
红，蓝
蓝
蓝，红
蓝，红
蓝，蓝
黄
黄，红
黄，红
黄，蓝
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