惠州市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试（4月）数学试卷(含答案)

这是一份惠州市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段考试（4月）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知等差数列的前n项和为,,,( )
A.7B.8C.9D.10
3．已知曲线与曲线在交点处有相同的切线,则( )
A.1B.C.D.-1
4．2020年12月17日,嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地球,我国成为第三个实现月球采样返回的国家,中国人朝着成功登月又迈进了重要一步．下图展示了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程．点D表示地球中心,点M表示月球中心．嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动,轨道半径约为地球半径．在地球表面附近的点A处沿圆D的切线方向加速变轨后,改为沿椭圆轨道C运行,并且点D为该椭圆的一个焦点．一段时间后,再在近月球表面附近的点B处减速变轨作圆周运动,此时轨道半径约为月球半径．已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍,地球半径约为月球半径的3.7倍．则椭圆轨道C的离心率约为( )
5．已知直线l经过点,则“直线l的斜率为”是“直线l与圆相切”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知,则满足的有序数组共有_____个( )
A.B.C.D.
7．已知是自然对数的底数,设,则( )
A.B.C.D.
8．依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次,表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”,表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”,表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”,表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”,则( )
A.与为对立事件B.与为相互独立事件
C.与为相互独立事件D.与为互斥事件
二、多项选择题
9．若数列的前n项和,数列的通项,则（ ）
A.
B.数列的前n项和
C.若,数列的前n项和
D.的前20项积为
10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合,这个组合再转换成图3所示的几何体,若图3中每个正方体的棱长为1,则( )

A.
B.若M为线段上的一个动点,则的最大值为2
C.点P到直线的距离是
D.异面直线与所成角的正切值为
11．已知双曲线的左、右焦点分别为,,P为双曲线C右支上的动点,过P作两渐近线的垂线,垂足分别为A,B．若圆与双曲线C的渐近线相切,则下列命题正确的是( )
A.双曲线C的离心率
B.为定值
C.的最小值为3
D.若直线与双曲线C的渐近线交于M、N两点,点D为的中点,（O为坐标原点）的斜率为,则
三、填空题
12．在的展开式中,x的一次项的系数为___________（用数字作答）.
13．2024年3月17日惠州马拉松赛事设置了江北体育馆、惠州西湖、东坡祠、金山湖、惠州奥林匹克体育场等5个志愿者服务点,小明和另3名同学要去以上5个服务点中的某一个服务点参加志愿者服务活动,则小明去东坡祠服务点,且4人中恰有两人去同一志愿者服务点的概率为______________．
14．已知函数满足.若,函数,则__________．
四、解答题
15．已知点,,动点P满足,
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）设动点P的轨迹为曲线C,若直线l过点,且曲线C截l所得弦长等于,求直线l的方程．
16．如图,在直三棱柱中, M,N分别为,的中点,点Q在线段上．
（1）当时,证明：B,N,M,Q四点共面;
（2）若平面与平面夹角的余弦值为时,求的长度．
17．已知等比数列的前n项和为,且,．
（1）求数列的通项公式;
（2）保持数列中的各项顺序不变,在每两项与之间插入一项（其中组成新的数列记数列的前n项和为,若,求n的最小值．
18．设函数．
（1）当时,求的极值;
（2）当时,讨论的单调性;
（3）在（1）条件下,若对任意,有恒成立,求m的最大值．
19．已知抛物线,,过焦点F的直线交抛物线于,两点,且.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若线段PA,PB交y轴于,两点,判断是否是定值,若是,求出该值,否则说明理由.
（3）若直线交抛物线于C,D两点,,是否存在整数m,使得的重心恰在抛物线上.若存在,求出满足条件的所有m的值,否则说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：设倾斜角为,,则,则.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为数列为等差数列,则,
又,则,即,
则,
故选:B
3．答案：B
解析：由题知曲线和曲线在交点处有相同的切线,即斜率k相等,
所以对于曲线,求导得,所以在点处的切线斜率为,
对于曲线,求导得,
所以,得,故B正确.
故选：B.
4．答案：D
解析：设此椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,月球半径为,地球半径为,
月球中心与地球中心距离为,则,
,于是,,
所以离心率为．
故选：D.
5．答案：C
解析：由题,圆是圆心为,半径为的圆,
当直线l的斜率不存在时,直线方程为,
此时圆心到直线距离为1,不等于半径,与圆不相切不符合;
当直线l的斜率存在时,设直线为,化为一般式即,
则圆心到直线距离,解得,
所以“直线l的斜率为”是“直线l与圆C相切”的充要条件,
故选:C.
6．答案：A
解析：所有有序数组 中,满足的
有序数组 中包含个0,另外两个数在1或-1中选择,每个位置有2种选择,由乘法计数原理得不同的种数为
故选：A.
7．答案：A
解析：设,则,当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
因,则,即得;
再设,则,当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
故时,,则,即,故得.
综上,可得.
故选：A.
8．答案：C
解析：依次抛掷两枚质地均匀的骰子,两次的结果用有序数对表示,其中第一次在前,
第二次在后,样本空间如下：
,共36个样本点．
则事件包括,,,,,共6个,,
事件包括,,,,,,,,,,,
,,,,,共18个,,
事件包括,,,,共5个,,
事件包括,,,,,共6个,.
对于A,,,所以与不为对立事件,故A错误;
对于B,事件包括,则,又,,
所以,即与不相互独立,故B错误;
对于C,事件包括,,,则,又,,
所以,即与相互独立,故C正确;
对于D,事件包括,,,则,即与不为互斥事件,故D错误.
故选：C.
9．答案：AC
解析：对于A,当时,,
当时,,
时,符合,综上,,故A正确;
对于B,由,可知,故B错误;
对于C,由,
所以,故C正确;
对于D,因为,故D错误.
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
故,,,,
,,
所以,A错误;
记,则,
所以,
当时,取得最大值2,B正确;
记同向的单位向量为,
则点P到直线的距离,C正确;
记异面直线与所成角为,
则,
所以,所以,D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：双曲线的渐近线方程为,圆与渐近线相切,则,即,所以,则,故A正确;
由A选项可得双曲线的两条渐近线方程为,设为双曲线上任意一点,
则,所以P点到两渐近线的距离,,
所以为定值,故B正确;
过与渐近线垂直的方程分别与渐近线组成方程组求出交点坐标,,
解得交点,同理得,
因为P为双曲线C右支上的动点,所以,则,故C错误;
对D选项,设、,则,又M、N在双曲线的两条渐近线上,
则,两式相减可得,即,
两式相加可得,即,又,,
所以,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：4
解析：因为的展开通项公式为,
所以x的一次项的系数为.
故答案为：4.
13．答案：
解析：4名同学各自有5种选择,故共有种选择,
小明去东坡祠服务点,且4人中恰有两人去同一志愿者服务点分为两种情况,
①除小明外的3人中有1人和小明组成一队,此时有种选择,
剩余2人从剩余的4个服务点各选一个,有种选择,
故此时有种选择,
②除小明外的3人中有2人组成一队,且从剩余的4个服务点各选一个,
此时有种选择,
综上,共有种选择,
故小明去东坡祠服务点,且4人中恰有两人去同一志愿者服务点的概率为
故答案为：.
14．答案：3036
解析：因为,则,
所以,
则,
所以,
又,
所以,
故答案为：3036.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题知,设点,
由,则,所以,
即,整理得,
所以曲线C是圆心为,半径等于2的圆,
故曲线C的方程为：.
（2）如图,
若直线l斜率不存在,则直线l的方程为：,
与的交点坐标为,此时弦长等于,满足题意;
若直线l的斜率存在,设直线l的方程为：,
曲线C截l所得弦长等于,所以,解得：,
圆心到直线l的距离,
所以,解得,
则直线l的方程为：,即
综上,直线l的方程为：或.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,因三棱柱是直三棱柱,且,故可分别以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
又由M,N分别为,的中点,且,
则得：,,,,,,,,
于是,,,,,
易得：,
因则,
故,,三向量共面,即B,N,M,Q四点共面.
（2）由题意及（1）可得：,,,,,,
易得平面平面,故平面的法向量可取为;
不妨设,则,
设平面的一个法向量为,
则故可取.
设平面与平面的夹角为,则,
解得,或（舍去）.
即的长度为.
17．答案：（1）
（2）15
解析：（1）因为,所以,解得,
所以.
（2）因为
所以,
,
所以,
两式相减得：
,
所以,
易知随着n增大而增大,
当时,,
当时,,
而
综上,n的最小值为15.
18．答案：（1）极小值为,无极大值
（2）详解见解析
（3）
解析：（1）当时,,则,,
令,得,令,得.
故在上单调递增,在上单调递减,
在处取得极小值,无极大值.
（2）当时,,则,
当时,,
令,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增;
当时,由,解得或0,
若即时,令,或,
所以函数在上单调递减,在、上单调递增;
若即时,,所以函数在R上单调递减;
若即时,令,或,
所以函数在上单调递减,在、上单调递增.
（3）对恒成立,即对恒成立.
令,则只需即可.
.
易知,均在上单调递增,故在上单调递增且.
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
.
故,即的最大值为.
19 已知抛物线,,过焦点F的直线交抛物线于,两点,且.
（1）求抛物线C的方程;
（2）若线段,交y轴于,两点,判断是否是定值,若是,求出该值,否则说明理由.
（3）若直线交抛物线于C,D两点,,是否存在整数m,使得的重心恰在抛物线上.若存在,求出满足条件的所有m的值,否则说明理由.
答案：（1）
（2）为定值,且定值为2
（3）存在,
解析：（1）易知焦点,设过焦点F的直线的方程为;
由,得,则,,
可得,解得,
所以抛物线C的方程为;
（2）由（1）可得,所以直线的方程为,如下图所示：
由,得,此时,;
易知,直线的方程为,可得;
同理可得;
所以
;
所以为定值,且定值为2;
（3）设,,
由,得,则,
则,
由可得,
设的重心为,
而,即,
由重心G恰在抛物线上可得,整理可得,
即,
由,得,
又,则,,
又,则;
当时,,不合题意;
当时,可得或,经检验不合题意,所以;
又易知时,且,
因此存在,使得的重心在抛物线上.
19．答案：（1）
（2）为定值,且定值为2
（3）存在,
解析：（1）易知焦点,设过焦点的直线AB的方程为;
由,得,则,,
可得,解得,
所以抛物线的方程为;
（2）由（1）可得,所以直线AB的方程为,如下图所示:
由,得,此时;
易知,直线的方程为,可得;
同理可得;
所以
;
所以为定值,且定值为2;
（3）设,,
由,得,则,
则,
由可得,
设的重心为,
而,即,
由重心恰在抛物线上可得,整理可得,
即,
由,得,
又,则,,
又,则,,,;
当时,,不合题意;
当时,可得或,经检验不合题意,所以;
又易知时,且,
因此存在,使得的重心在抛物线上.