广东省惠州市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次考试数学试题 (1)
展开惠州一中2023届高二上学期第一次考试
数学试卷
卷面总分：150分；考试时长：120分钟；命题人：刘子尧
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
- 已知集合，或，则
A. 或 B.
C. D. 或
- 设p：，，则使p为真命题的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
- 若，的值为
A. B. C. D.
- 直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为
A. B. C. D.
- 如果向量，4，，共面，则实数m的值是
A. B. 1 C. D. 5
- 若，，，则事件A与B的关系是
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B相互斥又独立
- 如图，已知是水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为
A. 3 B. 6 C. D.
- 如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知两条不同的直线a，b与三个不同的平面，，给出下面四个命题：
甲若，，，则； 乙若，，，则；
丙若，，，则； 丁若，，，则．
其中错误的是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
- 给出下列命题，其中正确的命题是
A. 若，则是钝角
B. 若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量
C. 若，则可知
D. 在四面体中，若，，则
- 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个选项中，说法正确的有
- 54周岁以上客户人数最少 B. 周岁客户参保总费用最少
C. 丁险种更受客户青睐 D. 30周岁以上的客户约占参保客户的
- 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知，那么 ．
- i是虚数单位，复数 ．
- 函数的值域是 ．
- 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系为坐标原点下的“仿射”坐标，记作已知，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
- 已知函数．
求的最小正周期
求在区间上的最大值和最小值．
- 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、已知，，．
求sinC的值；
在边BC上取一点D，使得，求的值． - 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞賽成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
求m的值；
成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；
根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分． - 如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
- 如图，四棱锥中，底面ABCD，，，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．
证明：平面PAB；
求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
- 已知函数，函数．
若的定义域为R，求实数m的取值范围；
当时，函数的最小值为1，求实数a的值．
2023届高二数学第一次月考试卷
【答案】
1. A 2. A 3. A 4. B 5. B 6. C 7. D
8. C 9. CD 10. CD 11. ACD 12. BD
13. 14. 15. 16.
5. 解：向量，4，，共面，
存在x，y，使得，，
，解得，，．
实数m的值是1．故选：B．
6. 解：，．
事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．故选：C．
8. 解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示： 该小虫爬行的最短路程为，
由余弦定理可得，，设底面圆的半径为r，
则有，解得．这个圆锥的高为，
这个圆锥的体积为．故选C．
15. 解：由，
得：当时，，当且仅当，即，即时，等号成立．根据“双勾函数”模型，有在单调递减；在单调递增，
所以在单调递减；在单调递增，又；．所以当时，的值域为故答案为
16. 解：
故答案为：．
17. 解：因为
，
所以的最小正周期为
因为，所以．故当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
18. 解：因为，，，由余弦定理可得：
，
由正弦定理可得，所以，所以；
因为，所以，
在三角形ADC中，易知C为锐角，由可得，
所以，
因为，所以，所以．
19. 解：由频率分布直方图的性质得：
，解得．
成绩在之间的频率为，所有参赛者中获得奖励的人数为：人．
平均数的估计值为：分．
20. 证明：长方体中，平面，平面，，
，，平面平面
解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，平面，平面，
，又，，
则1，，1，，1，，0，，0，，
平面，平面，，
，且，平面EBC，平面EBC，
故取平面EBC的法向量为0，，设平面 的法向量y，，
由，得取，得，
，二面角的正弦值为．
21. 证明：如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，，且，
又，，且，，且，
则，且，四边形AMNG为平行四边形，则，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
解：取BC中点Q，连接AQ，已知，则有，且，，
则四边形AQCM为矩形，即，底面ABCD，平面PAD，
平面平面PAD，平面平面，平面ABCD，
平面PAD，又平面PNM，则平面平面PAD，
在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，
则为直线AN与平面PMN所成角，在中，由N是PC的中点，
得，在中，由，
得，，
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．
22. 解：，的定义域为R，
在R上恒成立，当时，不等式为，不符合题意；
当时，满足，解得，实数m的取值范围为；
令，当时，，
函数，化为，，
当时，可得当时，y取最小值，且，解得舍去；
当时，可得当时，y取最小值，且，解得舍或；
时，可得当时，y取最小值，且，解得舍去，
综上，．
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