2022年江苏省常州市中考数学试卷（含解析）

2022年江苏省常州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在中，、分别是、的中点．若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 某城市市区人口万人，市区绿地面积万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是(    )

A. 垂线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

7. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 某汽车评测机构对市面上多款新能源汽车的的加速时间和满电续航里程进行了性能评测，评测结果绘制如下，每个点都对应一款新能源汽车的评测数据．已知的加速时间的中位数是，满电续航里程的中位数是，相应的直线将平面分成了、、、四个区域直线不属于任何区域欲将最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，若以上两组数据的中位数均保持不变，则这两个点可能分别落在(    )

A. 区域、 B. 区域、 C. 区域、 D. 区域、

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9. 化简： ______ ．
10. 计算：______．
11. 分解因式：______．
12. 年月日，中国科学院生物多样性委员会发布中国生物物种名录版，共收录物种及种下单元约个．数据用科学记数法表示为______．
13. 如图，数轴上的点、分别表示实数、，则 ______填“”、“”或“”．

14. 如图，在中，是中线的中点．若的面积是，则的面积是______．

15. 如图，将一个边长为的正方形活动框架边框粗细忽略不计扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋 ______断裂填“会”或“不会”，参考数据：．

16. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．

17. 如图，在四边形中，，平分若，，则______．

18. 如图，在中，，，在中，，，用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置点与点重合平移至终止位置点与点重合，且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

21. 为减少传统塑料袋对生态环境的破坏，国家提倡使用可以在自然环境下特定微生物、温度、湿度较快完成降解的环保塑料袋．调查小组就某小区每户家庭周内环保塑料袋的使用情况进行了抽样调查，使用情况为不使用、个、个、个及以上，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分．
    本次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；
    已知该小区有户家庭，调查小组估计：该小区周内使用个及以上环保塑料袋的家庭约有户．调查小组的估计是否合理？请说明理由．
     

22. 在张相同的小纸条上，分别写有语句：函数表达式为；函数表达式为；函数的图像关于原点对称；函数的图像关于轴对称；函数值随自变量增大而增大．将这张小纸条做成支签，、放在不透明的盒子中搅匀，、、放在不透明的盒子中搅匀．
    从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是______；
    先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签．求抽到的张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图像交于点，连接已知点，的面积是．
    求、的值；
    求的面积．

24. 如图，点在射线上，如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示．
    按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为______；
    在的条件下，已知点的位置用表示，连接、求证：．

25. 第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
    八进制数换算成十进制数是______；
    小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值．

26. 在四边形中，是边上的一点．若≌，则点叫做该四边形的“等形点”．
    正方形______“等形点”填“存在”或“不存在”；
    如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”已知，，，连接，求的长；
    在四边形中，若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．

27. 已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：

求二次函数的表达式；
将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是______；
、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．

28. 现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点点与点、不重合，连接、．
    沿、剪下，则是______三角形填“锐角”、“直角”或“钝角”；
    分别取半圆弧上的点、和直径上的点、已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形保留作图痕迹，不要求写作法；
    经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：．
从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以圆柱的侧面展开图的是长方形．
本题考查了几何体的展开图．解题的关键是明确圆柱的侧面展开图是长方形．
 

4.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由城市市区人口万人，市区绿地面积万平方米，
则平均每人拥有绿地．
故选：．
根据题意列出函数关系式即可得出答案．
本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短，
故选：．
根据生活经验结合数学原理解答即可．
本题主要考查了垂线段最短的性质，熟练掌握数学和生活密不可分的关系是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点与点关于轴对称，已知点，
点的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为，
故选：．
关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律，不要混淆．
 

8.【答案】 

【解析】解：最新上市的两款新能源汽车的评测数据对应的点绘制到平面内，
若这两个点分别落在区域、，则的加速时间的中位数将变小，故A不符合题意；
若这两个点分别落在区域、，则两组数据的中位数可能均保持不变，故B符合题意；
若这两个点分别落在区域，，则满电续航里程的中位数将变小，故C不符合题意；
若这两个点分别落在区域，，则的加速时间的中位数将变大，故D不符合题意；
故选：．
根据中位数定义，逐项判断．
本题考查数据的中位数，解题的关键是掌握中位数的概念：一组数据中，正中间的数或中间两个数的平均数是这种数据的中位数
 

9.【答案】 

【解析】解：
．
故填．
直接利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查立方根的概念，如果一个数的立方等于，那么是的立方根．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：令，．
则：，；
；
．
故答案是：．
比较两个正有理数，数大的绝对值反而小．也可以利用特殊值代入法求解．
本题考查两个有理数的大小，特殊值代入法是解填空题不错的选择．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的中点，
是的中线，
，
的面积是，
，
是的中线，
．
故答案为：．
由题意可得是的中线，则有，再由是的中线，则有，即得解．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是明确三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分．
 

15.【答案】不会 

【解析】解：设与相交于点，

四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
橡皮筋不会断裂，
故答案为：不会．
设与相交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，然后在在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，即可解答．
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，
，
，
的半径是，
故答案为：．
连接并延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的半径，即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，如图，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，
，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，如图，由已知，可得，由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，则可得，根据矩形的性质可得，即可得，在中，根据勾股定理，在中，根据勾股定理可得，根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，根据题意作辅助线构造直角三角形应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，的外部被染色的区域是梯形．

在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
同法可证，
，
的外部被染色的区域的面积，
故答案为：．
如图，连接交于点，连接交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是矩形，的外部被染色的区域是梯形求出梯形的上下底以及高，可得结论．
本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
 

19.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】利用实数的运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得出答案．
此题主要考查了整式的运算、实数运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
所以本次调查的样本容量为；
类户数为户，
类户数为户，
补全条形统计图为：

故答案为：；
调查小组的估计合理．
理由如下：
因为户，
所以根据该小区周内使用个及以上环保塑料袋的家庭约有户．
用类户数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算出类和类户数后补全条形统计图；
利用样本估计作图，由于户，则可估计该小区周内使用个及以上环保塑料袋的家庭约有户，从而可判断调查小组的估计合理．
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了样本估计总体．
 

22.【答案】 

【解析】解：从盒子中任意抽出支签，抽到的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中抽到的张小纸条上的语句对函数的描述相符合的、、这个，
所以张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
一次函数为，
，的面积是．
，即，
，
把代入得，，
，
点在反比例函数的图象上，
；

把代入得，，解得，
，
，
． 

【解析】由点在一次函数的图象上，代入求得，由的面积是得出的横坐标为，代入直线关系式即可求出的坐标，从而求出的值；
根据一次函数的解析式求得的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：由题意，得，
，，
，
故答案为：；
证明：如图：

，，
，，，
，
，
≌，
．
根据点的位置定义，即可得出答案；
画出图形，证明≌，即可由全等三角形的性质，得出结论．
本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：

．
故八进制数字换算成十进制是．
故答案为：；
依题意有：，
解得，舍去．
故的值是．
根据已知，从个位数字起，将二进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得结果相加即可得解；
根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可求解．
本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法．
 

26.【答案】不存在 

【解析】解：四边形是正方形，
，
≌，
，
是边上的一点．
正方形不存在“等形点”，
故答案为：不存在；
作于，

边上的点是四边形的“等形点”，
≌，
，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，，
，
，
，
在中，；
如图，边上的点是四边形的“等形点”，

≌，
，，，
，
，，
，
，
，
，
．
根据“等形点”的定义可知≌，则，而是边上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”；
作于，由≌，得，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，再利用勾股定理求出的长即可；
根据“等形点”的定义可得≌，则，，，再由平行线性质得，从而推出，从而解决问题．
本题是新定义题，主要考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质等知识，理解新定义，并能熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
 

27.【答案】答案不唯一   

【解析】解：将，代入得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
如图：

，
将二次函数的图像向右平移个单位得的图象，
新图象的对称轴为直线，
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
，
解得，
符合条件的二次函数的表达式可以是，
故答案为：答案不唯一，；
如图：

点、的横坐标分别是、，
，，
，，
点与点关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
，轴，
，
，
过作于，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即．
用待定系数法可得二次函数的表达式为；
将二次函数的图像向右平移个单位得的图象，新图象的对称轴为直线，根据当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，知，得，即可得到答案；
求出，，，过作于，可得，，故是等腰直角三角形，．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
 

28.【答案】直角 

【解析】解：是直径，直径所对的圆周角是直角，
是直角三角形，
故答案为：直角；

如图，四边形或四边形即为所求．


小明的猜想正确．
理由：如图中，当点靠近点时，设，，

，
，
，
，
，
分别以，为圆心，为半径作弧交于点，，则四边形是边长为的菱形．
如图中，当点靠近点时，同法可得四边形是菱形．

综上所述，小明的猜想正确．
根据直径所对的圆周角是直角，判断即可；
分别以，为圆心，长为半径作弧交半圆于点，，连接，，，，，四边形或四边形即为所求．
小明的猜想正确．如图中，当点靠近点时，设，，作出边长为的菱形，可得结论．如图中，当点靠近点时，同法可得四边形是菱形．延长可得结论．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．