2023年江苏省常州市金坛区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省常州市金坛区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为(    )

A. 圆柱
B. 圆锥
C. 四棱柱
D. 四棱锥

4.  下列个袋子中，装有除颜色外完全相同的个小球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是(    )

A. 个红球、个白球 B. 个红球、个白球
C. 个红球、个白球 D. 个红球、个白球

5.  剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在中，弦，相交于点，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：

则以下结论正确的是(    )

A. 抛物线的开口向下
B. 当时，随的增大而增大
C. 方程的根为和
D. 当时，的取值范围是

8.  某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需要天若个人共同完成需要天，选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共9小题，共18.0分）

9.  化简： ______ ．

10.  计算：______．

11.  分解因式：______．

12.  截止年月底，中国铁路营业里程达到公里，位居世界第二将数据用科学记数法表示为        ．

13.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ______填“”“”或“”
 

14.  平面直角坐标系中点关于轴对称点的坐标是        ．

15.  如图，已知直线，，则______．
 

16.  如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、都在这些小正方形的顶点上，那么        ．

17.  如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，当点的位置变化时，长的最大值是        ．

三、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
解方程组和不等式组；
；
．

20.  本小题分
为庆祝中国共青团成立周年，某校团委开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每位学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图：
本次调查的样本容量是        ，项活动所在扇形的圆心角的大小是        ；
补全条形统计图；
若该校有名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

21.  本小题分
在张相同的小纸条上，分别写有语句：函数表达式为；函数表达式为；函数的图象经过点；函数的图象上任意一点到轴、轴的距离相等；函数值随的增大而减小将这张小纸条做成支签，、放在不透明的盒子中搅匀，、、放在不透明的盒子中搅匀．
从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是        ；
先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签求抽到的张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．

22.  本小题分
刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳个，刘芳跳个所用的时间与李婷跳个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求与的值；
点是轴正半轴上一点，若，求的面积．

24.  本小题分
如图，在平行四边形中，，垂足为，平分，交线段于点．

如图，延长到点，使得，连接．
若，则        用含有的代数式表示；
若，求证：；
如图，延长到点，使得，连接若，用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果不需证明．

25.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点，与轴负半轴交于点，与轴交于点，连接，．

填空：        ；
点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴，垂足为，交于点，求线段的最大值；
点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，记线段的中点为若点，，，按逆时针方向排列构成菱形，其中，则把菱形称为点的“菱形”，把菱形边上所有点都称为点的“菱点”已知点．

在图中，用直尺和圆规作出点的“菱形”，并直接写出点的坐标不写作法，保留作图痕迹；
若点是点的“菱点”，求的值；
若一次函数的图象上存在点的“菱点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是．
故选：．
根据乘积是的两个数互为倒数计算即可得解．
本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据单项式乘单项式的计算方法可以解答本题．
本题考查单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
故选：．
俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、袋子中有个红球、个白球，摸到红球的概率是；
B、袋子中有个红球、个白球，摸到红球的概率是；
C、袋子中有个红球、个白球，摸到红球的概率是；
D、袋子中有个红球、个白球，摸到红球的概率是；
，
摸到红球可能性最大的是个红球、个白球；
故选：．
根据概率公式先求出每组红球的概率，再进行比较即可得出答案．
本题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
．
故选：．
由三角形外角的性质求出，由圆周角定理得到．
本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理，三角形外角的性质．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
将表格内三点的坐标代入中求出抛物线的解析式，然后逐个判断即可．
【解答】
解：将，，代入，
得
解得
抛物线的解析式为．
：，抛物线的开口向上，故A错误，不符合题意；
：抛物线的对称轴为直线，且开口向上，时，随的增大而增大，故B错误，不符合题意；
：，当或时，方程的根为和，故C正确，符合题意；
：抛物线的开口向上，与轴的交点坐标为，，当时，的取值范围是或时，故D错误，不符合题意．
故选：．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题关键．  

8.【答案】 

【解析】解：一个人完成需天，
一人一天的工作量为，
个人共同完成需天，
一人一天的工作量为，
每人每天完成的工作量相同，
．
，
是的反比例函数，
选取组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是：．
故选：．
利用已知条件得出与的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．
本题主要考查了函数的图象，掌握已知条件得出与的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：
．
故填．
直接利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么是的立方根．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据合并同类项的法则进行解答即可．
此题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：与互为相反数
与关于原点对称，即位于和之间
位于左侧，
，
故答案为：．
根据正数大于，大于负数即可解答．
本题考查了有理数大小的比较，解决本题的关键是熟记正数大于，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

14.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称，
对称的点的坐标是．
故答案为．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标．【解答】【点评】
本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标，比较简单．
 

15.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
，


又
，
故答案为：．
根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：
，，，
的面积，
，
在中，，
故答案为：．
要求的值，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，然后利用等面积法求出即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，如图：

，，
，
，
四边形是矩形，
，
折叠该菱形，使点落在边上的点处，
，，，
≌，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
的最大值为．
故答案为：．
连接交于点，过点作于点，交于点，过点作交的延长线于点，取的中点，连接证明，求出的最小值，可得结论．
本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题．
 

18.【答案】解：原式
． 

【解析】分别根据数的乘方及开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，得，
故．
把代入，得．
原方程组的解为；
，
解不等式，得解不等式，得．
故原不等式组的解集是． 

【解析】先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可；
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组和解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：本次调查的样本容量是，项活动所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：，；
条形统计图中项活动的人数是人，

人，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为人．
根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
计算条形统计图中项活动的人数，画图即可；
根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽到的张小纸条上的语句对函数的描述相符合的、、、这个，
所以张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，用列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设李婷每分钟跳绳个，则刘芳每分钟跳绳个，
根据题意列方程，得，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
答：李婷每分钟跳绳个． 

【解析】设李婷每分钟跳绳个，则刘芳每分钟跳绳个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
 

23.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
把代入，得，
，；

过点作轴，垂足为，则．
一次函数的图像与轴交于点，
，
，
，，，
，
，
． 

【解析】把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
由得出，从而得出，然后利用求得即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题．
 

24.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：；
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
平分，
，
设，
则，
，
，
，
，
；
解：，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，
∽，
，，
，，
平分，
，
，，
，
，
．
由平行四边形的性质得，再由直角三角形的性质即可得出结论；
证≌，得，，设，则，再证，得，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，，，再证∽，得，，然后证，得，即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：将点代入得：
，解得，
故答案为：；
，
二次函数，
解方程，得，，
，
设直线的函数表达式是，
直线交轴于点．
，
，解得，
直线的函数表达式是，
设点，
则．
．
当时，的最大值是；
如图，设交轴于，

二次函数，令，则，
，
直线的函数表达式是，
，
，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
点的坐标为
将点代入即可求解；
利用二次函数解析式可求得点坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，设出点坐标，则可表示出点坐标，表示出的长，利用二次函数的性质可求得的最大值；
证明∽，根据相似三角形的性质求得的长，即可求得点坐标．
本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：作出点的“菱形”，如图：

，且，，
点的坐标是；
当点在边上时，过点作轴，垂足为，如图：

，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即；
当点在边上时，过点作轴，垂足为，如图：

则，
，
，
，即；
综上所述，的值是或；
设直线与轴交于，与轴交于，过作于，如图：

在中，令得，令得，
，
，
当最大时，与重合，此时，
，
，
，即最大为；
当直线在下方时，如图：

，
，即，
，
，
综上所述，的取值范围是． 

【解析】分别以，，为圆心，为半径作圆，即可确定，的位置，作出点的“菱形”，求出到轴，轴的距离，结合可得点的坐标是；
分两种情况：当点在边上时，过点作轴，垂足为，由，可得是等腰直角三角形，即得；当点在边上时，过点作轴，垂足为，可得，故；设直线与轴交于，与轴交于，过作于，可得，当最大时，与重合，此时，由，可求出最大为；当直线在下方时，有，即可得，从而得到答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，锐角三角函数等知识，解题的关键是画出图形，应用数形结合思想解决问题．