江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高二上学期阶段测试（一）数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高二上学期阶段测试（一）数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,集合,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．“”是“点在圆外”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象,细线为部分图象）所示,则图2可能是下列哪个函数的部分图象( )
A.B.
C.D.
5．若动点,分别在直线和上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A.3B.2C.D.4
6．已知圆,从点出发的光线要想不被圆C挡住直接到达点,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
7．设函数,若对于任意实数,在区间上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知点,,直线将三角形ABC分割成面积相等的两个部分,则b的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的有( )
A.点斜式 = 可以表示任何直线
B.直线在y轴上的截距为-2
C.直线关于对称的直线方程是
D.点到直线的最大距离为2
10．关于函数的描述错误的是( )
A.其图象可由的图象向右平移个单位得到
B.在仅有1个零点
C.在单调递增
D.在的最小值为
11．下列说法中,不正确的有( )
A.已知点,,若直线PQ的倾斜角小于,则实数a的取值范围为
B.若集合,满足,则
C.若两条平行直线和之间的距离小于1,则实数a的取值范围为
D.若直线与连接,的线段相交,则实数a的取值范围为
12．香囊,又名香袋､花囊,是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品,香囊形状多样,如图1所示的六面体就是其中一种,已知该六面体的所有棱长均为2,其平面展开图如图2所示,则下列说法正确的是( )
A.B.直线CD与直线EF所成的角为
C.该六面体的体积为D.该六面体内切球的表面积是
三、填空题
13．中,顶点,点B在直线上,点C在x轴上,则周长的最小值为_________________.
14．设a,b是从集合中随机选取的数,则直线与圆有公共点的概率是______________.
15．已知两定点,如果动点M满足,点N是圆上的动点,则的最大值为__________________.
16．在三棱锥中,已知平面ABC,,,,,则该三棱锥外接球的表面积为__________________.
四、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,,且.
(1)求A;
(2)若,的面积为,求的周长.
18．已知圆.
(1)直线过点,且与圆C相切,求直线的方程;
(2)设直线与圆C相交于M,N两点,点P为圆C上的一动点,求的面积S的最大值.
19．设函数
(1)当时,求的取值范围;
(2)若,且,求的值.
20．三角形ABC的顶点,边AB上的中线CD所在直线为,A的平分线AE所在直线为.
(1)求A的坐标和直线AC的方程;
(2)若P为直线AC上的动点,,,求取得最小值时点P的坐标.
21．已知圆M与直线相切,圆心M在直线上,且直线被圆M截得的弦长为.
(1)求圆M的方程;
(2)若在x轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A,B两点,在x轴上是否存在定点Q,使得？若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
22．如图所示,四棱锥的底面ABCD是边长为1的菱形,,E是CD的中点,底面ABCD,.
（1）证明:平面平面PAB;
（2）求点D到平面PBE的距离;
（3）求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：,解得,
所以,
由于,所以,
所以,所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：依题意,,所以.
故选：C
3．答案：B
解析：由可得,该方程表示圆,所以有,
当点在圆外时,
有,所以此时,
显然由不一定能推出,但是由一定能推出,所以“”是“点在圆外”的必要不充分条件,
故选：B
4．答案：B
解析：由图1可知为偶函数,为奇函数,
A选项,,所以是偶函数,不符合图2.A错.
C选项,,所以是偶函数,不符合图2.C错.
D选项,,所以的定义域不包括0,不符合图2.D错.
B选项,,所以是奇函数,符合图2,所以B符合.
故选：B
5．答案：A
解析：由题意,知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线方程为,则,即,
点M在直线上,
点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离,即.
故选：A.
6．答案：B
解析：由题意知,从点出发的光线与圆C相离时,光线不被挡住,
设过点与圆C相切的直线方程为,即,
又圆,所以圆心到l的距离,解得,故,令,,
所以或.
故选：B.
7．答案：B
解析：令,则
令,则
则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.
作出和的图像,观察交点个数,
可知使得的最短区间长度为,最长长度为,
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B.
8．答案：A
解析：由题意可得,三角形ABC的面积为,
由于直线与x轴的交点为,
由直线将分割为面积相等的两部分,可得,
故,故点M在射线OA上.
设直线和BC的交点为N,则由可得点N的坐标为.
①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,故,
把A、N两点的坐标代入直线,求得.

②若点M在点O和点A之间,此时,点N在点B和点C之间,
由题意可得三角形NMB的面积等于,
故,即 ,可得,求得 ,
故有.
③若点M在点A的左侧,则,由点M的横坐标,求得.
设直线和AC的交点为P,
则由求得点P的坐标为,
此时由题意可得,的面积等于,即,
即,化简可得.
由于此时,,.
两边开方可得,,化简可得 ,
故有.
综上b的取值范围应是,
故选：A.
9．答案：BD
解析：对A：当直线斜率不存在时,不能用该方程表示,故A错误;
对B：在y轴上的截距为-2,故B正确;
对C：点关于的对称点为,故直线关于对称的直线方程是,故C错误;
对D：,即,其恒过定点,
又,
故点到直线的最大距离为2,D正确.
故选：BD.
10．答案：ABC
解析：
选项A：的图象向右平移个单位得到
但,即没有得到.判断错误;
选项B：当时,,
由,可得,或,即或
则在有且仅有2个零点.判断错误;
选项C：由,
,可得
则在上不单调递增.判断错误.
选项D：由,可得,
则,
则在的最小值为.判断正确.
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：A选项,当倾斜角小于时,,解得;
当倾斜角等于时,;
当倾斜角大于小于时,,解得或;
综上,实数a的取值范围为,所以A选项正确.
B选项,由,得 ,
所以集合M表示斜率为3的直线上的点（除去点）.
由,得,
所以集合N表示过点且斜率为的直线,
若,此时两直线平行,满足;
若直线过点,
则,此时,
且,符合题意;
所以或,所以B选项错误.
C选项,依题意,解得
所以实数a的取值范围是,C选项错误.
D选项,直线过定点,斜率为,
,
所以或,解得或,
所以实数a的取值范围为,D选项错误.
故选：BCD.
12．答案：AD
解析：由题知,所给六面体由两个同底面的正四面体组成,将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示,其中A,C,F,H四点重合.
对于A：取DE的中点M,连接AM,BM,则,.
又
平面ABM
又平面ABM
故A正确.
对于B：由图可知,CD与EF分别为正三角形ADE的边AD,AE,其所成的角为
故B错误.
对于C：连接GM,过点G作平面ADE,则垂足O在AM上,且,
该六面体的体积
故C错误.
对于D：该六面体的各棱长相等
其内切球的球心必在公共面ADE上
又为正三角形
点O即为该六面体内切球的球心,且该球与GM相切
过点O作,则ON就是内切球的半径.
在中,
该内切球的表面积为
故D正确
故选：AD.
13．答案：
解析：设A关于直线l对称点为M,关于x轴对称点为N,MN与l的交点即为B,与x交点即为C.MN的长即为周长的最小值.
设,则,解得,即,
A关于x轴对称点为,
周长的最小值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：直线与圆公共点,等价于,等价于,
,,
设,
当时,,2,3,4,5;
当时,,2,3,4,5,
当时,,3,4,5;
当时,,4,5;
当时,,5.
故,
所以.
即直线与圆有公共点的概率是.
故答案为：.
15．答案：12
解析：设点,则,
整理为：,
设圆的圆心为,圆的圆心为,
如图,可知,的最大值是圆心距加两个圆的半径,即.
故答案为：12.
16．答案：
解析：在底面中,,,,
由余弦定理可得,
设外接圆的圆心为 ,半径为r,球心为O,
由正弦定理可得,,得,
底面ABC,且球心到点P,A的距离相等,
球心与底面的距离为,
球心与圆心的连线垂直于底面,,
,
该三棱锥外接球的表面积
故答案为：.
17．答案：(1);
(2).
解析：（1）由,则,
由正弦定理得：,
在中,故,即,
因为,所以;
（2）由余弦定理得,即,可得,
又,得,则,即,
所以的周长为
18．答案：(1)或
(2)
解析：（1）由题意得,圆C的半径为3.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
由直线与圆C相切,得,解得,所以直线的方程为.
当直线的斜率不存在时,直线的方程为,显然与圆C相切.
综上,直线的方程为或.
（2）由题意得圆心C到直线的距离,
设圆C的半径为r,所以,所以,
点P到直线距离的最大值为,
则的面积的最大值.
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）
,
因为,所以,
所以的取值范围为
（2）由,得,
,
,
,
又,
,
,
.
20．答案：(1),直线AC的方程为
(2)
解析：（1）由题意可设,则,由直线AE,CD的方程可知：
,即,
设点B关于直线AE的对称点,
则中点坐标为,,
依题意有,解之得,即,
易知在直线AC上,故由两点式可得,化简得;
（2）由（1）所得AC方程,不妨设,
则,
由二次函数的性质可知当,上式取得最小值,此时.
21．答案：(1)
(2)存在,Q点坐标为
解析：（1）设圆M的圆心为,半径为r,
因为圆M与直线相切,所以.
又因为直线被圆M截得的弦长为,
所以,解得,
即圆心坐标为,,所以圆M的方程为.
（2）存在.设,,,
由,得.
由根与系数的关系,得.
假设存在满足条件,则,.
由,得,
即,
即,,
即且,所以.
所以存在满足条件.
22．答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）
解析：(1)证明：连接BD,由四边形ABCD是边长为1的菱形,,
可知是正三角形.因为E是CD的中点,所以,
又,所以
因为底面ABCD,平面ABCD,所以.
又平面PAB,平面PAB,,所以平面PAB,
又平面PBE,所以平面平面PAB.
(2)因为底面 ABCD,平面ABCD,所以.
又,,所以.
因为正三角形BCD中,, E是CD的中点,所以.
因为平面PAB,平面PAB,所以,
所以
因为,底面ABCD,
设点D到平面PBE的距离为d,
所以,
而
所以,即点D到平面PBE的距离为.
(3)延长BE、AD,交于点F,连PF,则PF为平面PAD和平面PBE的交线.
取AD中点H,连BH,过B作,垂足为I,连HI.
由四边形ABCD是边长为1的菱形,,
可知是正三角形,因为H是AD的中点,所以
因为底面ABCD,平面ABCD,所以.
又平面PAD,平面PAD,,
所以平面PAD,又平面PAD,所以,
又,平面BHI,平面BHI,,
所以平面BHI,而平面BHI,所以,
则为二面角的一个平面角.
因为平面PAD,平面PAD,所以.
因为菱形ABCD中,,,E为BF的中点,.
在中,,,,,
所以,,又,
所以中,,,
即平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值为