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北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷Word版含解析docx、北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
2024.7
注意事项：
1．考生要认真填写姓名和考号．
2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟．
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回．
第一部分 选择题 （共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求集合A，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
2. 等比数列，，，，……，则数列的第七项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项.
【详解】设该等比数列为，数列的公比为，
由已知，，，
所以，
所以数列的通项公式为，
所以.
故选：A.
3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. 20B. C. 80D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的通项解决问题.
【详解】二项式的通项为
，
要使其常数，则，即，
故常数项为.
故选：D
4. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可.
【详解】由，得，
所以.
故选：B
5. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.
【详解】依题意，四道题中恰好做对2道概率.
故选：C
6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.
【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），
所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为.
故选：D
7. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.
【详解】设，，，
则表示函数在点处的切线的斜率，
则表示函数在点处的切线的斜率，
表示，两点连线的斜率，
又在上单调递增，且增长趋势越来越快，
则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示：
由图可知，所以.
故选：C
8. 若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】由题意可知是公比为的等比数列，
当，时，则，
由于，，且随n的增大而减小，故单调递增，
当，时，也单调递增，推不出，
故“”是“单调递增”充分而不必要条件，
故选：A
9. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果.
【详解】由，得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，，
解得.
故选：B
10. 若函数，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
① 当时，在上单调递增；
② 当时，有两个极值点；
③ 当时，没有最小值．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.
【详解】，
设，，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确；
当时，，即，
设，由上面的研究可知，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
且当时，，且，时，，
所以此时方程有两个解，即有两个零点，
所以有两个极值点，②正确，
所以正确答案是①②③.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．
第二部分 非选择题 （共110分）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______．
【答案】 ①. ②. 16
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，则
，解得，
所以，，
当时，的最大值为,
故答案为：，16.
12. 若随机变量X的分布列为（如表），
则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）
【答案】 ①. ##0.5 ②. ##
【解析】
【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.
【详解】
Y=2X+1
.
故答案为：；.
13. 若，则=______.
【答案】32
【解析】
【分析】利用赋值法求解.
【详解】根据题意，，
令，得，
令，得，
两式相加得：，
所以.
故答案为：32.
14. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________．
【答案】 ①. 48 ②.
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.
【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍，
因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.
设第个图形的周长为，则周长之间的关系为，
所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以.
故答案为：48；.
15. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号)
①当时，数列的前n项和；
②若数列是单调递增数列，则；
③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；
④若恒成立，则．
【答案】①④
【解析】
【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】对于①，当时，，所以，
所以
，所以①正确，
对于②，若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，所以②错误，
对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，
对于④，由，得，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，所以，所以④正确.
故答案为：①④
三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：
（1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
（2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）.
（2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.
（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.
【小问1详解】
设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．
在200人中对饭菜质量满意的有130人，
.
【小问2详解】
分层抽取比例
男生抽取人，女生抽取人
抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2 -
-
-
随机变量X的数学期望.
17. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：且都有成立，.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.
（2）条件①利用数列前项和和通项公式的关系求出，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出，再利用分组求和法求和即可.
【小问1详解】
已知等差数列中，满足.
设首项为，公差为，
得到，解得，
【小问2详解】
选条件①
.当时，，
当时，，
当时，，
，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
设的前项和为，
.
选条件②
，是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
选条件③
且都有成立，是等比数列，且设公比为，
，，
(负根舍去)，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
18. 设函数，
（1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为10；最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.
（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.
（3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.
【小问1详解】
代入得到，即切点坐标（0，1）
由，得 ．
-
所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.
【小问2详解】
由，得 ．
令，得，解得或
与在区间上的情况如下：
所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为．
【小问3详解】
若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点
由（2）可知：
又当；当
所以时，方程有三个不同根． -
19. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；
（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算该校高三学生睡眠时间在最佳范围的频率；
（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；
（3）直接判断写出与的大小关系．
【小问1详解】
设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，
在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，
所以；
【小问2详解】
由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，
则，
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，
，
由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
所以的分布列为：
；
【小问3详解】
．
20. 已知函数 ，其中
（1）求函数的单调区间；
（2）当曲线在点处切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；
（2）对函数进行求导，利用导数的几何性质求出，设出切点坐标，构造函数，得到切点坐标，进而可得的取值范围．
【小问1详解】
因为，所以函数的定义域为
当时，对任意的恒成立，
所以函数的增区间为，无减区间； -
当时，令，得舍负，
所以的减区间为，增区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
【小问2详解】
，
曲线在点的切线与直线垂直，
，
是一条过原点的直线，
假设直线 与曲线相切，设切点坐标，
则 所以，
令 则恒成立，
在单调递增，
，所以有且仅有一解 ，即切点坐标，
当直线 与曲线相切时，切点 ， -
此时直线的斜率为1，即，
所以当函数的图象总在图象的上方时，
【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性.
21. 已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（1）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集A具有性质P．
①当时，证明，且成等比数列；
②证明：．
【答案】（1）数集具有性质，不具有性质，理由见解析
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可；
（2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.
【小问1详解】
数集具有性质，不具有性质，理由如下：
因为，，，，，都属于数集，所以具有性质；
因为，都不属于数集，所以不具有性质．
【小问2详解】
①当时，，．
因为，所以，，所以与都不属于A，
因此，，所以．
因为，且，所以，
且，所以，所以成等比数列．
②因为具有性质，所以，至少有一个属于A，
因为，所以，，因此，．
因为，所以（），
故当时，，，（），
又因为，
则，，，，，
可得，
所以.
【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.X
1
2
3
满意度
性别
满意
不满意
弃权
男生
80
30
10
女生
50
20
10
X
0
1
2
P
-4
-3
1
（1，3）
3
↗
10
↘
↗
10
-3
（-3，1）
1
↗
10
↘
↗
0
1
2
—
极小值
2024.7
注意事项：
1．考生要认真填写姓名和考号．
2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟．
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回．
第一部分 选择题 （共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意求集合A，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
2. 等比数列，，，，……，则数列的第七项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项.
【详解】设该等比数列为，数列的公比为，
由已知，，，
所以，
所以数列的通项公式为，
所以.
故选：A.
3. 在二项式的展开式中，常数项为（ ）
A. 20B. C. 80D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式的通项解决问题.
【详解】二项式的通项为
，
要使其常数，则，即，
故常数项为.
故选：D
4. 已知函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可.
【详解】由，得，
所以.
故选：B
5. 某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.
【详解】依题意，四道题中恰好做对2道概率.
故选：C
6. 2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.
【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），
所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为.
故选：D
7. 已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.
【详解】设，，，
则表示函数在点处的切线的斜率，
则表示函数在点处的切线的斜率，
表示，两点连线的斜率，
又在上单调递增，且增长趋势越来越快，
则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示：
由图可知，所以.
故选：C
8. 若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】由题意可知是公比为的等比数列，
当，时，则，
由于，，且随n的增大而减小，故单调递增，
当，时，也单调递增，推不出，
故“”是“单调递增”充分而不必要条件，
故选：A
9. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果.
【详解】由，得，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以，，
解得.
故选：B
10. 若函数，则根据下列说法选出正确答案是（ ）
① 当时，在上单调递增；
② 当时，有两个极值点；
③ 当时，没有最小值．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.
【详解】，
设，，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
当时，，即，
所以函数在上单调递增，则没有最小值，① ③正确；
当时，，即，
设，由上面的研究可知，
当时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
且当时，，且，时，，
所以此时方程有两个解，即有两个零点，
所以有两个极值点，②正确，
所以正确答案是①②③.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．
第二部分 非选择题 （共110分）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）
11. 已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______．
【答案】 ①. ②. 16
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.
【详解】设等差数列的公差为，则
，解得，
所以，，
当时，的最大值为,
故答案为：，16.
12. 若随机变量X的分布列为（如表），
则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）
【答案】 ①. ##0.5 ②. ##
【解析】
【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.
【详解】
Y=2X+1
.
故答案为：；.
13. 若，则=______.
【答案】32
【解析】
【分析】利用赋值法求解.
【详解】根据题意，，
令，得，
令，得，
两式相加得：，
所以.
故答案为：32.
14. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________．
【答案】 ①. 48 ②.
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.
【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍，
因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.
设第个图形的周长为，则周长之间的关系为，
所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以.
故答案为：48；.
15. 已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．( 填写所有正确选项的序号)
①当时，数列的前n项和；
②若数列是单调递增数列，则；
③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；
④若恒成立，则．
【答案】①④
【解析】
【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】对于①，当时，，所以，
所以
，所以①正确，
对于②，若数列是单调递增数列，则，即，
所以，所以，
因为，所以，所以②错误，
对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，
对于④，由，得，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2，所以，所以④正确.
故答案为：①④
三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16. 某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：
（1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
（2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．
【答案】（1）.
（2）分布列见解析；期望为.
【解析】
【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.
（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.
【小问1详解】
设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．
在200人中对饭菜质量满意的有130人，
.
【小问2详解】
分层抽取比例
男生抽取人，女生抽取人
抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2 -
-
-
随机变量X的数学期望.
17. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和.
条件①：；
条件②：；
条件③：且都有成立，.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.
（2）条件①利用数列前项和和通项公式的关系求出，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出，再利用分组求和法求和即可.
【小问1详解】
已知等差数列中，满足.
设首项为，公差为，
得到，解得，
【小问2详解】
选条件①
.当时，，
当时，，
当时，，
，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
设的前项和为，
.
选条件②
，是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
选条件③
且都有成立，是等比数列，且设公比为，
，，
(负根舍去)，
是以2为首项，3为公比的等比数列，
，设的前项和为，
.
18. 设函数，
（1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）最大值为10；最小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.
（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.
（3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.
【小问1详解】
代入得到，即切点坐标（0，1）
由，得 ．
-
所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.
【小问2详解】
由，得 ．
令，得，解得或
与在区间上的情况如下：
所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；
当x=1时，最小值为．
【小问3详解】
若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点
由（2）可知：
又当；当
所以时，方程有三个不同根． -
19. 为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：
男生组：5， 5.5， 6， 7， 7， 7.5， 8， 8.5， 9；
女生组：5.5， 6， 6， 6， 6.5， 7， 7， 8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；
（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算该校高三学生睡眠时间在最佳范围的频率；
（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；
（3）直接判断写出与的大小关系．
【小问1详解】
设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，
在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，
所以；
【小问2详解】
由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，
则，
“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，
，
由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，
，，
，
所以的分布列为：
；
【小问3详解】
．
20. 已知函数 ，其中
（1）求函数的单调区间；
（2）当曲线在点处切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；
（2）对函数进行求导，利用导数的几何性质求出，设出切点坐标，构造函数，得到切点坐标，进而可得的取值范围．
【小问1详解】
因为，所以函数的定义域为
当时，对任意的恒成立，
所以函数的增区间为，无减区间； -
当时，令，得舍负，
所以的减区间为，增区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，的单调减区间为，单调增区间为．
【小问2详解】
，
曲线在点的切线与直线垂直，
，
是一条过原点的直线，
假设直线 与曲线相切，设切点坐标，
则 所以，
令 则恒成立，
在单调递增，
，所以有且仅有一解 ，即切点坐标，
当直线 与曲线相切时，切点 ， -
此时直线的斜率为1，即，
所以当函数的图象总在图象的上方时，
【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性.
21. 已知数集（），若对任意的（），与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．
（1）分别判断数集B=与数集C=是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集A具有性质P．
①当时，证明，且成等比数列；
②证明：．
【答案】（1）数集具有性质，不具有性质，理由见解析
（2）①证明见解析；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据性质P的定义带入数值判断即可；
（2）①根据题意分析可得，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，对其元素进行排序后对应相等可解.
【小问1详解】
数集具有性质，不具有性质，理由如下：
因为，，，，，都属于数集，所以具有性质；
因为，都不属于数集，所以不具有性质．
【小问2详解】
①当时，，．
因为，所以，，所以与都不属于A，
因此，，所以．
因为，且，所以，
且，所以，所以成等比数列．
②因为具有性质，所以，至少有一个属于A，
因为，所以，，因此，．
因为，所以（），
故当时，，，（），
又因为，
则，，，，，
可得，
所以.
【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.X
1
2
3
满意度
性别
满意
不满意
弃权
男生
80
30
10
女生
50
20
10
X
0
1
2
P
-4
-3
1
（1，3）
3
↗
10
↘
↗
10
-3
（-3，1）
1
↗
10
↘
↗
0
1
2
—
极小值
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