2023年江苏省常州市中考一模数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年江苏省常州市中考一模数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
1．点P（2,-3）关于原点的对称点是（）
A．（-2,3）B．（2,-3）C．（-2,-3）D．（2,3）
2．方程x(x-1)=x的解是（）
A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=2
3．若线段a＝2cm，线段b＝8cm，则a，b的比例中项c为（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．32cm
4．已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
5．九（1）班45名同学一周课外阅读时间统计如表所示，那么该班45名同学一周课外阅读时间的众数、中位数分别是（ ）
A．7，7B．19，8C．10，7D．7，8
6．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠CAB=40°，∠ABD=30°，则∠APD的度数为（）
A．30°B．35°C．40°D．70°
7．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（）
A．B．C．m=1D．m=4
8．如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作，使BC=2BA．将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°．则第2024次旋转结束时，点C的对应点C’落在反比例函数的图象上，则k的值为（）
A．6B．-6C．-4D．4
二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．在函数中，自变量x的取值范围是_______．
10．若，则_______．
11．若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m=______．
12．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为____________cm2．
13．在一个不透明的盒子中装有10个大小相同的乒乓球，做了1000次摸球试验，摸到红球的频数是400，估计盒子中的红球的个数是______．
14．中，，，，则AC的长是________．
15．下表中两个变量y与x的数据满足我们初中学过的二次函数关系：
则这个二次函数图像的对称轴为______．
16．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为______．
17．如图，是等边三角形，边AB在y轴上，反比例函数的图象经过点C，若AB=4，点A的坐标为（0,3），则k的值为___________．
18．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点。甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是________．（填“甲”，“乙”或“不确定”）．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内容作答，解答应写出演算步骤）
19计算：．
20．解方程：
（1）；（2）．
21．某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调直，调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项），根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）频数分布表中的m＝__，n＝__，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为__；
（2）若该校有1000名学生，请估计最喜爱乒乓球这项运动的学生人数．
22．进出校园测量体温是学校常态化疫情防控的重要举措，学校有A、B两个测温通道，甲、乙、丙三个同学上学进校园，随机选择一个通道测量体温，
（1）甲同学通过A通道进入校园的概率是__；
（2）请用列表或画树状图的方法求出甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图①，四边形ABCD为矩形，AB长6米，AD长2米，点D距地面为0.4米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．如图②，当道闸打开至∠ADC=60°时，边CD上一点P到地面的距离PE为2.4米，求点P到MN的距离PF的长；
25．已知直线过点．点P为直线上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若的面积等于3，求出点P的横坐标m的值．
26．如图，点D是中AB边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点C，连接CD．
（1）判断与是否相似？并说明理由。
（2）若⊙O的半径为3，，求BC的长度．
27．在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段AB的“似中点”．
（1）已知，，在点、、中，线段AB的“似中点”是点______；
（2）直线与轴交于点M，与轴交于点N．
①求在坐标轴上的线段MN的“似中点”；
②若⊙P的半径为2，圆心P在x轴上，坐标为，⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出的取值范围．
28．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E，与x轴交于点H，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点Q，使与的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线上存在一点G，使，请直接写出点G的坐标；
人数（人）
5
19
15
6
时间（小时）
6
7
9
10
…
0
1
3
…
…
0
3
4
0
…
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其它公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
运动项目
频数（人数）
频率
篮球
30
0.25
羽毛球
m
0.20
乒乓球
36
n
跳绳
18
0.15
其它
12
0.10
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
1．A
【解析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，即可求解。
【详解】解：点P（2,-3）关于原点的对称点是（-2,3）。故选：A
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键。
2．D
【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可。
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
故选：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．A
【解析】由是比例中项可得再代入数据解方程即可.
【详解】解：是的比例中项，且
（负根舍去）
故选A
【点睛】本题考查的是线段的比例中项的含义，掌握“线段的比例中项的含义”是解本题的关键.
4．C
【解析】根据直线与圆的位置关系的判断方法求解即可得到答案．
【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为，
，∴直线与的位置关系是相离，故选：C．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解决问题的关键．
5．A
【解析】根据众数、中位数的概念分别求得这组数据的众数、中位数．
【详解】解：数据7出现的次数最多，所以众数是7；
45个数据从小到大排列后，排在第23位的是7，故中位数是7．
故选：A．
【点睛】此题考查了众数的概念和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
6．D
【解析】由圆周角定理可得，，然后由三角形外角的性质，求得的度数．
【详解】解：∵，，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．D
【解析】设零和点的坐标为（n，-n），代入y=x2+3x+m得到关于n的一元二次方程，由题意可知此方程有两相等的实数根，即可得到Δ=42-4m=0，解得即可．
【详解】解：∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，
设零和点的坐标为（n，-n），
∴方程-n=n2+3n+m即n2+4n+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=42-4m=0，
∴m=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
8．B
【解析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示：
把，代入得：，解得：，
∴，
把，代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点，
第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点，
∴每4次一个循环，
∴，
∴第2024次变化后点的坐标为，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．
二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．
【解析】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
10．4.5
【解析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
11．
【解析】先根据方程有两个相等的实数根得出△，求出的值即可．
【详解】解：关于的方程为常数）有两个相等的实数根，
△，解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△时，一元二次方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．
12．
【解析】圆锥的侧面积＝×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】∵圆锥的底面半径长为4cm，母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积＝×4×5＝20cm2，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．
13．4
【解析】根据概率公式先求出摸到红球的概率，然后乘以总球的个数即可得出答案．
【详解】解：∵做了1000次摸球试验，摸到红球的频数为400，
∴摸到红球的频率是：，
∴估计盒子中的红球个数为：（个）；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．2
【解析】在中，利用锐角三角函数的定义可得，然后再利用勾股定理，进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
15．【分析】根据两个函数值相等的点，其对称轴为直线计算求解即可．
【详解】解：由图表可知与关于对称轴对称，
∴可知该二次函数图像的对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数图像的对称性．
16．
【解析】根据题意可得出所以∽，列出相似比，进而可以求出答案．
【详解】根据题意可知：，，，，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了形似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】作轴于，根据等边三角形的性质得出，，，解直角三角形求得，即可得到点的坐标，代入即可求得的值．
【详解】解：如图，过点作轴于，
是等边三角形，边在轴上，，
，，
，，
，
，
∴
∵反比例数经过点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得点的坐标是解题的关键．
18．乙
【解析】
【分析】甲先画出线段，乙随后画出线段．第三步应由甲走，只有一个方向，甲只有向下走到D，第四步应由乙走，乙从D起也只有一个方向沿斜下方走到E，第五步应由甲走，甲从E起可斜向上走到M，乙没有下一步可走即可．
【详解】解：甲先画出线段，乙随后画出线段．
第三步应由甲走，甲从C向右走横线到F，此时C、F、A三点在一线，不符合游戏规则，
甲只有向下走到D，
第四步应由乙走，乙从D向右走横线到B，与任意已画出线段不能有其他公共点，此方向不能走，如果向下走到H，此时H、D、C三点共线此路也不能走，只有沿斜下方走到E，
第五步应由甲走，甲从E起向右横向走到G，此时C、B、G三点共线此路不能走，向上走到B，与已知线段有公共点，此路不能走，斜向上走到M，此时，D、B、M三点共线，不能符合规则，则甲没地方可走.最终的获胜者是 “乙”．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查网格游戏，利用网格线段构造多边形，要满足条件，培养分析问题与解决问题的能力，培养学习数学兴趣．
三、解答题（本大题共10小题，共84分，请在答题卡指定区域内容作答，解答应写出演算步骤）
19．3
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简即可得出答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接开方法解方程即可．
（2）配方法即解方程即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
【点睛】此题考查一元二次方程的解法，有直接开方法，配方法，因式分解法，公式法等，解题关键是根据方程的特点挑选合适的解法．
21．（1）24，0.30，（2）估计该校有300人最喜爱这项运动
【解析】
【分析】（1）由频数除以频率求得抽样调查的总人数，再乘以“羽毛球”所对应的频率即可求得其频数．
（2）总人数乘以频率即可求得最喜爱乒乓球这项运动的学生人数．
【小问1详解】
解：，
，
“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案是：24，0.30，108°；
【小问2详解】
解：（名）
答：估计该校有300人最喜爱这项运动．
【点睛】本题考查统计初步，熟练掌握频数、频率和总体相关计算是解题的关键．
22．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种，再由概率公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：甲同学通过A通道进入校园的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意，画出树状图，如下图：
共8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三个同学经过同一个通道的结果有2种，
∴甲、乙、丙三个同学经过同一个通道进校园的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）BC与⊙O相切，见解析.
【解析】
【分析】（1）作出AD的垂直平分线交AB于O，再以O为圆心，AO长为半径画圆即可；
（2）连结OD，根据OA＝OD，可得∠OAD＝∠ODA，再证明OD∥AC，可得∠C＝∠BDO＝90°，进而得到直线BC与⊙O的位置关系．
【详解】解：（1）如图，⊙O为所求作的圆；
（2）BC与⊙O相切．连结OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∴BC与⊙O相切．
【点睛】本题考查了基本作图和角平分线的定义以及圆的切线的判定，属于基础性题目．
24．米
【解析】
【分析】如图，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据，可求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由题意可知，，米，米，
∵，
∴，
在中，，（米），
∴，
∴（米）
∴（米）．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法和步骤，根据题意正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
25．（1）（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式即可求解；
（2）①根据题意可求点P的纵坐标为，由轴，可得点的纵坐标为，由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求的长，利用三角形面积公式，即可．
【小问1详解】
解：∵直线过点，
∴，即．
小问2详解】
解：①∵在直线上且横坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵轴，
∴点的纵坐标为．
∵点在函数的图象上，
∴点的横坐标为．
∴点的坐标为．
②∵，，
∴，
∵中边上的高，
∴，
∵的面积等于3，
∴，
∴（舍），，
∴点的横坐标为．
【点睛】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键．
26．（1）相似，理由见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角是直角和切线的性质即可得出结论．
（2）根据第一问的结论和即可得出结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
在与中
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得或0（舍弃），
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到了圆周角的性质和相似三角形、切线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
27．（1）（2）①，；②
【解析】
【分析】（1）由点的坐标和勾股定理求出各个点与和的距离，进行判断即可；
（2）①求出直线与坐标轴的交点坐标，，得出，，由勾股定理求出，，由题意得出所求的点为的垂直平分线与坐标轴的交点，分两种情况求解即可；②、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，由切线的性质得出、，则、，由，，的半径为2，由平行线分线段成比例定理得出，，得出，，即可得出结果．
小问1详解】
，，，
，，
，
点不是线段的“似中点”；
，
，，
，
点是线段的“似中点”；
，
，，
，
点不是线段的“似中点”；
故答案为：；
【小问2详解】
①直线，当时，；当时，，
，，
，，
，，
所求的点为的垂直平分线与坐标轴的交点，如图：
∴，
当“似中点”在轴上时，，则为
当“似中点”在轴上时，，
则，为，
为，为；
②如图所示：
、分别为、与的垂直平分线相切的切点，连接、，则、，
则、，
，，的半径为2，，
，，
，，
当时，上存在线段的“似中点”，．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、新定义“似中点”的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义和切线的性质是解决问题的关键．
28．（1）
（2）存在，，
（3）或
【解析】
【分析】（1）把三点坐标代入函数式，列式求得，，的值，即求出解析式；
（2）由等底等高的两个三角形的面积相等，可求点的坐标．
（3）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求的长，可求点坐标，可得解析式，联立方程组可求点坐标；
【小问1详解】
把，，三点代入抛物线解析式
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
∴，
∴，，
∵，，
∴直线解析式为，
∴点，
∵，，
∴直线解析式为，
如图，过点作，交抛物线于，此时与的面积相等，
∵，点坐标，直线解析式为，
∴解析式为:，
联立方程组可得：，
解得：或，
∴点的坐标为，，
【小问3详解】
存在，
由，
则顶点，对称轴为直线，
，
，，
，，
直线解析式为，
点，
，，
，
，
若点在直线的上方时，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，
直线解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：或，
点的坐标为，；
若点在直线的下方时，
由对称性可得：点，
直线解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：或，
点的坐标为，，
综上所述：点的坐标为，或，；
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，三角形的面积公式，一次函数的性质，联立方程组求点的坐标是本题的关键。