河南省商丘市虞城县求实学校2022-2023学年下学期八年级数学期中试卷+

这是一份河南省商丘市虞城县求实学校2022-2023学年下学期八年级数学期中试卷+，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4B．C．30，50，60D．6，10，8
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠AED＝（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．2＝2
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的菱形是正方形
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．如图是由一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边AC的中点，则∠DBE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．22.5°
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
9．已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）
A．83B．34C．22D．8
10．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（ ）
A．2B．4C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．化简：＝ ．
12．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 cm2．
13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．
14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的长为 ．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 ．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）（+1）（3﹣）﹣．
17．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF，求证：
（1）CE＝AF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．
18．（9分）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
19．（9分）已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求该长方形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．
20．（9分）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为 ；
（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；
（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）．
21．（9分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．
（1）求证：四边形DEGF是菱形；
（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面积．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．
（1）求AB的长；
（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ ．（直接写出结果）
河南省商丘市虞城县求实学校2022-2023学年下学期八年级数学期中试卷
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4B．C．30，50，60D．6，10，8
【分析】先求出两小边的平方，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵302+502≠602，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵62+82＝102，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B.＝，故此选项不合题意；
C.＝2，故此选项不合题意；
D.是最简二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
3．如图，▱ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠AED＝（ ）
A．100°B．80°C．60°D．40°
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义求解．
【解答】解：在▱ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠B＝180°﹣100°＝80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠DAB＝40°，
又∵DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE＝40°．
故选：D．
【点评】本题利用了两直线平行，同旁内角互补，内错角相等和角的平分线的定义．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．2＝2
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．
【解答】解：﹣＝2﹣＝，A选项正确；
+≠，B选项错误；
2﹣2≠，C选项错误；
2﹣＝，D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的加减运算，做题关键要掌握二次根式的加减运算法则．
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组对边平行的四边形是平行四边形
D．对角线相等的菱形是正方形
【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、有一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理是解题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8．则EF的长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD＝4，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝BD，
∴BO＝DO＝BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，
∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝BO＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分．
7．如图是由一副三角尺拼成的四边形ABCD，E为斜边AC的中点，则∠DBE等于（ ）
A．10°B．15°C．20°D．22.5°
【分析】根据直角三角形性质，在Rt△ACD中，中线DE＝AC，在Rt△ABC中，BE＝AC，即DE＝BE，再根据特殊三角形内角即可求得∠DBE．
【解答】解：在直角△ACD中，∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，则∠ACD＝60°．
又∵E为斜边AC的中点，
∴DE＝EC＝AC．
∴∠DEC＝∠ECD＝60°．
∵∠BED＝90°，
∴∠BED＝150°．
在直角△ABC中，E为斜边AC的中点，则BE＝AC．
∴DE＝BE，
∴∠DBE＝EDB＝×（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形基本性质，是基础题也是常考题型，要熟练掌握．
8．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该生头顶C到门铃A的距离为（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3m，CE＝4m，
由勾股定理得AC＝＝＝5（m），
故离门5米远的地方，门铃恰好自动响起．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9．已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）
A．83B．34C．22D．8
【分析】先分别根据二次根式的加法法则和二次根式的乘法法则求出a+b和ab的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，
∴a+b＝+2+﹣2＝2，
ab＝（+2）×（﹣2）＝7﹣4＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×3＝28﹣6＝22，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（ ）
A．2B．4C．D．
【分析】延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，由AF平分∠DFE，可证△GFA≌△EFA（SAS），得AG＝AE，GF＝EF，即可证Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），得DG＝BE＝2，设DF＝x，根据∠C＝90°，有（5﹣2）2+（5﹣x）2＝（x+2）2，即可解得答案．
【解答】解：延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，如图：
∵AF平分∠DFE，
∴∠GFA＝∠EFA，
∵AF＝AF，FG＝FE，
∴△GFA≌△EFA（SAS），
∴AG＝AE，GF＝EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL），
∴DG＝BE＝2，
设DF＝x，则FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝5﹣x，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2，
∴（5﹣2）2+（5﹣x）2＝（x+2）2，
解得x＝，
∴DF＝，
故选：D．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．化简：＝ π﹣3 ．
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵3﹣π＜0，
∴原式＝|3﹣π|
＝π﹣3．
故答案为：π﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
12．已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 24 cm2．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的面积＝×8×6＝24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
13．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
【解答】解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，
则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝72＝49（cm2）．
即正方形A，B，C，D的面积的和为49cm2．
【点评】本题考查了勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．熟练运用勾股定理进行面积的转换是解题关键．
14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的长为 ．
【分析】先证△ABE和△DAF全等得∠ABE＝∠DAF，由此可证∠AOB＝∠BOF＝90°，再根据直角三角形的性质得OP＝BF，然后在△BCF中利用勾股定理得BF＝，由此可得OP的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝5，
∵AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAO＝∠BAD＝90°，
∴∠ABE+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
在△BCF中，BC＝5，CF＝3，
由勾股定理得：BF＝＝，
∴OP＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15．如图，矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，DE的长为 9或18 ．
【分析】分两种情况•分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝18；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝30，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，根据勾股定理得，D′E2+D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），
∵∠CED′＝90°，
根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，
△CD'E为直角三角形，
即∠CD′E＝90°，
∴∠AD′E+∠CD′E＝180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC＝＝30，
∴CD′＝30﹣18＝12，
设DE＝D′E＝x，则EC＝CD﹣DE＝24﹣x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2＝EC2，
即x2+144＝（24﹣x）2，
解得x＝9，
即DE＝9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）（+1）（3﹣）﹣．
【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而合并得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+4+4
＝7+3；
（2）原式＝3﹣5+3﹣﹣2
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD，AB上的点，且DE＝BF，求证：
（1）CE＝AF；
（2）四边形AFCE是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得得AB＝CD，AB∥CD，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵DE＝BF，
∴CD﹣DE＝AB﹣BF，
即AF＝CE；
（2）∵AF＝CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18．（9分）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
【分析】设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2，解方程即可．
【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣3）2+82＝x2，
解得：x＝12（尺），
答：绳索AC的长度是12尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
19．（9分）已知长方形的长a＝，宽b＝．
（1）求该长方形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．
【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；
（2）利用等量关系另一个正方形的面积＝该长方形的面积列出等式并计算．
【解答】解：∵a＝＝2，b＝＝，
（1）长方形的周长＝2×（+）＝2×（2）＝6；
（2）长方形的面积＝2×＝6，
根据面积相等，则正方形的边长＝，
所以，正方形的周长＝4．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
20．（9分）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．
（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为 ；
（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；
（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）．
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）根据正方形的定义画出图形即可；
（3）把菱形AMGK向右平移可得菱形FNQP．
【解答】解：（1）AM＝﹣＝，
故答案为：；
（2）如图①中，正方形MABC即为所求；
（3）如图②中，菱形FNPQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．（9分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．
（1）求证：四边形DEGF是菱形；
（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面积．
【分析】（1）由折叠的性质可得FD＝ED，FG＝EG，可证△FDG≌△EDG，可得∠EDG＝∠FDG，由平行线的性质可得∠EGD＝∠FDG＝∠EDG，可得ED＝EG，可得结论；
（2）先证四边形ABCF是矩形，可得AB＝CF，由折叠的性质可得CE＝CF＝10，由勾股定理可求BE，AE，DF的长，即可求解．
【解答】证明：（1）∵点E与点F关于直线 CD对称，
∴FD＝ED，FG＝EG，且DG＝DG，
∴△FDG≌△EDG（SSS），
∴∠EDG＝∠FDG，
∵EG∥AF，
∴∠EGD＝∠FDG，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴ED＝EG，
∴FD＝ED＝FG＝EG，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）连接FC，EC，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，
∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CF＝AB＝10，
∵点E与点F关于直线 CD对称，
∴CE＝CF＝10，
∴BE＝6，
∴AE＝4，
设FD＝ED＝FG＝EG＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5．
∴S＝5×4＝20．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决是本题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．
（1）求AB的长；
（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2，
∴AC2+CE2＝40，AE2＝40，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∴AB＝＝＝6；
（2）①∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4，
当BF＝BE＝4时，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．
综上所述，AF的长为6﹣4或4或2．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的顶点A（0，2），C（2，0）．
（1）求点D到直线AC的距离；
（2）如图2，∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，F为BE的中点，连接CF，求∠ACF的大小；
（3）如图3，M，N分别是边CD和对角线AC上的动点，且AN＝CM，则OM+ON的最小值＝ 2 ．（直接写出结果）
【分析】（1）作DG⊥AC于点G，由四边形AOCD是矩形得∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，根据勾股定理得AC＝＝4，由×4DG＝×2×2，得DG＝，所以点D到直线AC的距离是；
（2）连接AF、DF，由∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，∠COE＝∠AOE＝∠AOC＝45°，可证明△CEF≌△ADF，得CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，则∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，所以∠ACF＝45°；
（3）连接OD交AC于点Q，先证明△QCD和△QOA都是等边三角形，则∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DR＝CD＝1，PC＝2CR＝2，根据勾股定理求得PR＝，所以P（3，1），则OP＝＝2，当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，再证明△PCM≌△OAN，则PM＝ON，所以OM+ON的最小值为2．
【解答】解：（1）如图1，作DG⊥AC于点G，
∵四边形AOCD是矩形，A（0，2），C（2，0），
∴∠ADC＝90°，AD＝OC＝2，CD＝OA＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ADC＝AC•DG＝AD•CD，
∴×4DG＝×2×2，
∴DG＝，
∴点D到直线AC的距离是．
（2）如图2，连接AF、DF，
∵∠AOC的角平分线交AD于点B，交CD的延长线于点E，∠AOC＝90°，
∴∠COE＝∠AOE＝∠AOC＝45°，
∵∠OCE＝90°，
∴∠E＝∠COE＝45°，
∴CE＝OC，
∴CE＝AD，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠DBE＝∠E＝45°，
∴DB＝DE，
∵F为BE的中点，
∴∠ADF＝∠EDF＝∠DBE＝45°，EF＝DF＝BE，DF⊥BE，
∴∠E＝∠ADF，
∴△CEF≌△ADF（SAS），
∴CF＝AF，∠CFE＝∠AFD，
∴∠AFC＝∠AFD﹣∠CFD＝∠CFE﹣∠CFD＝∠DFE＝90°，
∴∠ACF＝∠CAF＝45°．
（3）如图3，连接OD交AC于点Q，
∵OD＝AC＝4，
∴QD＝QC＝CD＝AQ＝OQ＝OA＝2，
∴△QCD和△QOA都是等边三角形，
过CD中点R作RP⊥CD，CP∥OD交RP于点P，连接OP、MP，
∵∠CRP＝90°，∠PCR＝∠CDQ＝60°，CR＝DR＝CD＝1，
∴∠RPC＝30°，
∴PC＝2CR＝2，
∴PR＝＝＝，
∴P（3，1），
∴OP＝＝2，
∵OM+PM≥OP，
∴当点M在OP上时，OM+PM＝2，此时OM+PM的值最小，
∵PC＝OA＝1，∠PCM＝∠OAN＝60°，CM＝AN，
∴△PCM≌△OAN（SAS），
∴PM＝ON，
∴OM+ON的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．