上海市崇明区2024届高三下学期学业质量调研数学试题

这是一份上海市崇明区2024届高三下学期学业质量调研数学试题，共8页。
本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．若集合，或，则 ．
2．不等式的解为 ．
3．已知向量，若，则 ．
4．若复数z满足（为虚数单位），则 ．
5．若等差数列的首项，前5项和，则 ．
6．已知幂函数的图像经过点，则 ．
7．若的二项式展开式中的系数为10，则 ．
8．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，
是母线．若直线与所成角的大小为，则 ．
9．已知函数为奇函数，则 ．
10．某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．
（默认每月天数相同，结果精确到0.001）
11．已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是
．
12．已知实数满足：，则
的最大值是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】
13．若，，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
A部门
B部门
频率
14．某单位有A、B两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为、，方差分别为、，则下列说法正确的是
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
A．，
B．，
C．，
得分
2分
3分
4分
5分
D．，
15．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定
的，使得，则m的最小值为
A．B．C．D．
16．已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是
A．p、q都是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p、q都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
（1）证明：平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且，求点C到平面的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若为在方向上的投影向量，且满足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分）
某疾病预防中心随机调查了340名50岁以上的公民，研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，调查数据如表所示．
（1）是否有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关？
（2）常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的优势，在统计中称为似然比．现从340人中任选一人，A表示“选到的人是吸烟者”，B表示“选到的人患慢性气管炎者”请利用样本数据，估计的值；
（3）现从不患慢性气管炎者的样本中，按分层抽样的方法选出7人，从这7人里再随机选取3人，求这3人中，不吸烟者的人数X的数学期望．
附：，．
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知椭圆，A为的上顶点，P、Q是上不同于点A的两点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若△有一个内角为，求点的坐标；
（3）作，垂足为H．若直线AP与直线AQ的斜率之和为2，是否存在x轴上的点M，
使得为定值？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数存在两个不同的极值点，求证：；
（3）若，，数列满足，．
求证：当时，．
参考答案及评分标准
一、填空题
1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 9；6. 9；
7. 1； 8. ； 9. ； 10. 0.996； 11. ； 12.6.
二、选择题
13. D； 14. C； 15. B； 16. C.
三、解答题
17. 解 （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC中点，所以OP⊥AC，且OP=．
连结OB．因为AB=BC=，，
所以△ABC为等腰直角三角形，故OB⊥AC，OB==2．
因为，所以．分
因为，，
所以PO⊥平面ABC．分
（2）方法一：作CH⊥OM，垂足为H．
因为平面，所以OP⊥CH，
所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．分
由题意，OC==2，CM=，∠ACB=45°．
所以OM=，CH==．
所以点C到平面POM的距离为．分
方法二：设C到平面的距离为h，
由（1）知即为P到平面的距离，且．分
又，在中，，则由余弦定理得，分
因为，即，
故．
即点C到平面POM的距离为． 分
18.解 （1）由题意，得，
又，所以，
由正弦定理，得，
又，所以，分
因为为锐角，所以分
（2）由，得，
由余弦定理得，所以，得①分
由由余弦定理得，得②分
联立①②，解得，故的周长为分
19.解 (1)假设：患慢性气管炎与吸烟无关.
由，而，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关分
（2）分
（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，分
X的可能值为0，1，2，3，其分布是
分
所以分
20.解 （1）由题意，，所以离心率分
由题意，，，所以直线的方程为：，设
显然分
①当时，，
由，得：，
解得（舍去）或分
②当时，，
由，得：，
解得（舍去）或
综上所述，点的坐标是或分
（3）假设存在定点满足题意，
当的斜率存在时，设直线的方程为，，
由得，
由题意，，即①．
，
，
所以，代入①，得：，所以或，即存在直线使得直线AP与直线AQ的斜率之和为分
直线的方程为，直线的方程为
由，得：，即分
所以
所以当时，为定值，分
当直线斜率不存在时，设，，
则，，此时，满足题意．
所以存在定点，使得为定值且定值为．分
21.解 （1）当时，
所以曲线在点处的切线方程为分
（2）由，得：，令，则
原方程可化为：①，则是方程①的两个不同的根
所以，解得分
所以
因为，所以，所以分
（3）由题意，，所以
当时，，所以函数在区间上严格减，
当时，，所以函数在区间上严格增，分
因为，所以，，
以此类推，当时，，分
又，
所以函数在区间上严格减，
当时，，所以，分
所以，即，故分
不吸烟者
吸烟者
总计
不患慢性气管炎者
120
160
280
患慢性气管炎者
15
45
60
总 计
135
205
340