福建省莆田第四中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试卷

莆田四中2023-2024学年上学期高三第一次月考试卷

数  学

（考试时间：120分钟  满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则（    ）

A．      B．        C．         D．

2．已知函数的定义域是R，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4．设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（    ）

A．9 B．7 C．5 D．4

5．若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，若，则（   ）

A．-4 B．-2 C．2 D．0

7．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

8．若函数有两个极值点，且，则（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则

B．命题的否定是：

C．若且，则

D．若，则实数

10．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是且各轮考核能否通过互不影响，则（　　）

A．该软件通过考核的概率为

B．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为

C．该软件至少能够通过两轮考核的概率为

D．在此次比赛中该软件平均考核了轮

11．已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为增函数         B．x＝－1是函数的极小值点

C．函数必有2个零点                D．

12．如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（    ）．

A．三棱锥的体积为定值

B．存在点，使得

C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为

D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．“”是真命题，则m的范围是      .

14．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为      ．

15．已知随机变量服从正态分布，且，则           .（附：若，则，，）

16．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的体积为            ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）计算下列各式的值：

(1)；

(2).

18．（12分）已知函数在处的切线方程为.

(1)求的解析式；

(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.

19．（12分）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为，卖出箱的概率为，卖出箱的概率为，没有卖出的概率为，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出箱及以上，则需补货至箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有箱鲜花饼.

(1)在第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率；

(2)求第二天结束营业时货架上有箱存货的概率.

20．（12分）如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，．

(1)若为的中点，求点到平面的距离；

(2)设平面与平面所成的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置．

21．（12分）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率（）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.

其中，

(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.

(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B两地）航班放行准点率的估计值分别为和，试解决以下问题：

（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；

（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.

附：（1）对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

参考数据：，，.

22．（12分）已知函数有最大值，，且是 的导数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：当，时，．

莆田四中2023-2024学年上学期高三数学第一次月考试卷

参考答案

1．C      2．C     3．A      4．B     5．B     6．C     7．B     8．C

9．AB     10．ABD      11．ABD      12．ABD

13．    14．       15．0.00135     16．36π

17．【详解】（1）.

（2）

18．（1）∵函数，

∴的定义域为，，

∴在处切线的斜率为，

由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，

∴的解析式为；

（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，

所以切点到直线的距离最小，最小值为，

故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.

19．（1）设事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，事件：“第二天开始营业时货架上有箱鲜花饼”，，事件：“第二天结束营业时货架上有箱存货”，

因为第一天结束营业后货架上有箱鲜花饼，故第二天只卖出箱，

故；

（2）由题意，，，

由全概率公式得.

20．（1）解析：以A点为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

由图可得，，，，

则，，．

设平面PDM的一个法向量为，

由，

可得．

设点N到平面PDM的距离为d，

则．

（2）解：因为动点P在线段EF（包含端点E，F）上，可设，

则，．设平面PDM的一个法向量为，

由,可得．

因为平面ABCD的一个法向量，

，

所以当时，取得最大值，此时P点与F点重合．

21．（1）由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.

令，先建立y关于t的线性回归方程.

由于，

，

该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为，

因此y关于年份数x的回归方程为

所以当时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为

.

所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.

（2）设“该航班飞往A地”，“该航班飞往B地”，“该航班飞往其他地区”，“该航班准点放行”，

则，，，

，，.

（i）由全概率公式得，

，

所以该航班准点放行的概率为0.778.

（ii），

，

，

因为，

所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.

22．（Ⅰ）的定义域为，．

当时，，

在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；

当时，令，得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

,,．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,．

，,在上单调递增．

又，且,．

,当时，，单调递增,

要证，即，只要证，即．

，,

所以只要证 ————（*）,

设 （其中）,

,

在（0，1）上为增函数,

，故（*）式成立，从而．