辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高二下学期4月阶段测试数学试卷，共11页。试卷主要包含了在等差数列中，，则的值为，若，则，下列命题正确的是，小王喜爱逛街和吃火锅等内容，欢迎下载使用。

命题人：唐璐 校对人：李大为
考试时间：120分钟 分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1—11题58分）第二部分：非选择题型（12—19题92分）
第I卷（选择题共58分）
一､单选题
1.在等差数列中，，则的值为（ ）
A.15 B.20 C.30 D.40
2.在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A.-2 B.-1 C. D.3
用数学归纳法证明：到，等式的左边需要增乘的代数式是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知正项等比数列中，为的前项和，，则（ ）
A.7 B.9 C.15 D.20
5.若，则（ ）
A.事件与互斥 B.事件与相互独立
C. D.
6.等比数列中，，数列的前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，，定义协方差为，已知，的分布列如下表所示，其中，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
8.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（ ）
A.2024 B.2023 C.2022 D.2021
二､多选题
9.下列命题正确的是（ ）
A.在回归分析中，相关指数越小，说明回归效果越好
B.已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.1，则有95%的把握认为两个分类变量有关
C.已知由一组样本数据（，2，，n）得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
D.若，则不论取何值，为定值
10.已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A.在数列中，最大 B.在数列中，或最大
C. D.当时，
11.已知数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则数列是等比数列
D.若，则数列是等差数列
三､填空题
12.若数列的前n项和，则数列的通项公式___________.
13.小王喜爱逛街和吃火锅.在周末，她下午去逛街的概率为.若她下午去逛街，则晚上一定去吃火锅；若下午不去逛街，则晚上去吃火锅的概率为.已知小王在某个周末晚间去吃火锅，则下午逛街的概率为___________.
14.已知各项均大于零的数列的前项和为，且，则的最小值等于___________.
四､解答题
15.已知数列满足.
（1）设，证明：是等比数列；
（2）求数列的前项和.
16.设数列满足，，且.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
17.新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A､B､C､D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项.题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分.
（1）若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
（2）若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项；
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
方案三：选择A选项的同时，再随机选择两个选项.
18.2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.
（1）根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差.
参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
19.按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为.
（1）求；
（2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；
（3）设，求.
高二年级数学科答案
1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B
7.解：的分布列为
，
，，
.
8.【详解】，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，
故，令
由且，则，
由，则，
则，所以，
故，则正整数的值为2023.
9.BD 10.ACD 11.CD
11.对于A，，由，所以，
即是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，则A错误；
对于B，时，则，
利用累加法可知，显然符合，则B错误；
对于C，时，则，
显然，所以是以-2为首项，2为公比的等比数列，则C正确；
对于D，时，，
即是以为首项和公差的等差数列，则D正确.
12. 13./ 14.
14.【详解】因为
所以，将代入，得，
所以，所以，
又因为，所以
所以，，
当且仅当时等号成立，
所以，故答案为：
15.（1）证明见解析；
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，所以，
又，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，
由于，所以，
所以
.
16.（1）证明见解析（2）（3）
【详解】（1）证明：因为，所以，
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
当时，
代入验证，左右成立，所以；
（3），
相减，得
所以，
17.（1）（2）答案见解析
【详解】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
设“某题的答案是AB，该考生得分”，则.
（2）设方案一､二､三的得分分别为X，Y，Z.
①∵，.
∴X的分布列为：
则.
②∵，，，
∴Y的分布列为：
则.
③∵，，
∴Z的分布列为：
则.
∵，
∴以数学期望为依据选择方案一更恰当.
18.（1）列联表见解析；没有（2）①；②，.
【详解】（1）因为，
所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为，
则了解人工智能的男生有人，
结合男生和女生各有人，填写列联表为：
因，
故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.
（2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，
不了解人工智能的有人，
所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；
②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，
由题意可知，，所以，，.
19.（1）
（2），
（3）
【详解】（1）根据数表所给数据相加求解
.
（2）由题意得，第行共有项.
因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出，
可得，即
等式两边同时除以，得.
所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，
可得，即
（3），
所以
，
所以.1
2
1
2
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
女生
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
4
X
2
3
P
Y
0
4
6
P
Z
0
6
P
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100