辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

这是一份辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了下列说法中正确的有等内容，欢迎下载使用。
命题人：高一数学组 审校人：高一数学组
说明：1．考试时长120分钟，满分150分．
2．考生务必将答案答在答题卡相应位置上，在试卷上作答无效．
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．已知平面向量，，若，则（ ）
A．或B．或C．或3D．或3
3．（ ）
A．B．C．D．
4．古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为．他又派人测得，两地的距离，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（ ）（）
A．B．C．D．
5．已知，，均为单位向量，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
8．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在等腰中，已知，，若、、、分别为的垂心、外心、重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法中正确的有（ ）
A．与垂直的单位向量为
B．已知在上的投影向量为且，则
C．若非零向量，满足，则与的夹角是
D．已知，，且与夹角为锐角，则的取值范围是
11．函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C．的图象关于点对称
D．若方程在上有且只有6个根，则
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则________．
13．求值________．
14．已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且．则为函数的“子母数”．已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为________．
四、解答题
15．（本题满分13分）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟．
（1）求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式；
（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值；
16．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于，两点，轴的非负半轴与单位圆交于点，已知，点的横坐标是．
（1）求的值：
（2）求的值．
17．（本题满分15分）已知函数．
（1）若为偶函数，求函数的定义域；
（2）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
18．（本题满分17分）已知向量，，函数．
（1）求的值；
（2）当时，方程有解，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使不等式对所有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19．（本题满分17分）已知为坐标原点．对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量．并求出与共线的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
沈阳二中2023—2024学年度下学期4月阶段测试
高一（26届）数学试题答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题
12．13．14．
四、解答题
15．（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，）
则，，．
依题意，，
当时，，，
．
（2）令，即，，
，，
或，解得或，
或时，1号座舱与地面的距离为17米．
16．（1）由题意知，，点，
则有，解得．
又为锐角，则，
因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，
则，，
所以
（2）由（1）知，，，，
则，
从而．
因为为锐角，，
则有，即，
又，因此，所以．
17．（1）因为为偶函数，
所以，即．
因为，所以，
解得：，，所以，，
所以的定义域为．
（2）因为过点，所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
又因为对任意的，，都有成立，
所以，，
，
因为，所以，
设，，则有图象开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，所以，
所以，解得，所以；
当时，在上单调递减，所以，
所以，解得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数的取值范围为．
18．（1）由题意可知：，
可得
（2）令，
因为，则，，
可得，
且的图象开口向上，对称轴为直线，可知在上单调递减，
则，，
因为方程在有解，
可得，解得，
（3）存在，符合题意，
因为，
则，
不等式可化为对恒成立，
令，，
则，解得，
若，则，可知的开口向下，
则，可知符合题意，
综上所述：的取值范围为．
19．（1）根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，
故．
（2）因为，
故函数的相伴特征向量，
则与共线单位向量为
（3）因为，
其相伴特征向量，故，
所以，则，
，
设点，又，，
所以，，
若，则，
即，，
因为，，
故，
又，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
C
B
B
B
B
9
10
11
ABC
BC
AD