2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设(1+x)n=a0+a1x+⋯+anxn(n∈N*)，若a1=a5，则n的值为( )
A. 4B. 6C. 7D. 8
2.某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有( )
A. 120种B. 240种C. 216种D. 256种
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=5a2+6a1，则公比q为( )
A. 1或5B. 5C. 1或−5D. 5或−1
4.已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y=xf′(x)的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的增区间是(−2,0)，(2,+∞)
B. 函数f(x)的减区间是(−∞,−2)，(2,+∞)
C. x=−2是函数的极小值点
D. x=2是函数的极小值点
5.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
A. −12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b+c
D. 12a−12b+c
6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率( )
A. 0.24B. 0.36C. 0.5D. 0.52
7.已知函数f(x)=x2+2lnx的图像在A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是( )
A. x1+x2=2B. x1+x2=103C. x1x2=2D. x1x2=103
8.已知椭圆C1：x2m2+y2n2=1(m>n>0)与双曲线C2：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1，F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60°，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为( )
A. 2+ 34B. 2+ 32C. 3+2 24D. 3+2 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量X、Y，且Y=3X+1，X的分布列如下：
若E(Y)=10，则( )
A. m=310B. n=15C. E(x)=3D. D(Y)=73
10.大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{an}满足a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，则( )
A. a4=6
B. an+2=an+2(n+1)
C. an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数
D. a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8=−20
11.已知函数f(x)=(x−1)3−ax−b+1，则下列结论正确的是( )
A. 当a=3时，若f(x)有三个零点，则b的取值范围为(−4,0)
B. 若f(x)满足f(2−x)=3−f(x)，则a+b=−1
C. 若过点(2,m)可作出曲线g(x)=f(x)−3x+ax+b的三条切线，则−5D. 若f(x)存在极值点x0，且f(x0)=f(x1)，其中x0≠x1，则x1+2x0=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线3x+2y−3=0与直线6x+my+7=0互相平行，则它们之间的距离是______．
13.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn=5n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于______
14.设函数f(x)=xex若对任意x2∈(0,+∞)，存在x1∈(0,+∞)不等式f(x1)x12⋅f(x2)ex2≤2kk+1[(x2)2+1]恒成立，则正数k的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，a2+a5+a10=31．
(1)求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn；
(2)若bn=3n⋅an，求数列{bn}的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：
(1)从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；
(2)从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D是CC1的中点，AC=BC，AA1=AB．
(1)证明：AB1⊥平面A1BD；
(2)若∠ACB=23π,AB=2 3，求直线AC1与平面A1BD的所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2 3，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，R为椭圆上的一点，且△RF1F2的周长为6．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆交于E，F两点(点E在第一象限)，P，Q是椭圆C上位于直线l两侧的动点，始终保持∠QEF=∠PEF，求证：直线PQ的斜率为定值．
19.(本小题17分)
已知f(x)=eax−x−1，其中a∈R．
(1)当a=1时，证明：f(x)≥0；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围；
(3)设n∈Z*，n≥2，证明：1+212+313+⋯+n1n>n+ln(n+2)−ln3．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题知，a1=Cn1,a5=Cn5，
所以a1=a5，所以Cn1=Cn5，所以n=1+5=6．
故选：B．
根据二项式系数和组合数的性质可得．
本题考查二项式定理的应用，属中档题．
2.【答案】B
【解析】解：利用捆绑法，把甲和乙看成一个整体，与其他4人进行全排列，
所以不同排法有A22⋅A55=240种．
故选：B．
利用“捆绑法”求解．
本题主要考查了排列组合知识，考查了“捆绑法”的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=5a2+6a1，
∴a1+a1q+a1q2=5a1q+6a1，
整理得q2−4q−5=0，
解得公比q=−1或q=5．
故选：D．
利用等比数列的性质列方程，能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图及题设，当0当x>2，f′(x)>0；
当−2当x<−2时，f′(x)>0；
即函数f(x)在(−∞,−2)和(2,+∞)上单调递增，在(−2,2)上单调递减，
因此函数f(x)在x=2时取得极小值，在x=−2时取得极大值；
故A，B，C错，D正确．
故选：D．
由已知易得f(x)的单调区间，进而可判断f(x)在x=2时取得极小值，在x=−2时取得极大值，可得结论．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM．
本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．
【解答】
解：∵BM=BB1+B1M
=c+12BD
=c+12(BA +BC)
=c+12(−a+b)
=−12a+12b+c
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”，B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.6，P(A2|B1)=0.4，
由全概率公式，得
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.4=0.5，
因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5．
故选：C．
根据题意结合全概率公式可直接求得．
本题主要考查全概率公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由f(x)=x2+2lnx，得f′(x)=2x+2x，
则f′(x1)=2x1+2x1，f′(x2)=2x2+2x2，
依题意可得2x1+2x1=2x2+2x2，且x1>0、x2>0、x1≠x2，
∴x1x2=1，则x1+x2>2 x1x2=2，
经验证，当x1、x2分别取3、13时，x1+x2=103满足题意．
故选：B．
求出函数的导函数，依题意可得2x1+2x1=2x2+2x2，再由x1>0、x2>0、x1≠x2，即可得到x1x2=1，最后由基本不等式求出x1+x2的范围，即可判断．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cs60°，
在椭圆中，|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|(1+cs60°)，
得|PF1|⋅|PF2|=2n21+cs60∘=43n2，
在双曲线中，|F1F2|2=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|(1−cs60°)，
得|PF1|⋅|PF2|=2b21−cs60∘=4b2，从而4n23=4b2，得n2=3b2，
则m2=n2+c2=3b2+c2，a2=c2−b2，即m2+3a2=4c2,m2c2+3a2c2=4，
即1e12+3e22=4，
所以e12+e22=14(e12+e22)(1e12+3e22)=14(4+e22e12+3e12e22)≥14×(4+2 3)=2+ 32，
当且仅当e22= 3e12=3+ 34时等号成立．
故选：B．
分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造1e12+3e22=4，利用基本不等式，即可求解．
本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：∵X的分布列如下：
∴E(X)=m+2×110+3×15+4n+5×310=m+4n+2310，m+110+15+n+310=1，
∵Y=3X+1，E(Y)=10，
则E(Y)=3E(X)+1=10，
∴E(X)=3，
∴m+4n+2310=3，m+n=25，
解得m=310，n=110，
∴D(X)=(1−3)2×310+(2−3)2×110+(3−3)2×15+(4−3)2×110+(5−3)2×310=2.6，
∴D(Y)=32D(X)=23.4．
故选：AC．
根据X的分布列可得：E(X)=m+2×110+3×15+4n+5×310=m+4n+2310，m+110+15+n+310=1，结合离散型随机变量的期望与方差及性质即可得出结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列、期望与方差及性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由a1=0，an+1=an+n+1,n为奇数an+n,n为偶数，可得a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，a4=a3+4=8，故A错误；
当n为奇数时，an+2=an+1+n+1=an+n+1+n+1=an+2(n+1)，
当n为偶数时，an+2=an+1+n+2=an+n+n+2=an+2(n+1)，故B正确；
当n(n≥3)为奇数时，an=a1+(a3−a1)+(a5−a3)+...+(an−an−2)=0+4+8+...+2(n−1)=12×2(n−1)⋅12(n+1)=n2−12(n=1也成立)；
当n(n≥2)为偶数时，an=a2+(a4−a2)+(a6−a4)+...+(an−an−2)=2+6+10+...+2(n−1)=12×2n⋅12n=12n2(n=2也成立)，故C正确；
a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8=0−2+4−8+12−18+24−32=−20，故D正确．
故选：BCD．
由数列的递推式，计算可判断A；讨论n为奇数和偶数，结合递推式和等差数列的求和公式，可判断BC；分别计算数列的前8项，可判断D．
本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=(x−1)3−ax−b+1，f′(x)=3(x−1)2−a．
A.当a=3时，f′(x)=3(x−1)2−3=3x(x−2)，令f′(x)=0，解得x=0，2．
x∈(−∞,0)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
∴0是函数f(x)的极大值点，2是函数f(x)的极小值点，
∵f(x)有三个零点，∴f(0)=−b>0f(2)=−4−b<0，解得−4B.∵f(x)满足f(2−x)=3−f(x)，∴(1−x)3−a(2−x)−b+1=3−[(x−1)3−ax−b+1]，化为2a+2b+1=0，因此B不正确．
C.g(x)=f(x)−3x+ax+b=x3−3x2，g′(x)=3x2−6x，设切点为P(x0,x03−3x02)，则切线斜率k=3x02−6x0，切线方程为：y−(x03−3x02)=(3x02−6x0)(x−x0)，
∵切线经过点(2,m)，代入化为：−m=2x03−9x02+12x0，
令h(x0)=2x03−9x02+12x0，则h′(x0)=6x02−18x0+12=6(x0−1)(x0−2)，可得极大值点为1，极小值点为2，h(1)=5，h(2)=4，
∵过点(2,m)可作出曲线g(x)=f(x)−3x+ax+b的三条切线，
∴函数y=−m与函数h(x)的图象有三个交点，
∴4<−m<5，解得−5D.∵f(x)存在极值点x0，∴f′(x0)=3(x0−1)2−a=0，即a=3(x0−1)2，∵f(x0)=f(x1)，其中x0≠x1，
∴(x0−1)3−ax0−b+1=(x1−1)3−ax1−b+1，化为(x0−x1)[(x0−1)2+(x0−1)(x1−1)+(x1−1)2−a]=0，即(x0−1)2+(x0−1)(x1−1)+(x1−1)2−3(x0−1)2=0，
因式分解为[2(x0−1)+(x1−1)][(x0−1)−(x1−1)]=0，化为x1+2x0=3，因此D正确．
故选：ACD．
函数f(x)=(x−1)3−ax−b+1，f′(x)=3(x−1)2−a．
A.当a=3时，可得f′(x)=3x(x−2)，令f′(x)=0，解得x=0，2.即可得出函数f(x)的极值点与极值，根据f(x)有三个零点，可得极大值大于0，而极小值小于0，进而解得b的取值范围，进而判断出A正误．
B.根据f(x)满足f(2−x)=3−f(x)，化简即可判断出B正误．
C.g(x)=f(x)−3x+ax+b=x3−3x2，g′(x)=3x2−6x，设切点为P(x0,x03−3x02)，可得切线方程为：y−(x03−3x02)=(3x02−6x0)(x−x0)，根据切线经过点(2,m)，代入化为：−m=2x03−9x02+12x0，令h(x0)=2x03−9x02+12x0，由过点(2,m)可作出曲线g(x)=f(x)−3x+ax+b的三条切线，可得函数y=−m与函数h(x)的图象有三个交点，即可得出m的取值范围，进而判断出C正误．
D.由f(x)存在极值点x0，可得f′(x0)=3(x0−1)2−a=0，即a=3(x0−1)2，根据f(x0)=f(x1)，其中x0≠x1，可得(x0−1)3−ax0−b+1=(x1−1)3−ax1−b+1，把a=3(x0−1)2代入并且化简整理，即可判断出D正误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、函数零点转化为图象交点、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12.【答案】 132
【解析】解：由直线3x+2y−3=0与直线6x+my+7=0互相平行，得m=4，
则直线3x+2y−3=0与直线3x+2y+72=0的距离为：d=|72+3| 32+22= 132．
故答案为： 132．
根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解．
本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
13.【答案】10724
【解析】解：两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn=5n+2n+3，
所以a2+a20b7+b15=a1+a21b1+b21=a1+a212×21b1+b212×21=S21T21=5×21+221+3=10724．
故答案为：10724．
据给定条件，利用等差数列前n项和公式结合等差数列性质计算作答．
本题考查了等差数列性质相关的知识，属于基础题．
14.【答案】[e4−e,+∞)
【解析】解：因为f(x)=xex，令g(x)=f(x)x2，则g(x)=exx，
令h(x)=ex(x2+1)f(x)=x+1x，
又对任意x2∈(0,+∞)，存在x1∈(0,+∞)，不等式f(x1)x_12恒成立，
又k>0，
即g(x1)2k≤h(x2)k+1，即gmin(x)2k≤hmin(x)k+1恒成立，
又g(x)=exx，g′(x)=ex(x−1)x2，
则0x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
故gmin(x)=g(1)=e，
又当x>0时，h(x)=x+1x≥2 x×1x=2，当且仅当x=1时，等号成立，
故e2k≤1k+1，
又k>0，
所以k≥e4−e，
故答案为：[e4−e,+∞)．
令g(x)=f(x)x2，h(x)=ex(x2+1)f(x)，问题转化为gmin(x)2k≤hmin(x)k+1，利用导数和基本不等式求函数最值即可求解．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由S5=25a2+a5+a10=31，得5a1+10d=25a1+d+a1+4d+a1+9d=31，解得a1=1d=2，
所以an=1+2(n−1)=2n−1，
所以Sn=1+3+⋯+2n−1=n(1+2n−1)2=n2；
(2)由(1)可得bn=3n⋅an=(2n−1)×3n，
所以Tn=1×31+3×32+5×33+⋯+(2n−1)×3n，
则3Tn=1×32+3×33+5×34+⋯+(2n−1)×3n+1，
所以−2Tn=1×31+2×32+2×33+⋯+2×3n−(2n−1)×3n+1
=3+2×32(1−3n−1)1−3−(2n−1)×3n+1=−6−(2n−2)×3n+1，
所以Tn=3+(n−1)×3n+1．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列通项公式及求和公式得到关于a1与d的方程组，解得a1与d，即可求出通项公式与Sn；
(2)由(1)可得bn=(2n−1)×3n，利用错位相减法计算可得．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)设A=“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，
则P(A)=17+12+10+7+4100=50100=12，
所以从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12；
(2)第8组、第9组、第10组共有11人，其中选择政治的有6人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X=0)=C52C112=211，P(X=1)=C51C61C112=611，P(X=2)=C62C112=311，
所以X的分布列为：
故X的期望E(X)=0×211+1×611+2×311=1211．
【解析】(1)先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；
(2)X的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：如图1，记A1B与AB1的交点为点O，连接B1D，OD，
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以∠A1AB=∠DCA=∠B1C1D=90°，
因为AA1=AB，所以四边形AA1B1B是正方形，故AB 1⊥A1B，
因为AC=BC，BC=B1C1，所以AC=B1C1，又因为D是CC1中点，
所以CD=C1D，
所以AD= CD2+AC2= C1D2+B1C12=B1D，
因为四边形AA1B1B是正方形，所以O是AB1的中点，
所以AB1⊥OD，又A1B，OD⊂平面A1BD，
A1B∩OD=O，
所以AB1⊥平面A1BD．
(2)如图2，取AB中点的E，易知AB，OE，CE两两垂直，建立如图空间直角坐标系E−xyz，
则A(− 3,0,0),B( 3,0,0)，C(0,1,0),D(0,1, 3),A1(− 3,0,2 3),C1(0,1,2 3)，
所以AC1=( 3,1,2 3),BD=(− 3,1, 3)，BA1=(−2 3,0,2 3)，
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BD=0n⋅BA1=0，即− 3x+y+ 3z=0−2 3x+2 3z=0,令z=1,则法向量n=(1,0,1)，
n⋅AC1=1× 3+0×1+1×2 3=3 3，|n|= 12+0+12= 2，
|AC1|= ( 3)2+12+(2 3)2=4，
所以cs=n⋅AC1|n|⋅|AC1|=3 3 2×4=3 68，
设直线AC1与平面A1BD的所成角的线面角为θ(0<θ≤90°)，
则sinθ=|cs|=3 68，得csθ= 1−sin2θ= 108，
故直线AC1与平面A1BD的所成角的线面角的余弦值为csθ= 108．
【解析】(1)易知四边形AA1B1B是正方形，则AB1⊥A1B，由勾股定理可证明AB1⊥OD，结合线面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系E−xyz，利用空间向量法求解线面角即可．
本题考查线面垂直的证法及用空间向量的方法求线面所成的角的余弦值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为椭圆C的短轴长为2 3，
所以2b=2 3，
因为△RF1F2的周长为6，
所以|F1F2|+|RF1|+|RF2|=2c+2a=6，
整理得a+c=3，
此时a−c=a2−c2a+c=b2a+c=33=1，
则a=a+c2+a−c2=32+12=2，
故椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)证明：易知c= a2−b2= 4−3=1，
所以直线l的方程为x=1，
联立x=1x24+y23=1，
解得y=±32，
即E(1,32)，F(1,−32)，
因为∠QEF=∠PEF，
所以直线PE，QE的斜率互为相反数，
不妨设直线PE，QE的斜率分别是k，−k，
可得直线PE的方程为y=kx+32−k，直线QE的方程为y=−kx+32+k，
联立y=kx+32−kx24+y23=1，消去y并整理得(3+4k2)x2+4(3−2k)kx+(3−2k)2−12=0，
易知该方程的一根为x=1，
则另一根为x=(3−2k)2−123+4k2=4k2−12k−34k2+3，
可得P(4k2−12k−34k2+3,−12k2−12k+92(4k2+3))，
同理得Q(4k2+12k−34k2+3,−12k2+12k+92(4k2+3))，
则直线PQ的斜率kPQ=−12k2+12k+92(4k2+3)−−12k2−12k+92(4k2+3)4k2+12k−34k2+3−4k2−12k−34k2+3=12k4k2+324k4k2+3=12．
故直线PQ的斜率为定值，定值为12．

【解析】(1)由已知可得a+c=3，b= 3，然后解出a即可得到方程；
(2)先确定E(1,32)，然后由已知可得PE，QE的斜率互为相反数，再设出斜率，使用韦达定理即可验证直线PQ的斜率kPQ=12．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：当a=1时，f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，
当x>0时，f′(x)>0，
当x<0时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．
所以f(x)≥f(0)=0，
(2)由f(x)≥0，则eax≥x+1．
当x∈(−∞,−1]时，显然不等式eax≥x+1恒成立，
当x∈(−1,+∞)时，eax≥x+1整理可得ax≥ln(x+1)，
令函数g(x)=ax−ln(x+1)(x>−1)，
易知g(0)=0，g′(x)=a−1x+1，则g′(1a−1)=0，易知g′(x)是增函数．
当x∈(1a−1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(−1,1a−1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
故g(x)min=g(1a−1)=1−a−ln1a=1−a+lna，
所以为使∀x∈(−1,+∞)，都有g(x)≥0，必有1−a+lna≥0，
对∀a>0，都有lna≤a−1，当且仅当a=1时等号成立，
则有1−a+lna≥0lna≤a−1，
所以lna=a−1，即a=1．
(3)证明：由(1)知当x>0时，1+x1+k=2n[1+ln(1+1k+1)]=n+k=2nlnk+2k+1=n+k=2n[ln(k+2)−ln(k+1)]=n+ln(n+2)−ln3，
利用不等式ln(1+x)可得n+ln(n+2)−ln3=1+k=2n[1+ln(1+1k+1)]<1+k=2n(1+1k+1)
≤1+43+k=3n(1+1k)≤1+(169)12+k=3n(1+lnkk)
<1+212+k=3nelnkk=1+212+k=3nk1k=k=1nk1k，
即当n≥2时，1+212+313+⋯+n1n>n+ln(n+2)−ln3．
【解析】(1)利用导数与函数单调性的关系，求导研究其单调区间，可得答案；
(2)根据指数函数的性质，利用分类讨论思想，整理不等式构造函数，再利用导数求得其最值，建立不等式，可得答案；
(3)将不等式的右边整理为求和式，利用放缩法结合(1)的不等式可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．X
1
2
3
4
5
P
m
110
15
n
310
组别
选考科目
频数
第1组
历史、地理、政治
20
第2组
物理、化学、生物
17
第3组
生物、历史、地理
14
第4组
化学、生物、地理
12
第5组
物理、化学、地理
10
第6组
物理、生物、地理
9
第7组
化学、历史、地理
7
第8组
物理、历史、地理
5
第9组
化学、生物、政治
4
第10组
生物、地理、政治
2
合计：100
X
1
2
3
4
5
P
m
110
15
n
310
X
0
1
2
P
211
611
311