福建省泉州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题

这是一份福建省泉州市2023_2024学年高二数学上学期期中试题，共32页。试卷主要包含了 向量，，满⾜，，且，则等内容，欢迎下载使用。

1.中，，，，则边上的⾼所在的直线⽅程是（）
A.B.
CD.
2. 向量，，满⾜，，且，则（）
A.B.C.22D.
3.
若圆经过点
，，且圆⼼在直线 ：上，则圆的⽅程为（）
A.B.
C.D.
4.，⼀个球内接圆台，已知圆台上､下底⾯的半径分别为3和4
球的表⾯积为，则该圆台
如图所示，
的体积为（）
A.B.C.D.
5.
已知直线
，，若且，则的值
为（）
A.B.C.D.2
6. 如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，
上，，，，则点到平⾯的距离为（）
A.B.C.D.
7.
若直线
与曲线有两个不同的交点，则实数 k的取值范围是（）
A.B.C.D.
8.
已知点
， 为坐标原点PQ
O，动点 M满⾜，，
为直线上的两点，且对
任意的点
M都有，则线段 PQ⻓度的最⼩值为（）
A.B.C.D.
、
⼆多项选择题：
9.
，斜率分别是，若，则
已知直线的倾斜⻆分别为
的⼤⼩关系可能是（）
A.
B.
C.
D.
10.
已知圆
：，圆：，则下列说法正确的是（
）
A. 若点在圆的内部，则
B.若，则圆，的公共弦所在的直线⽅程是
C. 若圆，外切，则
D.
两条切线，切点分别为、 ，则直线的⽅程是
过点作圆的
11.已知实数 ， 满⾜曲线的⽅程，则下列选项正确的是（）
A.
的最⼤值是
B.
的最⼤值是
C.
的最⼩值是
D.
的最⼤值是
12. 在正⽅体中，，点P满⾜，其中，则下
列结论正确的是（）
A.
，与所成夹⻆可能为
当平⾯时
B.当时，的最⼩值为
C.若与平⾯所成⻆为，则点 P的轨迹⻓度为
D.当时，正⽅体经过点截⾯⾯积的取值范围为
（
、
三填空题：
13.
已知圆
14.
已知
）与 轴相切，则.
．
，若的平分线⽅程为，则所在的直线⽅程为
15.
已知
三棱锥，点满⾜：，过点作平⾯，与直线，，
分别相交于三点，且，，，则.
16.
已知圆
：，圆： ，过轴上⼀点分别作两圆的切线，
切点分别是为
，，当取到最⼩值时，点坐标.
、
四解答题：
17.
1
已知圆
，直线 过点.
与圆相切时，求直线 的斜率；
（
（
18.
）当直线
）线段端点 在圆已知直线 的⽅程为
.
，若 在 轴上的截距为，且．
1；
（ ）求直线 和 的交点坐标
2与 的交点，且在 轴上截距是在 轴上的截距的 2倍，求的⽅程．
（
19.
）已知直线 经过
如图，⼰知在四棱锥中，平⾯，点在棱上，且，底⾯
为直⻆梯形，，分别是中点．
1：平⾯；
（）求证
（）求直线.
2
20.
与平⾯所成⻆的正弦值
如图，⼀个湖的边界是圆⼼为的圆，湖的⼀侧有⼀条直线型公路，湖上有桥（是圆的直
.
径）规划在公路
上选两个点，（点在点的左侧），并修建两段直线型道路，，规划要求：
已
线段，上的所有点到点的距离均不⼩于圆的半径.
知点， 到直线 的距离分别为和
（，为垂⾜），测得，，（单位，百⽶）．
18，则道路是否符合规划要求？
（）若点选在点的左侧百⽶处
2下，求最⼩值
（）在规划要求.
21. 如图，在三棱台中，是等边三⻆形，，，侧棱平
.
⾯，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点 ）
1：平⾯平⾯；
（）证明
（）若平⾯.
2
22.
与平⾯所成的锐⻆的余弦值为，试判断点的位置
在平⾯直⻆坐标系 中，已知点，圆：与 轴的正半轴的交点是，过点的
直线 与圆交于不同的两点.
1，的斜率分别是，，求的值；
（）设直线
2，点，若，求的⾯积
（）设的中点为.
、
安溪⼀中
养正中学
惠安⼀中泉州实验中学
、
、
2023
年秋季⾼⼆年期中联考
考试科⽬：数学
120
考试时间：分钟
、
⼀单项选择题：
1.中，，，，则边上的⾼所在的直线⽅程是（）
A.B.
C.D.
A
【答案】
【解析】
【分析】设边上的⾼所在的直线为 ，求出直线 l的斜率，代⼊点斜式⽅程，整理即可得出答案.
【详解】设边上的⾼所在的直线为 ，由已知可得，，所以直线l的斜率.
⼜ 过，所以 的⽅程为，
整理可得，.
A.
故选：
2. 向量，，满⾜，，且，则（）
A.B. C.22D.
A
【答案】
【解析】
.
【分析】根据空间向量数量积及坐标表示计算求解即可
【详解】，
.
所以
A.
故选：
3.
若圆经过点
， ，且圆⼼在直线：上，则圆的⽅程为（）
A.B.
C.D.
A
【答案】
【解析】
.
【分析】求解的中垂线⽅程，然后求解圆的圆⼼坐标，求解圆的半径，然后得到圆的⽅程
【详解】圆经过点，，可得线段的中点为，⼜，所以线段的中垂线的⽅程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
.
所以圆的⽅程为
A.
故选：
4.，⼀个球内接圆台，已知圆台上､下底⾯的半径分别为3和4
球的表⾯积为，则该圆台
如图所示，
的体积为（）
A.B.C. D.D
【答案】
【解析】
.
【分析】由球的表⾯积求出球的半径，然后通过轴截⾯求出圆台的⾼，进⼀步求出圆台的体积
【详解】因为圆台外接球的表⾯积，所以球的半径，设圆台的上､下底⾯圆⼼分别为，在上､下底⾯圆周上分别取点，
，
因为圆台上､下底⾯的半径分别为3和4
所以，，所以，,所以，
所以圆台体积.
D.
故选：
5.
已知直线
，，若且，则的值
为（）
A.B. C. D.2
C
【答案】
【解析】
.
,
【分析】由两直线的平⾏与垂直求得值后可得结论
，，，
【详解】由题意
所以．
C
故选：
6.
．
，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，
如图
上，，，，则点到平⾯的距离为（）
A.B. C.D.
D
【答案】
【解析】
.
【分析】构建空间直⻆坐标系坐标系，通过空间向量求解即可
y， 轴建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，
则，，，，，，
．
设平⾯的法向量为，
则令，
得．
点到平⾯的距离为．
D.
故选：
7.
若直线
与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A.B.C.D.
B
【答案】
【解析】
.
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利⽤数形结合思想进⾏求解即可
【详解】直线即，恒过定点，
，
曲线即表示以点为圆⼼，半径为1
且位于直线上⽅的半圆（包括点，），
当直线 经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ；当 与半圆相切时，由，得 ，切线记为 ，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数 k的取值范围是.
B.
故选：
O
，动点 M满⾜，，
为直线上的两点，且对
8.
，
已知点
PQ
为坐标原点
任意的点
M都有，则线段 PQ⻓度的最⼩值为（）
A.B. C. D.
D
【答案】
【解析】
M
【分析】先求出动点
的轨迹⽅程为圆
，由，圆 C 内含于或内切于以PQ
为直径的圆，由两圆的位置关系列不等式求线段 PQ⻓度的最⼩值.
【详解】设，∵，∴，∴，
可得动点
M
的轨迹为圆
C
，
PQ，
∵，∴圆
内含于或内切于以
为直径的圆
PQ
设的中点为
N，则，
C
的最⼩值为
l
点到直线
的距离
∴，∴线段
D
PQ
，
⻓度的最⼩值为
故选： ．
、
⼆多项选择题：
9.
，斜率分别是，若，则
已知直线的倾斜⻆分别为
的⼤⼩关系可能是（）
A.
B.
C.
D.
ACD
【答案】
【解析】
【分析】由在分别单调递增，且时，；时，，
.
分类讨论分析即得解
【详解】由在分别单调递增，
且时，；时，，
若，或，则，故A正确；若，则，故C正确；
若，则，故 D正确，
B不成⽴
⽆论哪种条件下，都.
ACD
故选：
10.
已知圆
：，圆：，则下列说法正确的是（
）
A. 若点在圆的内部，则
B.若，则圆，的公共弦所在的直线⽅程是
C. 若圆，外切，则
D.过点作圆的两条切线，切点分别为、 ，则直线的⽅程是
BCD
【答案】
【解析】
【分析】求点到圆⼼的距离与半径的关系即可判断A
将两圆⽅程相减可得公共弦所在的直线⽅程可判断B
；；
利⽤圆与圆外切，由圆⼼距和两半径之和相等即可判断C；由圆上两点切点所在直线，实质为为
直径的圆与圆 的公共弦，即可判断D.
【详解】由题，圆为：，圆⼼，圆为：，圆⼼，；
A，得：，解得：，故 A项错误；
对于 ：由点在圆内
B，则圆：，将圆与圆相减得到公共弦所在直线⽅程：
对于 ：若
，故 B项正确；
C两圆外切，则，即：，解得：，故C项正确；
对于 ：
D
，则得切点所在的直线为以为直径的圆与圆的公共弦，圆圆
对于 ：点在圆外
⼼，，⽅程为：，
将圆确
与圆相减得：，故D项正.
BCD.
故选：
11.
已知实数
， 满⾜曲线的⽅程，则下列选项正确的是（）
A.
的最⼤值是
B.
的最⼤值是
C.
的最⼩值是
BC
D.
的最⼤值是
【答案】
【解析】
A
【分析】
项：由表示圆上的点到定点距离的平⽅，可得其最⼤值，即可判断A
项；
B项：表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆⼼到直线
的距离求出 的范围，从⽽可判断 B项；
C D：由表示圆上任意⼀点到直线：的距离的倍，结合
、 项
圆上任意⼀点到直线的距离最⼤值为，，（为圆⼼到直线的距离），即可求解判
.
断
【详解】因为：，化简为：，所以：圆的圆⼼，半径为
.
对于 A项：表示圆上的点到定点距离的平⽅，如图所示：
所以：的最⼤值为：，故 A项错误；
对于 B 项：表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示：
设，由圆⼼到直线的距离：，即：解得：
，
所以的最⼤值为，故B项正确；
C D：表示圆上任意⼀点到直线的距离的倍，如图
对于 、 项
所示：
⼜圆⼼到直线的距离，所以：圆上任意⼀点到直的距离的最
⼩值为：，最⼤值为：，所以：的最⼩值为：，最⼤值为：，故C项
D
正确，
.
项错误
BC.
故选：
12.
，，点 P满⾜，其中，则下
在正⽅体中
列结论正确的是（）
A.
，与所成夹⻆可能为
当平⾯时
B.当时，的最⼩值为
C.若与平⾯所成⻆为，则点 P的轨迹⻓度为
D.当时，正⽅体经过点的截⾯⾯积的取值范围为
AC
【答案】
【解析】
A；
A
【分析】
选项，当点与点重合时，满⾜平⾯，与所成夹⻆为， 正确B
选项，将两图形展开到同⼀平⾯内，由三点共线得到 的最⼩值，由余弦定理求出最⼩值；C
选项；
，作出辅助线，得到点 P的轨迹，求出轨迹⻓度D
选项，先得到点在线段上，从⽽得到正⽅
体过点的截⾯，建⽴空间直⻆坐标系，得到点到直线的距离，从⽽求出截⾯⾯积的取值范
.
围
【详解】如图
1
，，
，因为
所以点在正⽅形内（包含四个端点），
当点与点重合时，，
因为平⾯，平⾯，所以平⾯，
此时，故为等边三⻆形，
故，
与所成夹⻆为A
正确；
当时，点在对⻆线上，
，
将矩形和等腰直⻆三⻆形 折叠到同⼀平⾯内，如图 2
连接与于点，
由三点共线可知，的最⼩值即为的⻓，其中，，
由余弦定理得
，
B错误；
C，如图3
以为圆⼼，的⻓为半径作圆，与正⽅形交于圆弧，
选项，
此时满⾜与平⾯所成⻆为，
故则点
C
；
的轨迹⻓度等于
D，如图4
当时，，即，故，
选项，
故点在线段上，
在上取点，使得，连接，
则可证得，四边形为平⾏四边形，故正⽅体经过点的截⾯为平⾏四边形，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建⽴空间直⻆坐标系，则，，
其中，，
，
则，
则点到直线的距离
，
因为，所以，
D.
故截⾯⾯积为， 错误
AC
故选：
【点睛】⽅法点睛：⽴体⼏何中截⾯的处理思路：
1：有两点在⼏何体的同⼀个平⾯上，连接该两点即为⼏何体与截⾯的交线，找截⾯就是找
（）直接连接法
交线的过程；
2
：过直线与直线外⼀点作截⾯，若直线所在的平⾯与点所在的平⾯平⾏，可以通过过点找
（）作平⾏线法
直线的平⾏线找到⼏何体与截⾯的交线；
3：若直线相交但在⽴体⼏何中未体现，可通过作延⻓线的⽅法先找到交点，然后借
（）作延⻓线找交点法
助交点找到截⾯形成的交线；
（）辅助平⾯法.
4：若三个点两两都不在⼀个侧⾯或者底⾯中，则在作截⾯时需要作⼀个辅助平⾯
、
三填空题：
13.
已知圆
（）与 轴相切，则.
【答案】
【解析】
.
【分析】求出圆⼼到 轴的距离即可求得半径为
【详解】根据题意可知圆⼼到 轴的距离等于半径，
⼜，解得.
故答案为：
14.
已知
．
，若的平分线⽅程为，则所在的直线⽅程为
【答案】
【解析】
【分析】先求得直线与直线的交点，然后利⽤⻆平分线定理求得点坐标，进⽽求得直线
.
的⽅程
【详解】，直线的⽅程为，由解得，设，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得,则，设，
则，
整理得，解得或（舍去）， 则，，
.
直线的⽅程为
故答案为：
15.
已知
三棱锥，点满⾜：，过点作平⾯，与直线，，
分别相交于三点，且，，，则.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，再由并利⽤空间向量
.
共⾯定理即可得
【详解】由可得，
即可得，所以，
⼜，，，所以，即，
⼜四点共⾯，由空间向量共⾯定理可得.
故答案为：
16.
已知圆
：，圆： ，过轴上⼀点分别作两圆的切线，
切点分别是为
，，当取到最⼩值时，点坐标.
【答案】
【解析】
【分析】，则
，可看成点 P到两定
点，的距离和，⽽A,B两点在x轴的两侧，所以A,B连线与x轴的交点就是所求点P.
【详解】的圆⼼为，半径，的圆⼼为，半径，
设，则，
所以，
取，
则，
当三点共线时取等号，
此时 AB直线：，
令，则，所以，
故答案为：
值
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应⽤，解题的关键是将问题转化为点 P到两定点，的距离和的最⼩.
、
四解答题：
17.
1
已知圆
，直线 过点.
与圆相切时，求直线 的斜率；
（）当直线
（）线段的端点 在圆.
1
【答案】（）
2
（）
【解析】
【分析】（1）设出直线的⽅程，利⽤圆⼼到直线的距离等于半径，建⽴⽅程，解出即可；（2）建⽴点和
点之间的关系式，再利⽤点的坐标满⾜的关系式得到点的坐标满⾜的条件，即可求出.
1
【⼩问详解】
已知的圆⼼是，半径是，
设直线斜率为则直线⽅程是，即，则圆⼼到直线距离为，
.
解得直线的斜率
2
【⼩问详解】
设点则，
由点是的中点得，所以①
因为 在圆上运动，所以②
①代⼊②得，
化简得点的轨迹⽅程是
18.
已知直线 的⽅程为
1；
.
，若 在 轴上的截距为，且．
（ ）求直线 和 的交点坐标
2与 的交点，且在 轴上截距是在 轴上的截距的 2倍，求的⽅程．
（ ）已知直线 经过
1
【答案】（）
2
（）或
【解析】
1
两直线垂直的关系，以及直线 在 轴上的截距，可得 ⽅程，联⽴⽅程，可得结果；
【分析】（）根据
案
（）利⽤1，采⽤分类讨论，设直线的⽅程可得答.
1
【⼩问
详解】
由直线 的⽅程为，，
2
可得直线 的斜率为 ，
⼜ 在 轴上的截距为，即过点，
所以直线 ⽅程：，即，
联⽴ ⽅程，得：
，故交点为；
2
【⼩问
详解】
依据题意直线 在 轴上截距是在 轴上的截距的 2倍，
且直线 经过 与 的交点
当直线 过原点时， ⽅程为：，
当直线 不过原点时，设 ⽅程为，则，解得，故 ⽅程为：，
即
综上所述：的⽅程为或.
19. 如图，⼰知在四棱锥中，平⾯，点在棱上，且，底⾯
为直⻆梯形，，分别是的中点．
1：平⾯；
（）求证
（）求直线.
2与平⾯所成⻆的正弦值
1（）
【答案】（
）⻅解析2
【解析】
1
，计算各点坐标，计算平⾯的法向量，由，即可证明；
【分析】（
2
）建⽴空间坐标系
与平⾯的法向量，由线⾯⻆的公式代⼊即可得出答案.
（）求出直线的⽅向向量
1
【⼩问详解】
以为原点，以分别为建⽴空间直⻆坐标系，由，分别是的中点，可得：
，
∴，
设平⾯的的法向量为，
则有：，
令，则，
∴，⼜平⾯，
∴
2
【⼩问
.
平⾯
详解】
设平⾯的的法向量为，
⼜则有：，
令，则 ，所以
⼜，
设直线与平⾯所成⻆为 ，
∴，
.
∴求直线与平⾯所成的⻆的正弦值为
20. 如图，⼀个湖的边界是圆⼼为的圆，湖的⼀侧有⼀条直线型公路 ，湖上有桥（是圆的直
.
径）规划在公路
上选两个点，（点在点的左侧），并修建两段直线型道路，，规划要求：
已
线段，上的所有点到点的距离均不⼩于圆的半径.
知点， 到直线 的距离分别为和
（，为垂⾜），测得，，（单位，百⽶）．
18，则道路是否符合规划要求？
（）若点选在点的左侧百⽶处
2下，求的最⼩值
（）在规划要求.
1不符合（）
【答案】（）2
【解析】
）
【分析】（1
建⽴平⾯直⻆坐标系，依题意可知时满⾜规划要求，此时最短为9
即可知若
，
8
点选在点的左侧
（）利⽤
百⽶处，则道路不符合规划要求；
.
2
1
【⼩问
三⻆形相似可求出的最⼩值为百⽶
详解】
以为坐标原点建⽴平⾯直⻆坐标系，如下图所示：
根据规划要求可知当时满⾜规划，
当时，此时最短，
作于点，由，，可得，此时可得，即，可得，
即点选在点的左侧⾄少因此若点选在点的左侧
2
9百⽶处，道路符合规划要求，
8百⽶处，则道路不符合规划要求.
⼩问详解】
同理可知，当时，道路符合规划要求，
此时，即，可得，根据规划要求可知，符合题意的选点需在图中点左侧和点右侧，
因此，
即在规划要求⽶
下，的最⼩值为百.
21. 如图，在三棱台中，是等边三⻆形，，，侧棱平
⾯）
，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点.
1：平⾯平⾯；
（）证明
（）若平⾯.
2与平⾯所成的锐⻆的余弦值为，试判断点的位置
1
【答案】（
2
）证明⻅解析
与重合
（）点
【解析】
1；
【分析】（）利⽤线⾯垂直证明⾯⾯垂直
（）建⽴空间直⻆坐标系.
2
1
【⼩问
详解】
，利⽤空间向量法求解平⾯和平⾯的夹⻆为时，求得点位置
因为：是等边三⻆形，点是的中点，所以：，
因为：平⾯，平⾯，所以：，
⼜因为：，平⾯，所以：平⾯，因为：平⾯，所以：平⾯平⾯.
2
【⼩问详解】
在平⾯中，作，以为坐标原点，，，所在直线分别为 ， ， 轴建⽴空
间直⻆坐标系如图所示，
因为：为等边三⻆形，，，得：，，
，
因为：，所以：，设：，，所以：，得：，
设平⾯的⼀个法向量为，，，则，令，得：，
设平⾯的⼀个法向量为，，
则，令，得：，设平⾯与平⾯所成⻆为 ，
则：，⼜因为：，解得：.
.
与重
即点合
22.
，已知点，圆：与 轴的正半轴的交点是，过点的
在平⾯直⻆坐标系中
直线 与圆交于不同的两点.
1，斜率分别是，，求的值；
（）设直线
2，点，若，求的⾯积
（）设的中点为.
1
【答案】（）
2
（）
【解析】
）
【分析】（1
设出直线 的⽅程为并于圆⽅程联⽴，利⽤⻙达定理可得 关于 的表
达式，化简计算即可求得.
2，由以及可得，即可求得，求出
（）设
.
弦⻓以及点到直线 的距离即可得⾯积
1
【⼩问详解】
易知点，直线 的斜率⼀定存在并设为 ，
则直线 的⽅程为，设，联⽴，可得，
所以
易知直线的斜率是，
同理直线斜率所以
，
即可知的值为
2
【⼩问详解】
如下图所示：
1，
设中点，由（）可知
由可得，
整理可得，即
解得，
因为圆⼼到直线 的距离，所以；
⼜到直线 的距离，所以
.
即的⾯积为