2024年四川省南充市名校联考中考模拟预测数学模拟预测题（一）（原卷版+解析版）

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（时间120分钟，满分150分）
注意事项：
（1）答题前将姓名、考号等填在答题卡指定位置.
（2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上.
（3）选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂.
（4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置.涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分.
1. 下列各数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可．
【详解】是正数，故A选项不符合题意；
是正数，故B选项不符合题意；
是正数，故C选项不符合题意；
是负数，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，零指数幂，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2. 甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且每团游客的平均年龄都是32岁，这三个团游客年龄的方并有分别是，，，导游小王最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选( )
A. 甲团B. 乙团C. 丙团D. 甲或乙团
【答案】C
【解析】
【分析】方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定.
【详解】解：方差越大则数据的离中程度就越大，故方差越小离中程度就越小，数据越稳定.
故选：C.
【点睛】本题考查的统计相关知识．
3. 如图，，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义．根据垂直的性质求出，再根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4. 函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥3且x≠5B. x＞3且x≠5C. x＜3且x≠5D. x≤3且x≠5
【答案】B
【解析】
【分析】综合二次根式以及分式和负整数指数幂的定义分别确定即可．
【详解】由题意，，解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围问题，熟记分式，二次根式等常见的代数式有意义的条件是解题关键．
5. 若整数n满足，则n的值为（ ）
A. 43B. 44C. 45D. 46
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是无理数的估算．由已知条件的提示可知，即得出，再根据，且为整数即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
右∵，且为整数，
∴；
故选：B．
6. 如图，在中，，，D是边上任意一点，过点D作于E，于F，则（ ）
A. 3B. 4C. 4.8D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理、三角形面积公式的运用．连接，作，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，进而可以求出，再根据等面积法可以列出，最后求出的值．
【详解】解：如图所示：连接，作，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
7. 为测量大楼高度，小明测得斜坡（A，B，C，D在同一平面内），坡度，坡底C到大楼底部A的水平距离，在D处测得大楼顶部B的仰角为，则大楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作交的延长线于点，在中，利用坡度和勾股定理，可求出和的长，过点作于点，利用矩形对边相等，求出和的从，再在中，利用特殊角的三角函数值，求出的长，从而利用求出的长．
【详解】解：过点作交的延长线于点，

斜坡的坡度，
设，则，
在中，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，（舍）
米，米，
过点作于点，则四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
米，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，解直角三角形的应用—坡度坡角，勾股定理，矩形的性质，三角函数，构造直角三角形和熟练运用三角函数定义是解题关键．
8. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，顶点为P，当为直角三角形时，m的值为（ ）
A. 1，2B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、根与系数的关系等知识．设点，，则，求出点，由抛物线的对称性知为等腰直角三角形，建立方程，根据根与系数关系可求得m值．
【详解】解：设点，，则，
令得，
∴，，则，
由抛物线得顶点坐标为，
抛物线的对称性知为等腰直角三角形，
∴，
即，
解得：或或，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，且点A、B都在原点右侧，
∴且且，即且，
∴，
故选：B．
9. 如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后得到，，证明出，是圆直径，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A是优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是圆的直径，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴圆的直径为，
∴圆的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
10. 对于一个函数，自变量x取m时，函数值y也等于m，我们称m为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系．由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线上，故二次函数与直线有两个交点，且横坐标满足，可以理解为时，一次函数的值大于二次函数的值，据此列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上，
一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵，
∴抛物线开口向上，
两个不动点，满足，
时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
，
．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上.
11. 在2，3，4，5中随机抽取2个数，它们互质概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．列表可得出所有等可能的结果数以及它们互质的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下
共有12种等可能的结果，其中它们互质的结果有：，，，，，，，，，，共10种，
∴它们互质的概率为．
故答案为：．
12. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，则关于x的方程的两个根分别为______．
【答案】1或2025
【解析】
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．先移项，合并同类项得出，再分别讨论和的情况．
【详解】解：∵，
∴，
即时方程有根，
∵一元二次方程的一个根为，
∴，
此时，
故答案为：1或2025．
13. 如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是_____．
【答案】m≤2
【解析】
【分析】首先解第一个不等式，然后根据不等式组的解集是x＞2，据此即可求得m的范围．
【详解】解：
解①得：x＞2，
根据题意得m≤2．
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断，还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
14. 在学校组织的实践活动中，小明同学用一个圆心角为120°，半径为2的扇形纸板制作了一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解．
【详解】解：依题意，，
解得：．
故答案为：．
15. 如图，将一把矩形直尺和一块等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，在轴上，点与点重合，点在上，交于点，反比例函数的图像恰好经过点，，若直尺的宽，三角板的斜边，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形特殊性质可求出，，，设，用含有的代数式表示点、点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求出的值，进而确定的值．
【详解】解：过点作，垂足为，则，
在中，，，
，
又，
，
设，则，
点，，，，
又反比例函数的图象恰好经过点，．
，
解得，，，
故答案为：-12．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质确定点、点的坐标是解决问题的关键．
16. 如图，矩形的对角线与交于点O，点E在上，，连接，，与交于点F，．下列结论：①；②是等腰三角形；③；④若，则的长为．正确的有______．（填序号）
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题为四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等重要知识点．根据矩形的性质和，根据，，可得①错误；根据，于是作于，于．设与的交点为．推出与均为等腰三角形，可得②正确；设，，然后表示出和的长度，由勾股定理列方程解出，接下来利用的正弦值和余弦值求得③正确；若，利用③的结论，求出和，的长度，的长度也就可以算出来了，即可判断④正确．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
与不垂直，故①错误；
如图，作于，于．
则，
四边形为矩形，
，，，，，
，
，
，
，
，，，
∵，
∴，
∴，故②正确；
设，，则，
所以，
，
，
在中：，
，解得，（舍，
，，，
∴，故③正确；
若，
，，，
与交于点，
，
∴，，
，，
，
中：
，
，故④正确．
故其中正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【答案】，当时，原式=1
【解析】
【分析】先计算括号里面进行通分运算，再进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
由题意知且，
∴，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式有意义的条件．
18. 如图，中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质，即可判定，即可得到，再根据，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是AD的中点，
，
又，
，
，
又，
四边形ACDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
19. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为______度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有______人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取2名参加比赛，请用列表法或画树状图，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）720
（4）选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：，
故答案：72；
【小问3详解】
解：（人），
故答案为：720；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
20. 已知关于x的方程为．
（1）若方程有两个实数根，求实数m的取值范围；
（2）设方程的实数根为，，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）的最小值为．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及二次函数的性质．
（1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系将转化为，再利用二次函数的性质计算即可．
【小问1详解】
解：∵该方程有两个实数根，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
，
∴当时，有最小值，最小值为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；
（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
【答案】（1）；（2）的面积
【解析】
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；
（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．
【详解】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
22. 如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于．过点作于点，交于，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数．
（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；
（2）由，是的直径，可得，根据锐角三角函数可求，的长度，由，可得，在中，根据锐角三角函数，即可求解，
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴是的切线，
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案为：．
23. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
【答案】（1）日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为
（2）当x=10时，销售利润最大，最大=450元
（3）a的值为6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：，解方程组即可；
（2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系然后配方为顶点式即可；
（3）根据函数的性质，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可．
【小问1详解】
解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：
，
解得：，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为；
【小问2详解】
解：设日销售利润用w表示，
，
当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
【小问3详解】
∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：，
整理得，
解得（舍去），
∴a的值为6．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键．
24. 如图1，在矩形中，点是对角线上一点，点是边上一点，交于点，．
（1）①________；
②连接，若，，则线段的最小值是________；
（2）如图2，若矩形是正方形，，求的值；
（3）如图3，点为的中点，连接，，若，求证：．
【答案】（1）①90；②8；
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）①由四边形ABCD是矩形得∠FAD=90°，通过等量代换可得∠ADF+∠DAE=90°，最后可证得结论；②取AD的中点O，以AD为直径作半圆O，连接OB，当O、P、B三点共线时，线段PB取得最小值，进行求值即可；
（2）作于，得到，再用勾股定理求出，再求比值即可；
（3）延长交于点，设，，先证，得，求得，再证，求得，再求与，最后证得结论．
【小问1详解】
①解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAD=90°，
∴∠BAE+∠DAE=90°，
∵，
∴∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠APD=90°，
②如图1，取AD的中点O，以AD为直径作半圆O，连接OB，
∵∠APD=90°，
∴点P在半圆O上，
∴当O、P、B三点共线时，线段PB取得最小值，
∵OA=，AB=12，
∴，
∴PB=OB-OP=13-5=8，
故答案为：①90；②8；
【小问2详解】
如图2所示，作于，
可得，
则，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵在中，，
，
，
；
【小问3详解】
如图3所示，延长交于点，
设，，
∵四边形是矩形，
，，
，
，
即，
，点为的中点，
，
又，
，
，
即，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力．
25. 已知二次函数的图象经过点，直线AB与抛物线相交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线AB的解析式为，且的面积为35，求k的值；
（3）如图2，若，则直线AB必经过一个定点C，求点C的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入函数解析式即可得到答案；
（2）先求出，可得，结合，可得方程，结合，即可求解；
（3）设，，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，由可得，联立方程组，可得，，进而即可求解.
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
如图1，已知直线AB的解析式为，
令，则，
∴直线AB过定点，
∵，
∴轴，，
∴，
∴，
令，整理得，
∴，，
∴，
整理得，
解得或；
【小问3详解】
设，，
如图2，过点P作直线轴，分别过A、B两点作PN的垂线，垂足分别为N、M，设直线AB的解析式为，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴①，
联立方程组，
∴，
∴，②，
将②代入①，得化简，得，
∴直线AB的解析式为，即，
∴直线AB经过定点．

【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键.
2
3
4
5
2
3
4
5