2023-2024学年福建省莆田八中、莆田侨中高一上学期期末联考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省莆田八中、莆田侨中高一上学期期末联考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。

A. {x∣0≤x<3}B. {x∣1≤x<3}C. 1,2D. 0,1,2
2.“sinα= 32”是“α=π3”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数fx=n2+4n−4xn2−3nn∈Z的图象关于y轴对称，且在0,+∞上是减函数，则n的值为
( )
A. −5B. 2C. 1D. −5或1
4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是
( )
A. y=sinxB. y=|sinx|C. y=cs2xD. y=tanx
5.对任意a>0且a≠1，函数fx=ax+1+1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ=( )
A. −12B. −2C. − 55D. 2 55
6.已知sinα+csα=13，且α∈0,π，则sinα−csα的值为
( )
A. −13B. − 173C. 173D. 173或− 173
7.函数fx=lnx−2x的零点所在的区间是
( )
A. 1e,1B. 1,2C. 2,3D. e,+∞
8.已知函数f(x)=x2+4x−1,x≤0,(12)x−2,x>0,若方程[f(x)]2+2af(x)+3=0有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,− 3)B. [74,145)C. ( 3,2)D. [74,2)
9.下列命题为真命题的是( )
A. ∃n∈Z，n2+n为奇数
B. ∀a∈R，二次函数y=x2+a的图象关于y轴对称
C. “a>b”是“ac2>bc2”的必要条件
D. fx=x2与gx= x4是同一函数
10.若0( )
A. 2a2+b2B. 2 abC. 2 2abD. a+b
11.函数fx=Asinωx+φ，A>0,ω>0,φ<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是
( )
A. 函数y=fx的图象关于直线x=−5π12对称
B. 函数y=fx在−π,−5π6上单调递减
C. 函数fx的图像关于点(5π3,0)对称
D. 该函数y=fx的周期是2π
12.下列结论正确的有( )
A. 函数fx=ex−e−xex+e−x图象关于原点对称
B. 函数fx定义域为R且对任意实数x、y恒有fx+fy=fx+y.则fx为偶函数
C. fx=lg2x2−mx+1的定义域为R，则m∈−∞,−2∪2,+∞
D. fx=lg2x2−mx+1的值域为R，则m∈−∞,−2∪2,+∞
13.函数f(x)= 2−x+ln(x+1)的定义域为 ．
14.扇形的半径为2，圆心角为1rad，则该扇形的面积为 ．
15.为了得到函数y=3sin2x−π4的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向 (左、右、上、下)平移 个单位长度
16.已知函数f(x)=ln(−x2+2x+3)，则f(x)的单调增区间为 ．
17.(1)化简求值lg3 27+lg25+lg4+7lg72+(−9.8)0(2)已知α为锐角，且满足2tan2α−3tanα−2=0.求3sinα+csπ+α2sinα+5sinπ2+α的值;
18.已知sinα=7 210,sinα+β=35，其中α∈0,π2,β∈−π2,0．
(1)求β；
(2)求sin2α−β．
19.已知函数fx=sinxcsx− 3cs2x+ 32．
(1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数fx在区间−π6,π4上的值域．
20.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关，若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p=k4x+5(0≤x≤15)，若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．
21.设函数f(x)=23x+1−a(a∈R)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
(3)已知a=f(20.3)，b=f(lg213)，c=f(3−0.5)，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由．
22.已知函数f(x)=x2−3mx+n(m>0)的两个零点分别为1和2．
(1)求m、n的值；
(2)若不等式f(x)−k>0在x∈[0,5]恒成立，求k的取值范围．
(3)令g(x)=f(x)x，若函数F(x)=g(2x)−r2x在x∈[−1,1]上有零点，求实数r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】根据指数函数的性质求出集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案．
【详解】由题意得B={x∣1≤2x<8}={x|0≤x<3}，集合A为自然数集N，
故A∩B={0,1,2}，
故选：D
2.【答案】B
【解析】【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
【详解】sinθ= 32推不出θ=π3，所以“sinα= 32”是“α=π3”非充分条件，
θ=π3推出sinθ= 32，“sinα= 32”是“α=π3”必要条件．
故选：B．
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】根据幂函数的概念得n2+4n−4=1即n=−5或n=1，再根据性质可得n=1时符合题意．
【详解】因为fx=n2+4n−4xn2−3nn∈Z为幂函数，
所以n2+4n−4=1，得n=−5或n=1，
当n=−5时，fx=x40为偶函数关于y轴对称，且在0,+∞上单调递增，不满足题意；
当n=1时，fx=x−2，偶函数关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，满足题意，
故选：C
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
由题意，利用三角函数的图像性质逐项判断得出结论．
【解答】解：由于函数y=sinx的最小正周期为2π，故A不满足条件；
由于函数y=|sinx|的最小正周期为12×2π=π，且在区间(π2,π)上单调递减，故B满足条件；
由于函数y=cs2x的最小正周期为π，但在区间(π2,π)上单调递增，故C不满足条件；
由于函数y=tanx的最小正周期为π，但在区间(π2,π)上单调递增，故D不满足条件．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据指数函数的图象特点确定fx=ax+1+1的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案．
【详解】对于函数fx=ax+1+1，令x+1=0,∴x=−1，
故fx=ax+1+1的图象过定点P(−1,2)，
由于点P在角θ的终边上，则tanθ=−21=−2，
故选：B
6.【答案】C
【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得sinαcsα=−49，根据α∈0,π即可求得结果．
【详解】将sinα+csα=13两边同时平方可得，sin2α+cs2α+2sinαcsα=19，
可得sinαcsα=−49；
又α∈0,π，所以sinα>0,csα<0；
易知sinα−csα2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=179，可得sinα−csα=± 173；
又sinα>0,csα<0，所以sinα−csα= 173．
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题．
首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可．
【解答】
解： fx=lnx−2x 的定义域为 0,+∞ ，
又 y=lnx 与 y=−2x 在 0,+∞ 上单调递增，
所以 fx=lnx−2x 在 0,+∞ 上单调递增，
又 f(2)=ln 2−1<0,f(3)=ln 3−23>0 ，
所以 f2f3<0 ，
根据函数零点的判定定理可得函数 fx=lnx−2x 的零点所在的区间为 2,3 ，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，数形结合的应用，属于中档题．
作出函数f(x)=x2+4x−1,x≤0,(12)x−2,x>0,的图象，利用换元法，结合零点判断定理列出不等式组，从而求解．
【解答】
解：函数f(x)的大致图象如图所示，
对于方程[f(x)]2+2af(x)+3=0有5个不同的实数解，
令t=f(x)，则t2+2at+3=0在(−5,−2)，(−2,−1)上各有一个实数解
或t2+2at+3=0的一个解为−1，另一个解在(−2,−1)内
或t2+2at+3=0的一个解为−2，另一个解在(−2,−1)内．
当t2+2at+3=0在(−5,−2)，(−2,−1)上各有一个实数解时，
设g(t)=t2+2at+3，则Δ=4a2−12>0,g(−2)=7−4a<0,g(−1)=4−2a>0,g(−5)=28−10a>0,解得74当t2+2at+3=0的一个解为−1时，a=2，
此时方程的另一个解为−3，不在(−2,−1)内，不满足题意;
当t2+2at+3=0的一个解为−2时，a=74，
此时方程的另一个解为−32，在(−2,−1)内，满足题意．
综上可知，实数a的取值范围为[74,2)．
故选D．
9.【答案】BC
【解析】【分析】根据全称量词命题、存在量词命题、必要条件、同一函数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】A选项，当n是整数时，n2+n=nn+1是偶数，故为假命题．
B选项，二次函数y=x2+a的对称轴为y轴，所以B选项正确．
C选项，当ac2>bc2时，a>b，
所以“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件，所以C选项正确．
D选项，fx的定义域是R，gx的定义域是x|x≥0，
所以不是同一函数，故为假命题．
故选：BC
10.【答案】ABC
【解析】【分析】利用基本不等式可比较大小，判断B，C；利用作差法可比较2a2+b2,a+b的大小，判断A，D．
【详解】由于0故a+b>2 ab，2a2+b2>2 2ab，则2 ab，2 2ab不可能是最大值，B，C符合题意；
由于2a2+b2−(a+b)=2(a−14)2+(b−12)2−38，
当0故2(a−14)2+(b−12)2−38<18+14−38=0，
即2a2+b2故选：ABC
11.【答案】BCD
【解析】【分析】根据函数的图象，结合函数周期、对称性以及最值求出参数，可得函数解析式，由此结合正弦函数的对称性、单调性以及周期，一一判断各选项，即可得答案．
【详解】由函数y=fx的 图象可知A=2，
设函数最小正周期为T，则34T=7π6−(−π3)=3π2,∴T=2π，则ω=2π2=1，
又f(−π3)=0，即2sin−π3+φ=0，则−π3+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+π3,k∈Z
由于φ<π2，故φ=π3，即fx=2sinx+π3，
对于A，f−5π12=2sin−5π12+π3=2sin−π12≠±2，
即函数y=fx的图象不关于直线x=−5π12对称， A错误；
对于B，x∈−π,−5π6，则(x+π3)∈−23π,−π2，
由于正弦函数y=sinx在−23π,−π2上单调递减，
故函数y=fx在−π,−5π6上单调递减， B正确；
对于C，f5π3=2sin5π3+π3=2sin2π=0，
故fx的图象关于点(5π3,0)对称， C正确；
对于D，结合上面分析可知函数y=fx的周期是2π，正确，
故选：BCD
12.【答案】AD
【解析】【分析】根据函数的奇偶性定义可判断A；利用赋值法，结合函数奇偶性定义判断B；根据函数的定义域为R，列不等式求解，可判断C；根据函数的值域为R，列不等式求解，可判断D．
【详解】对于A，fx=ex−e−xex+e−x的定义域为R，满足f−x=e−x−exe−x+ex=−f(x)，
即fx=ex−e−xex+e−x为奇函数，其图象关于原点对称， A正确；
对于B，令x=y=0，则f0+f0=f0,∴f0=0，
令y=−x，则fx+f−x=f0=0,∴f−x=−fx，
即fx为奇函数， B错误；
对于C，fx=lg2x2−mx+1的定义域为R，即x2−mx+1>0在R上恒成立，
故m2−4<0,∴−2对于D，fx=lg2x2−mx+1的值域为R，即x2−mx+1能取到(0,+∞)内的所有值，
故m2−4≥0,∴m≥2或m≤−2，即m∈−∞,−2∪2,+∞， D正确，
故选：AD
【点睛】易错点点睛：解答本题容易出错的是选项C、D的判断，解答时要注意区分定义域和值域为R时的区别，列出的不等式是不一样的，因此要特别注意这一点．
13.【答案】(−1,2]
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域，属于基础题，
【解答】
解：令2−x≥0,x+1>0,可得−114.【答案】2
【解析】【分析】根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】S=12lr=12αr2=12×1×4=2;则该扇形的面积为2，
故答案为：2．
15.【答案】右；
π8 ；或18π

【解析】【分析】化简函数解析式为y=3sin2x−π8，根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案．
【详解】由于函数y=3sin2x−π4=3sin2x−π8，
故为了得到函数y=3sin2x−π4的图象，只要把函数y=3sin2x图象上所有的点向右平移π8个单位长度，
故答案为：右；π8
16.【答案】(−1,1]
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，属于基础题．
根据二次函数、对数函数的性质及复合函数的单调性求出函数的递增区间即可．
【解答】
解：因为−x2+2x+3>0，解得：−1则函数f(x)=ln(−x2+2x+3)的定义域为(−1,3)．
令t=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，则y=lnt.
要求f(x)的单调增区间，只需x≤1.所以−1故答案为：(−1,1]．
17.【答案】解：(1)lg3 27+lg25+lg4+7lg72+(−9.8)0
=lg3332+lg25×4+2+1
=32+2+2+1=132；
(2)因为α为锐角，且满足2tan2α−3tanα−2=0，
解得tanα=2，(负值舍)，
故3sinα+csπ+α2sinα+5sinπ2+α=3sinα−csα2sinα+5csα=3tanα−12tanα+5=3×2−12×2+5=59．

【解析】(1)根据对数的运算法则，即可求得答案；
(2)解方程求出tanα=2，利用诱导公式化简3sinα+csπ+α2sinα+5sinπ2+α，结合齐次式法求值，即可得答案．
18.【答案】解：(1)因为α∈0,π2,β∈−π2,0，所以α+β∈−π2,π2，
又因为sinα+β=35，且α+β∈0,π2，所以csα+β=45．
因为sinα=7 210，α∈0,π2，所以csα= 210，
则sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα=35× 210−45×7 210=− 22，
又因为β∈−π2,0，所以β=−π4．
(2)由(1)可得csα= 210，β=−π4，
因为sin2α=2sinαcsα=2×7 210× 210=725，
则cs2α=1−2sin2α=−2425，
所以sin2α−β=sin2αcsβ−cs2αsinβ=725× 22−−2425×− 22=−17 250.

【解析】(1)依题意，先确定α+β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系，求得csα+β和csα的值，然后把β凑成β=α+β−α的形式，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可；
(2)结合(1)中结论，利用二倍角公式求得sin2α和cs2α的值，再利用两角差的正弦公式，展开求解即可．
19.【答案】解：(1)因为fx=sinxcsx− 3cs2x+ 32=12sin2x− 31+cs2x2+ 32
=12sin2x− 32cs2x=sin2x−π3，
所以，函数fx的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2k∈Z可得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12k∈Z，
所以，函数fx的单调递减区间为kπ+5π12,kπ+11π12k∈Z．
(2)当−π6≤x≤π4时，−2π3≤2x−π3≤π6，则−1≤sin2x−π3≤12，
因此，函数fx在区间−π6,π4上的值域为−1,12．

【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数fx的解析式为fx=sin2x−π3，利用正弦型函数的周期公式可求出函数fx的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数fx的单调递减区间；
(2)由−π6≤x≤π4求出2x−π3的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数fx在区间−π6,π4上的值域．
20.【答案】解：(1)根据题意得20=k4×10+5，解得k=900，∴p=9004x+5，
故f(x)=9004x+5+10+4x，0≤x≤15；
(2)∵f(x)=9004x+5+10+4x=9004x+5+(4x+5)+5≥2 9004x+5⋅(4x+5)+5=65，
当且仅当9004x+5=4x+5，即x=254时，f(x)min=65．
∴宿舍应建在离厂254km处，可使总费用f(x)最小，最小为65万元．
【解析】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，注意基本不等式的使用条件，属于基础题．
(1)根据距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，可求k的值，由此，可得f(x)的表达式；
(2)把(1)中求得的函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
21.【答案】解：(1)奇函数f(x)=23x+1−a定义域为R
则f(0)=230+1−a=0，解之得a=1，经检验符合题意．
(2)由(1)得f(x)=23x+1−1易得函数在R上单调递减，证明如下：
设任意x1,x2∈R，x1则f(x1)−f(x2)=23x1+1−1−23x2+1−1=2⋅3x1(3x2−x1−1)3x1+13x2+1，
由x10，则3x2−x1>1，
又3x1>0,3x1+1>0,3x2+1>0，
则2⋅3x1(3x2−x1−1)3x1+13x2+1>0，则f(x1)>f(x2)
则f(x)=23x+1−1为R上减函数．
(3)由y=2x为R上增函数，可得20.3>20=1，
由y=lg2x为0,+∞上增函数，可得lg213由y=3x为R上增函数，可得0<3−0.5<30=1，
则20.3>3−0.5>lg213，又由(2)得f(x)=23x+1−1为R上减函数，
则f(20.3)
【解析】(1)列出关于a的方程，解之即可求得a的值；
(2)利用函数单调性的定义即可证明函数f(x)为减函数；
(3)先比较三个自变量的大小，再利用函数f(x)为减函数即可得到a，b，c的大小关系．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=x2−3mx+n(m>0)的两个零点分别为1和2．
可得：1−3m+n=0，4−6m+n=0，解得m=1，n=2，
(2)由(1)可得f(x)=x2−3x+2，
不等式f(x)−k>0在x∈[0,5]恒成立，
可得不等式f(x)>k在x∈[0,5]恒成立，
f(x)=x2−3x+2在x∈[0,5]上的最小值为：f(32)=−14，可得k<−14．
(3)g(x)=f(x)x=x+2x−3，函数F(x)=g(2x)−r⋅2x在x∈[−1,1]上有零点，
即g(2x)−r⋅2x=0在x∈[−1,1]上有解，
即r=1+2⋅(12x)2−3⋅12x在x∈[−1,1]上有解，
令t=12x，则r=2t2−3t+1，
∵x∈[−1,1]，∴t∈[12,2]，
即r=2t2−3t+1在t∈[12,2]上有解，
r=2k2−2t+1=2(t−34)2−18，(12≤t≤2)，
∴−18≤r≤3，∴r的范围是[−18,3]．

【解析】(1)利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可．
(2)求出函数f(x)的最小值，即可求解k的范围．
(3)问题转化为r=1+2⋅(12x)2−3⋅12x在x∈[−1,1]上有解，通过换元得到r=2t2−3t+1在t∈[12,2]上有解，求出k的范围即可．