2024年四川省德阳市中考一诊模拟数学模拟预测题（含解析）

这是一份2024年四川省德阳市中考一诊模拟数学模拟预测题（含解析），共34页。试卷主要包含了已知的相反数是，则的值是，下列计算正确的是，已知某几何体的三视图等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共14小题，共28分）
1．已知的相反数是，则的值是（ ）
A．B．2024C．D．
2．进入冬季，由于气温下降，呼吸系统感染进入高发期．细菌、病毒、支原体感染都会引起呼吸系统感染．今年支原体感染较为突出，及时补充水分，勤洗手，出行戴口罩是有效的防范措施．支原体是比细菌小，比病毒大的微生物，直径在用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．甲、乙两人在相同条件下，各射击10次，经计算，甲射击成绩的平均数是8环，方差是；乙射击成绩的平均数是8环，方差是．下列说法不一定正确的是（ ）
A．甲、乙成绩的总环数相同B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．甲、乙成绩的中位数可能相同D．甲、乙成绩的众数一定相同
6．如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ）

A．B．C．D．
7．已知某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积和侧面展开图圆心角的度数为（ ）．

A．和B．和C．和D．和
8．如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直角三角形顶点在矩形的对角线上运动，连接．，，，则的最小值为( )．
A．B．C．D．
11．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．B．1C．2D．8
12．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，共18分）
13．因式分解： ．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在BC上，的面积是，则弧EF的长 ．
15．如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

16．小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度．如图，小丽先在坡角为的斜坡上的点处，测得树尖的仰角为，然后沿斜坡走了10米到达坡脚处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚处，大树所在斜坡的坡度，且大树与坡脚的距离为15米，则大树的高度约为 ．参考数据：，，，．（结果精确到0.1）

17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数（）的图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．若，的面积是，则k的值为 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是 ．
三．解答题（共7小题，共74分）
19．计算：
20．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长．
21．“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

(1)这次调查活动共抽取 人：
(2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求，两点的坐标及反比例函数的解析式；
(2)请结合图象直接写出的解集；
(3)直线交轴于点，交轴于点，点在轴上，若，求点的坐标．
23．2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元．
(1)求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？
(2)甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．
(3)在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)已知，求的值．
25．学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．

(1)如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
(2)如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查相反数，理解相反数的定义，正确解答即可．
【解答】解：因为2024的相反数是，
所以，
故选：B．
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整数；确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数；
【解答】；
故选C
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法；科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整数，表示时关键要正确确定 的值以 及 的值
3．B
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项正确，符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则是解题关键．
4．C
【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得．
【解答】解：如图，∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C

【点拨】本题考查平行线的性质，对顶角相等，三角形外角性质；由平行线的性质得到等角是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动越大即可求出答案．解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环，甲、乙的总环数相同，故A正确，不符合题意；
，
故甲的成绩比乙的成绩稳定，乙的成绩比甲的成绩波动大，故B正确，不符合题意；
甲、乙成绩的中位数不能确定，可能相同，故C正确，不符合题意；
由已知不能得到甲、乙成绩的众数相同，故D不一定正确，符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【解答】解：∵∠是公共角，
∴再加上或，根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，都可判定，故选项不符题意；
∵是公共角，再加上，即，根据“如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似”，可判定，故选项不符题意；
而加上，即，对应边成比例，但不是相应的夹角相等，不能单独判定，该选项符合题意；
故选：．
7．B
【分析】根据三视图可知该几何体是圆锥，然后根据圆锥的底面圆周长是展开图扇形的弧长求出圆心角度数，进而求出侧面积即可．
【解答】解：由题意得该几何体是圆锥，且底面圆直径为，高为，
∴底面圆半径为，
∴母线长为，
设展开图圆心角度数为，
∴，
∴，
∴侧面积为，
故选B．
【点拨】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的侧面积和侧面展开图扇形圆心角度数，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了求扇形面积，正六边形的性质，勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，过B点作垂线，垂足为G，先求出，进而求出，再求出，最后根据扇形面积计算公式求解即可．
【解答】解：过B点作垂线，垂足为G，
根据正六边形性质可知，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选：A．
9．D
【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长．
【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴点E为中点，
∵F是的中点，若，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的周长，
故选：D．
【点拨】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤．
10．D
【分析】过点作于点，连接，由，推出、、、四点共圆，再证为定值，推出点在射线上运动，当时，的值最小，然后求出与，即可解决问题．
【解答】解：过点作于点，连接，如图所示：
，
、、、四点共圆，
，
，，
，
，
，
点在射线上运动，
当时，的值最小，
四边形是矩形，
，
，
，
，
即 ，
，
在中，由勾股定理得： ，
的最小值 ．
故选：D．
【点拨】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理、四点共圆、圆周角定理，熟练掌握矩形的性质，利用垂线段最短解决最值问题是解题的关键．
11．C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组至少有四个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
【解答】解：分式方程去分母得：，即，
由分式方程有正整数解，得到，
解得：，得，
不等式组整理得：，即，
由不等式组至少有4个整数解，得到，
解得；，
由x为正整数，且且，
∴或或，
∴或0或2，
∵且，
∴或2，
∴则符合条件的所有整数a的和为，
故选：C．
【点拨】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【解答】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．
13．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查提公因式法、公式法分解因式，正确理解题意是解题的关键．
14．
【分析】连接BF，EC，BE，OF，利用正六边形ABCDEF内接于⊙O，证明，再求出圆的半径，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接BF，EC，BE，OF，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴，BE为直径，
∵，
∴，
∴，
同理：，
∴BFEC为矩形，
∴，即，
∵ABCDEF是正六边形，
∴，为等边三角形，
设半径为r，则，，
由可得：，
∴的长为，
故答案为：．
【点拨】本题考查弧长公式，正多边形内接圆，矩形的判定，解题的关键是求出圆的半径．
15．6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【解答】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点拨】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．7.0米##7.0
【分析】过点作交延长线于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，可知四边形为矩形，在直角三角形中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可解得，，再解直角三角形得，，从而得到，再通过解直角三角形求得的长，进一步得出结论．
【解答】解：过点作交延长线于点，过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，如图，

则四边形为矩形，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∵大树所在斜坡的坡度，，
∴在中，，
∴可设，，
由勾股定理得，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：7.0米．
【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、勾股定理、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．6
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质求出点A与点B的横坐标的关系是解题的关键．过点B作于点F，连结，，设，，根据相似三角形的判定，证明，得到，再根据，，，即可列方程并求解得到答案．
【解答】过点B作于点F，连结，，
设，，
则，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
，
轴，
，
，
，
解得．
故答案为：6．
18．①②④⑤
【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即可；⑤证明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，证出∠BFG=∠C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断⑤；③当∠C=30°时，∠ADF=2∠CDF；③不正确；即可得出答案．
【解答】解：①∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠C，①正确；
②作GM⊥AB交AB于M，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AE⊥BC，
∴GM=GE，
∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正确；
④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴AG=AD，
∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC，
∴AD=DF，
∴AG=DF，
∵AE⊥BC，
∴AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
又∵AG=AD，
∴四边形AGFD是菱形；④正确；
⑤∵四边形AGFD是菱形；
∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB，
∴∠AGB=∠FGB，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG（AAS），
∴∠BAE=∠BFG，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BFG=∠C，
∴GF∥CH，
∵GH∥BC，
∴四边形GFCH是平行四边形，
∴GF=CH，
∴CH=DF，⑤正确；
③∵四边形AGFD是菱形
∴∠ADF=2∠ADB，
当∠C=30°，∠CDF=60°，
则∠ADF=120°，
∴当∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正确；
故答案为：①②④⑤．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
19．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式性质，准确计算．
【解答】解：
．
20．（1）见解析；（2）BF的长为．
【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC=90°，OC=OA=AC，
∵BE=AC，
∴BE=OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC=90°，
∴平行四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8，
∴BD=2OB=16，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE，
∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE，
在△ODF和△CEF中，
，
∴△ODF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，
∵∠DBE=90°，
∴BF=DE=，
故BF的长为．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键．
21．(1)50
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数；
（2）用成绩为C等级的人数所占百分比乘以即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解题的关键．
【解答】（1）解：（人），
∴这次调查活动共抽取50人，
故答案为：50；
（2）解：“”等所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）解：A等级的人数为：（人），
补全条形统计图，如图所示：

（4）解：画树状图如下：

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果数有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的的概率为．
22．(1)点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），反比例函数解析式为
(2)或
(3)（0，8）或（0，-8）
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围进行求解即可；
（3）分点M在C点上方和在C点下方两种情况分类讨论求解即可．
【解答】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（2，），点B的坐标为（-6，），
∴，即，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象上方自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
（3）解：如图1所示，当点M在C点上方时，
∵，∠CMD+∠CDM=∠OCD，
∴∠CDM=∠CMD，
∴CD=CM，
∵直线交轴于点，交轴于点，
∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（-4，0），
∴OC=3，OD=4，
∴，
∴CM=5，
∴点M的坐标为（0，8）；
如图2所示，当点M在C点下方，即在M1处时，则，
∴，
又∵，
∴，
∴点的坐标为（0，-8）；
综上所述，若，点M的坐标为（0，8）或（0，-8）．
【点拨】本题主要考考查了一次函数与反比例函数综合，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形外角的性质，图象法解不等式，熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
23．(1)、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元
(2)
(3)型30台，型120台，最大利润是570元．
【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价，
（2）列一元一次不等式组求出取值范围即可，
（3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润．
【解答】（1）设、型品牌小电器每台的进价分别为元、元，根据题意得：
，解得：，
答：、型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．
（2）设购进型品牌小电器台
由题意得：，
解得，
答：购进A种品牌小电器数量的取值范围．
（3）设获利为元，由题意得：，
∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元
∴
解得：
∴
随的增大而减小，
当台时获利最大，最大元，
答：型30台，型120台，最大利润是570元．
【点拨】考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论；
（3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，过P作于点E，
由（2）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键．
25．(1)，；
(2)①详见解析；②
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似和三角形全等：
（1）抛物线的对称轴为，即为，根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为，进而求解；
（2）①证明，即可求解；
②当且时，证明，则 ，即可求解；当时，同理可解．
【解答】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为 ．
设直线的解析式为．
当时，
解得或 ，
∴点C的横坐标为．
当 时，
解得（舍去）或 ，
∴点P的横坐标为 ．
当 时，
解得 或 ，
∴点D的横坐标为 ．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，

作 轴，过点D作 交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为 且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当 且时，解得：．
∴．点D的横坐标为 ．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．

由各点的横坐标可知 ，．
∵，
∴．
∴．
则 ．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．

由各点的横坐标可知 ，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为