甘肃省平凉市崆峒区第七中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、 选择题 （本题共计 10小题，每题 3分，共计30分．）
1. 下列实数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数是指无限不循环小数，据此判断即可．
【详解】根据无理数的定义，为无理数，
，1，2均为有理数，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的辨别，理解无理数的定义以及常见形式是解题关键．
2. 下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解答轴对称图形问题的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；解答中心对称图形问题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误．
故选：A
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则．正确掌握各个运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意；
B、，故该选项错误，不合题意；
C、，故该选项错误，不合题意；
D、，故该选项错误，不合题意．
故选：A．
4. 长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】先将25100用科学记数法表示为，再和相乘，等于米．
【详解】25100
∵1纳米米，
∴纳米米
故选D
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
5. 有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质．根据与互补求得的度数，再根据三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 某校分别在三、四、五、六月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是（ ）

A 共有500名学生参加学科知识模拟测试
B. 四月增长的“优秀”学生人数最多
C. 从三月到六月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 六月测试成绩为“优秀“的学生人数达到100人
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了条形统计图和折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据条形统计图和折线统计图分别判断即可．
【详解】解：共有名学生参加模拟测试，故A选项正确，不符合题意；
四月增长的“优秀”人数人；
五月增长的“优秀”人数人；
六月增长的“优秀”人数为人，
∴四月增长的“优秀”人数最多，故B选项正确，不符合题意；
由折线统计图可知，从三月到六月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故C正确，不符合题意；
六测试成绩“优秀”的学生人数达到人，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠AOB=90°，再利用S阴影=S扇形OAB-S△OAB算出结果.
【详解】解：∵∠C=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB==，
故选D.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到∠AOB=90°.
8. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴=
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 如图，在矩形ABCD中，，．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿运动，当点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为（单位：s），的面积为S（单位：），则S随t变化的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分点P在AB上运动, 0≤t≤4；点P在BC上运动, 4＜t≤7；点P在CD上运动, 7＜t≤11，分别计算即可
【详解】当点P在AB上运动时, S==6t，0≤t≤4；
当点P在BC上运动时, S==24，4＜t≤7；
点P在CD上运动, S=， 7＜t≤11，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形中的动点面积函数图像问题，正确进行分类，清楚函数图像的性质是解题的关键．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 已知关于x方程有两个不相等的实根，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
解得.
故答案为：
13. 水星表面的白天平均温度约为零上，夜间平均温度约为零下．如果零上记作“”，那么零下应该记作“_______”．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一对具有相反意义的量的含义．掌握“相反意义的量的含义”是解本题的关键．
【详解】解：零上记作“”，那么零下应该记作：“”，
故答案为：．
14. 如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为______．

【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得．
【详解】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
∴．
故答案为：9．
15. 如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为_______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可．
【详解】如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
点A、B在第一象限，
，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
阴影部分的面积为5，
，
，
解得：．
故答案为：7．
16. 如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分别交BD，CD于点M，N．若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作EP⊥BD于P，将∠EDM构造在直角三角形DEP中，设法求出EP和DE的长，然后用三角函数的定义即可解决．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
AB=BC= CD=DA=1，．
∵△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCF，
∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．
设AE=CF=2x，DN=5x，
则BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．
∵AB∥DC，
∴．
∴．
∴．
整理得，．
解得，，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
过点E作EP⊥BD于点P，如图所示，
设DP=y，则．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴在Rt△DEP中，
．即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点，熟知各类图形的性质与判定是解题的基础，构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义是解题的关键．
三、 解答题（共6小题，共计44分．）
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
解①，得，
解②，得，
所以不等式组的解集为．
19. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1）求作⊙P，使圆心P在BC上，且⊙P与AC、AB都相切；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，若AC＝4，BC＝3．求⊙P的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙P的半径为．
【解析】
【分析】（1）作∠CAB的角平分线交BC于点P，以P为圆心，PC为半径作⊙P即可；
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：（1）如图所示．
（2）设⊙P的半径为R，⊙P与AB相切于点D，连接PD，则PB=3-R，
在Rt△ABC中，，
∵⊙P与AC、AB都相切
∴AD=AC=4，
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△PBD中，
∵PD2+BD2=PB2，
∴，
解得：R=．
答：⊙P的半径为．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”,B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．
（1）九年级一班的小芳从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“甘肃剪纸”的概率为 ；
（2）九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率．
【答案】（1）
（2）他们选择的实践课程相同的概率为．
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可；
（2）画出树状图求解即可；
【小问1详解】
解：小芳从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“甘肃剪纸”的概率为．
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即，，
∴他们选择的实践课程相同的概率．
22. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，求这栋高楼的高．
【答案】为60米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可．
【详解】解：在中，．
，
，
在中，．
，
，
．
答：这栋高楼高为60米．
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间 （单位 ）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中 组的数据分别为：，，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
各组劳动时间的扇形统计图

请根据以上信息解答下列问题
（1）本次调查的样本容量为 ，频数分布表中的 的值为 ；
（2）A组数据的众数为 ，B组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数
【答案】（1）60，12
（2），
（3）860
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
（1）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去A、C、D、E组的频数得到B组的频数；
（2）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解，再用乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过的人数．
【小问1详解】
解：由题意可得，本次调查的样本容量是，
由题意得，
故答案为：60，12；
【小问2详解】
解：∵A组的数据为：，共有5个数据，出现次数最多的是，共出现了3次，
∴A组数据众数是；
B组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：（人）．
答：该校学生劳动时间超过的大约有860人．
24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合：
（1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴，
把代入中得：，
解得，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或．
25. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；
（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长．
【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵OC，OB是圆O的半径，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠DCA=∠ABC，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴OC⊥DC，
又∵OC是圆O的半径，
∴DC是圆O的切线；
（2）∵，
∴，化简得OA=2DA，
由（1）知，∠DCO=90°，
∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，
∴∠DCO=∠DEB，
∴OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，即，
∴DA=EB，
∵BE=3，
∴DA=EB=，
经检验：DA=是分式方程的解，
∴DA=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．
26. 【探索发现】
如图1，是等边三角形，点D为边上一个动点，将绕点A逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形．
（1）请帮小明写出证明过程；
（2）直接写出线段之间的数量关系： ；
【理解运用】
如图2，在中，于点D．将绕点A逆时针旋转得到，延长与交于点G．
（3）判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展迁移】
（4）在（3）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）四边形是正方形，理由见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）根据旋转得是等边三角形，从而，则四边形ABCE是菱形；
（2）先证明C、F、E在同一直线上，根据证明，则，，可得；
（3）先根据，证明得四边形是矩形，由邻边相等可得四边形是正方形；
（4）根据证明，根据及勾股定理可得结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）线段之间的数量关系：，
理由是：由旋转得：，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴C、F、E在同一直线上，
∴，
故答案为：；
（3）四边形是正方形，理由如下：
∵绕点A逆时针旋转90°得到，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
（4）如图3，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质．
27. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．
（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
（3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C（2，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3
（2）当t时，S有最大值
（3）存在，（﹣2，5）或（1，﹣4）
【解析】
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），则抛物线的对称轴为x＝1，再利用抛物线的对称性即可求得C点坐标；设抛物线的解析式为交点式y＝a（x﹣3）（x+1），把点A的坐标代入即可求得a的值，从而求得解析式；
（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，由点A，E的坐标可求得直线AE的表达式；设点P（t，t2﹣2t﹣3），则可得点H的坐标，由△PAE的面积SPH×OE可得关于t的二次函数，即可求得最大值；
（3）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），
∴C（2，﹣3），
设抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
把点A的坐标代入上述解析式中，得﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
【小问2详解】
如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，
由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
∴△PAE的面积SPH×OE（t﹣3﹣t2+2t+3）（﹣t2+3t），
∴当t时，S有最大值；
【小问3详解】
∵OE=OA=3，OE⊥OA，
∴∠AEO＝∠EAO=45°，
①当∠PEA＝90°时，
∵PE⊥AE，
∴直线PE与x轴的夹角为45°，
∴PE与y轴的夹角为45゜
∴PE与y轴交点的坐标为(0，3)
设直线PE的表达式为y＝mx+3，将点E的坐标代入并解得m＝−1，
∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，
联立得，
解得x＝﹣2或x=3（不合题意，舍去）
故点P的坐标为（﹣2，5），
②当∠PAE＝90°时，
∵PA⊥AE，∠EAO=45°，
∴直线PE与y轴的夹角为45°，
∴PE与x轴的夹角为45゜
∴PE与x轴交点的坐标为(−3，0)
设直线PE的表达式为y＝nx−3，将点(−3，0)代入并解得n＝−1，
∴直线PE的表达式为y＝﹣x−3，
联立得，
解得x＝1或x=0（不合题意，舍去）
∴点P（1，﹣4），
综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．
【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，直角三角形的性质，二次函数的性质及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．组别
时间/
频数
A
5
B
a
C
20
D
15
E
8