2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市燕子矶中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知等比数列中，，，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．36

【答案】B

【分析】根据等比数列通项公式基本量计算出公比，从而求出.

【详解】等比数列中，，，

，解得，故.

故选：B．

2．过抛物线的焦点作倾斜角为120°的直线交抛物线于、两点，则长为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【分析】先求出直线AB的方程，利用“设而不求法”求解.

【详解】根据抛物线方程得：焦点坐标.

直线AB的斜率为,由直线方程的点斜式方程可得AB: .

将直线方程代入到拋物线当中,整理得：.

设，则有，.

所以弦长.

故选：A

3．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．

【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.

∵圆的圆心，，

圆心到直线：的距离，

则．

故选A

【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．

4．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m．若水面下降1m，则水面宽度为（    ）

A． m B． m C． m D．12 m

【答案】B

【分析】以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程并求出，最后求解当时的值即可求出水面宽度.

【详解】由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，

设抛物线方程，

由题意知，抛物线经过点和点，

代入抛物线方程解得，，

所以抛物线方程，

水面下降米，即，解得，，

所以此时水面宽度.

故选：B

【点睛】本题主要考查通过建模解决实际问题和抛物线的性质，属于基础题.

5．若曲线上存在点，使到平面内两点，距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出点的轨迹方程为，“好曲线”一定与有公共点，联立后求出交点坐标或由判断出有无公共点，判断出结论.

【详解】由题意知：平面内两点，距离之差的绝对值为8，

由双曲线定义知：的轨迹是以，为焦点的双曲线且，，

故，

即轨迹方程为：，

“好曲线”一定与有公共点，

联立与得：，，

故与有公共点，A为“好曲线”，

联立与得：，无解，B不是“好曲线”，

联立与得：，，有解，C为“好曲线”，

联立与得：，，有解，故D为“好曲线”.

故不是“好曲线”的是B．

故选：B．

6．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】过作直线的垂线，题意说明射线在直线上方，由此可得的不等关系（利用直线与轴交点得出不等式），从而可得离心率的范围．

【详解】设直线l为过且与垂直的直线，易知则直线l的斜率为，

而，则该直线l的方程为，所以该直线与x轴的交点坐标为，要使得为钝角，则说明直线在直线l上方，故满足，结合，得到得，结合解得.

故选：C.

【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是利用过与直线垂直的直线与射线关系得出不等式．

7．已知数列的前项和为，，当时，，则等于（    ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

【答案】D

【分析】由时，得到，两式作差，整理可得：，结合并项求和，即可求解.

【详解】解：由题意可得，当时，，，

两式作差可得，

即，

即当时，数列任意连续两项之和为1，又因为，

所以，

故选：．

8．若对任意正实数x，不等式恒成立，则实数a的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化问题为恒成立，设，则，利用导函数求得的最小值，即可求解.

【详解】因为不等式恒成立，，

所以恒成立，

设，则，

因为，令，则，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

故选：A

二、多选题

9．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（    ）

A．为定值 B．直线过抛物线的焦点

C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4

【答案】ACD

【解析】由抛物线方程及斜率公式即可判断A；设直线方程，结合韦达定理即可判断B；利用韦达定理求得的最小值，即可判断C；由直线过定点可判断D.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，故A正确；

对于B，设直线，代入可得，

所以，即，所以直线过点，

而抛物线的焦点为，故B错误；

对于C，因为，

当时，等号成立，

又直线过点，所以，故C正确；

对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】解决本题的关键是利用抛物线的方程合理化简及韦达定理的应用，细心计算即可得解.

10．以下四个命题为真命题的是（    ）

A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为

B．直线的倾斜角的范围是

C．曲线：与曲线：恰有一条公切线，则

D．设是直线上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，，则经过，，三点的圆必过两个定点

【答案】BD

【分析】根据直线方程的求解、直线斜率与倾斜角的关系，圆与圆的位置关系，以及圆方程的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】A：当直线方程为时，也满足题意，故A错误；

B：由题可知直线的斜率为，设其倾斜角为，则

故倾斜角的范围是，故B正确；

C：曲线：，曲线：，解得；

若它们有一条公切线，且它们内切，圆心距，

解得，故C错误；

D：设点，根据切线的性质可得：，

经过三点的圆即为以为直径的圆，则圆的方程为，

整理得：，

令，解得或，

故经过三点的圆必过定点和，故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题综合考察直线和圆方程的求解，其中D选项中，对圆恒过定点的处理，是解决问题的关键；同时要注意直线截距定义的把握以及直线倾斜角和斜率之间的关系，属综合中档题.

11．已知等比数列的公比为，其前项的积为，且满足，，，则（    ）

A． B．

C．的值是中最大的 D．使成立的最大正整数数的值为198

【答案】ABD

【分析】根据题目所给已知条件，结合等比数列的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】∵，∴，∴.

∵，∴，

又，∴.故A正确.

由A选项的分析可知，，∴，∴，，故B正确，C不正确.

∴，

，

∴使成立的最大正整数数的值为198，故D正确.

故选：ABD

12．（多选）已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（　　）

A．函数在上是增函数

B．函数的最小值为0

C．如果时，，则的最小值为2

D．函数有2个零点

【答案】ABC

【分析】利用导数研究函数的单调性，画出函数图像，数形结合解决问题.

【详解】对于A，因为，求导得，当或时，，当时，，故在和上单调递减，在上单调递增，故A正确；

对于B， 当时，，当时，，故B正确；

对于C， 当时，，则的图像如下所示：

如果时，，由图可知的最小值为， 故C正确；

对于D， 由图可知只有一个零点，故D不正确.

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，最值以及零点，解题的关键是要利用导数研究函数的单调性，最值，进而作出函数的图像，考查学生的运算能力与数形结合思想，属中档题.

三、填空题

13．已知直线与垂直，则m的值为______．

【答案】0或-9##-9或0

【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.

【详解】因直线与垂直，则有，解得或，

所以m的值为0或-9.

故答案为：0或-9

14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为___．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求得切线方程，令再求的与轴的交点的横坐标为，代入中求得的通项公式，进而求得的值.

【详解】曲线，

，（1），

曲线在处的切线方程为，

该切线与轴的交点的横坐标为，

，

，

故答案为：．

15．甲、乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地.已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为v3元.为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶.

【答案】80

【分析】根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值．

【详解】解：设全程运输成本为元，

由题意，得，，

．

令，得．

当时，；当时，．

所以函数在上递减，在上递增，

所以 km/h时，．

故答案为：80.

16．若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点且交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为___．

【答案】

【分析】根据题意得出直线的方程为，设，将直线方程与椭圆方程联立可得，，由可得：，进而化简即可求解.

【详解】椭圆左焦点，直线的倾斜角为，则斜率为，

直线的方程为，设，

联立，得．

解得：，．

，．

即，

即，解得：.

故答案为：．

四、解答题

17．已知点及圆：.

(1)若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程．

(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）或；（2）见解析

【详解】试题分析:(1)当直线斜率存在时,设出直线方程,利用圆心到直线的距离等于建立方程,解出子线的斜率,由此求得直线方程.当直线斜率不存在时,直线方程为,经验证可知也符合.(2)将直线方程代入圆的方程,利用判别式大于零求得的取值范围,利用”圆的弦的垂直平分线经过圆心”,求出直线的斜率,进而求得的值,由此判断不存在.

试题解析:

 (1)设直线l的斜率为k(k存在)，则方程为y－0＝k(x－2)，即kx－y－2k＝0.

又圆C的圆心为(3，－2)，半径r＝3，

由＝1，解得k＝.

所以直线方程为，即3x＋4y－6＝0.

当l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经验证x＝2也满足条件

(2)把直线y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.

由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，

故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，

解得a<0.

则实数a的取值范围是(－∞，0)．

设符合条件的实数a存在．

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l2上．所以l2的斜率kPC＝－2.

而kAB＝a＝－，所以a＝.

由于，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查直线和圆相交时的代数表示方法.第一问由于题目给出圆心到直线的距离,故可利用点到直线的距离公式,建立方程,求的直线的斜率.由于直线的斜率可能不存在,故必须对直线斜率不存在的情况进行验证.直线和圆相交,那么直线和圆方程联立所得一元二次不等式的判别式要大于零.

18．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)讨论的极值.

【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为

(2)答案见解析

【分析】（1）求导，令导数大于0得增区间，导数小于0得减区间；

（2）先求导函数，分类讨论函数的单调性，根据单调性得极值即可.

【详解】（1）当时，，

则.

由，得或；由，得.

所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（2）

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，

故此时的极大值为，极小值为；

当时，，即在上单调递增.此时无极值；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，故此时的极大值为，极小值为.

综上所述：当时， 的极大值为，极小值为；

当时，，即在上单调递增.此时无极值；

当时， 的极大值为，极小值为.

19．已知是递增的等差数列，，且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)见解析.

【分析】（1）根据等差数列的基本量以及等比中项的关系即可求解.

（2）根据裂项相消求和，即可求出，然后根据单调性即可证明.

【详解】（1）设的公差为 ，因为，，成等比数列，

所以 ，

因为是递增，所以，故 ，所以.

（2）,

所以 ，

因为 单调递减，所以 单调递增，

故当 时， ，而，

故.

20．已知过圆C1：x2+y2＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C2：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．

（1）求椭圆C2的方程；

（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设切线方程为y﹣＝k（x﹣），由圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出k＝﹣，从而求出A（0，），和B（2，0），直接写出椭圆的方程；

（2）由（1）可知p（﹣2，0），设直线MN方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）用设而不求法表示出，整理化简可得，即可证明PM⊥PN．

【详解】（1）设过点的切线方程为y﹣＝k（x﹣），即kx﹣y+﹣＝0，

因为圆心到直线的距离等于半径，

所以，解得k＝﹣，

所以切线方程为﹣，

令x＝0，得y＝，A（0，），

令y＝0，得x＝2，B（2，0）．

所以b＝，a＝2，

所以椭圆C2方程为：．

（2）由（1）可知p（﹣2，0），

设直线MN方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2）

联立直线与椭圆的方程得：（m2+3）y2﹣2my﹣3＝0，

y1+y2＝，y1y2＝，

x1+x2＝（my1﹣1）+（my2﹣1）＝m（y1+y2）﹣2，

x1x2＝（my1﹣1）（my2﹣1）＝m2y1y2﹣m（y1+y2）+1，

＝（x1+2，y1）•（x2+2，y2）＝（x1+2）（x2+2）+y1y2

＝x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2，

＝m2y1y2﹣m（y1+y2）+1+2[m（y1+y2）﹣2]+4+y1y2，

＝（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1，

＝（m2+1）（）+m（）+1，

＝＝0，

所以PM⊥PN．

21．已知数列{an}为等差数列，S2＝0，S6﹣S3＝21.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1）an＝2n﹣3；（2）Tn

【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求前项和；

【详解】（1）数列{an}为等差数列，S2＝0，S6﹣S3＝21.

设数列的首项为a1，公差为d，

则：，

解得：，d＝2，

所以，an＝2n﹣3；

（2）由于：an＝2n﹣3，

所以：，

所以：（），

，

.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，裂项相消法求和，属于中档题.

22．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.

【答案】(1)

(2)−3

【分析】（1）求出在处的导数值，求出，即可得出切线方程；

（2）不等式化为对任意的恒成立即可，构造函数，利用导数求出最大值即可得出.

【详解】（1）当时，，，

则，，所以切线方程为.

（2）因为对任意的恒成立，

即，当时，对任意的恒成立，

∵，，∴，

只需对任意的恒成立即可.

构造函数，，

∵，∴，且单调递增，

∵，，

∴一定存在唯一的，使得，

即，，

且当时，，即；当时，，即.

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴，

所以b的最小整数值为−3.