2022-2023学年江苏省泰州市兴化市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省泰州市兴化市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子中，属于分式的是( )
A. 1πB. x+y2C. 11−xD. 35
3.如果反比例函数y=a−2x(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( )
A. a<0B. a>0C. a<2D. a>2
4.下列各式正确的是( )
A. xy=x−1y−1B. xy=2x3y
C. nm=namaa≠0D. nm=n+am+aa≠0
5.下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对边相等B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
6.已知点A−2,y1，B−1,y2，C3,y3都在反比例函数y=k2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是
( )
A. y1二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.分式1ab和a3b2的最简公分母是________．
8.若分式x2−9x−3的值为0，则x=________．
9.菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为_____．
10.函数y=3x与y=2x+4图像的交点坐标为(a,b)，则12a−1b的值为________．
11.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是________.(只填写一个条件，不使用图形以外的字母或线段)．
12.用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________．
13.为迎接“兴化千岛菜花”旅游节，市政府决定对2240公顷的千岛进行一次全面的升级改造，实际每天改造的面积比原计划多100公顷，结果提前7天完成改造任务．若设原计划每天改造面积是x公顷，根据题意可列方程为________．
14.若分式方程3x−2+1=m4−2x有增根，则m的值是________．
15.在矩形纸片ABCD中裁去矩形CEFG就得到如图所示的“L图形”，将该图形沿着过点A的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分．若AD=3，AB=5，DE=BG=1.则过点A的剪痕长度为________．
16.如图，把矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．不妨令AD=m、AB=n，请写出m、n之间的等量关系________．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：
(1)2a−3a+1−a−2a+1；
(2)1−a−2a÷a2−4a2+a．
18.解方程：
(1)3x−2x−2=0；
(2)2x+93x−9=4x−7x−3+2．
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
先将代数式3x−6x−1−x+1x÷x2−1x2−3x化简，并从0≤x≤3中选取合适的整数代入求值．
20.(本小题8分)
如图，▵ABC的顶点坐标分别为A1,0，B4,2，C2,2．
(1)画出▵ABC关于点O的中心对称图形▵A1B1C1；
(2)画出▵ABC绕原点O顺时针旋转90∘的▵A2B2C2，直接写出点C2的坐标为________；
(3)若▵ABC内一点Pa,b绕原点O顺时针旋转90∘的对应点为Q，则Q的坐标为________.(用含a、b的式子表示)
21.(本小题8分)
列方程解应用题：红星中学为了落实贯彻“双减”政策，课后延时服务开设了多个社团，“智多星”社团需要添置一些教学用具，第一次购买该用具花费2000元，因人数增多用具不够，第二次花费2000元购买，但单价比原来上涨25%，结果第二次购买的用具比第一次少50件．求第二次购进教学用具的单价．
22.(本小题8分)
已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
(1)求证：BF=DE；
(2)四边形AECF是平行四边形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
23.(本小题8分)
如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x(x>0)的图象交于A2,m，B5,2两点．
(1)求一次函数及反比例函数的相应表达式；
(2)直接写出当y1>y2的x的取值范围；
(3)连接OA，OB，求▵AOB的面积．
24.(本小题8分)
如图所示，在▵ABC中，AB=AC，分别取AB、AC中点N、M，连接BM、CN，两线交于点O．
(1)求证：OB=OC；
(2)分别取BM、CN的中点Q、P，连接PQ.则△OPQ是等腰三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
25.(本小题8分)
已知反比例函数y1=mx(m>0、x>0)，反比例函数y2=nx(n>m>0、x>0)，点A是反比例函数y1图象上的一点．
(1)如图1，已知点A1,1，直线AB/​/x轴，交反比例函数y2的图象于点B，直线AD/​/y轴，交反比例函数y2的图象于点D，直线CD/​/x轴，直线BC//y轴，两直线交于点C．
①求m．
②求直线OA的函数表达式，判断点C是否始终在直线OA上，并说明理由．
(2)如图2，对于任意点Aa,b，直线AB/​/x轴，交反比例函数y2的图象于点B，直线AC/​/y轴，交y2于点C，直线CD/​/x轴，交y1于点D.试证明ABCD=nm．
26.(本小题8分)
在正方形ABCD的对角线AC上任取一点M，连接DM，过点M作DM的垂线交边AB于点E．
(1)如图1，写出DM与ME 的 数量关系并加以证明；
(2)如图2，连接DE交AC于点G，若AD=4，AE=3，求DG的长；
(3)在(2)的条件下，将ΔMGE沿着ME翻折，得到ΔMG′E，如图3，连接DG′，求ΔDMG′的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是 中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据分式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、1π不是分式，故本选项不符合题意；
B、x+y2不是分式，故本选项不符合题意；
C、11−x是分式，故本选项符合题意；
D、35不是 分式，故本选项不符合题意；
故选：C
本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如AB(其中A,B为整式，且分母B中含有字母)的式子叫做分式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】反比例函数y=kx图象在一、三象限，可得k>0．
【详解】解：∵反比例函数y=a−2x(a是常数)的图象在第一、三象限，
∴a−2>0，
∴a>2．
故选D．
本题运用了反比例函数y=kx图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以(或除以同一个不为零)的数，分式的值不变，即可求解．
【详解】解：A.令y=1，则y−1=0，故 A选项错误，不符合题意；
B.xy≠2x3y，故 B选项错误，不符合题意；
C.nm的分子、分母同时乘以aa≠0，分式的值不变，故 C选项正确，符合题意；
D.当a=−m时，m+a=0，故 D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质，牢记分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以(或除以同一个不为零)的数，分式的值不变，是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可
【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等，菱形的性质有：①菱形的对边平行，
菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】利用反比例函数系数的正负和y随x的增大而变化的关系判断大小即可．
【详解】y=k2+1x中系数k2+1>0，得到x>0或x<0时y随x的增大而减小，得到y3>0>y1>y2，得y2故选D．
本题考查反比例函数得图形与性质中的增减性注意区分正负，熟悉反比例函数得图形与性质及整式中平方的非负性是解题的关键．
7.【答案】3ab2
【解析】【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
分式1ab和a3b2的最简公分母是3ab2，
故答案为：3ab2．
本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母为：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积．
8.【答案】−3
【解析】【分析】根据x2−9=0,x−3≠0，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，x2−9x−3=0，
∴x2−9=0，x−3≠0，
解得x=−3，
故答案为：−3．
本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件．解题的关键在于对知识的熟练掌握并灵活运用．
9.【答案】5
【解析】【分析】根据菱形对角线垂直平分，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为 32+42=5．
故答案为5．
此题主要考查菱形的边长求解，解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用．
10.【答案】23
【解析】【分析】把a,b代入y=3x与y=2x+4，可得ab=3，b−2a=4，利用整体代入的思想即可解决问题；
【详解】解：函数y=3x与y=2x+4图象的交点坐标为(a,b)，
∴ab=3，b−2a=4，
∴12a−1b=b−2a2ab=42×3=23，
故答案为23．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用整体代入的思想解决问题．
11.【答案】AB/​/CD
【解析】【分析】根据平行四边形的判定可进行求解．
【详解】解：∵AB=CD，AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为AB//CD(答案不唯一)．
本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
12.【答案】两直线平行
【解析】【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行．
故答案为：两直线平行．
本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
13.【答案】2240x−2240x+100=7
【解析】【 分析】根据题意列分式方程即可．
【详解】解：由题意知，2240x−2240x+100=7，
故答案为：2240x−2240x+100=7．
本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．
14.【答案】−6
【解析】【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到x=2，然后将x的值代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原式=3x−2+1=−m2x−2
分式方程去分母得：6+2x−2=−m，
由分式方程有增根，∴x−2=0，即x=2，
∴m=−6，
故答案为：−6．
本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
15.【答案】 10
【解析】【分析】求出剩余部分的面积，沿着AH把它剪成了面积相等的两部分，求出HG=2，根据勾股定理求出AH．
【详解】连接AH，作HI⊥AB，
SABCD−SEFGC=15−8=7，
沿着AH把它剪成了面积相等的两部分，
设HG=x，
SABGH=12HG+AB×BG=3.5，
∴HG=2，
∴AI=AB−IB=5−2=3，
在Rt▵AIH，根据勾股定理可得
∴AH= 32+12= 10，
故答案为： 10
此题考查了矩形的性质、勾股定理，解题的关键是熟悉矩形的性质和勾股定理．
16.【答案】n2=2m2
【解析】【分析】根据矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处得到DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=CB，∠EOG=∠FOG=90∘，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，即可得到∠GEC=90∘，即可得到▵GEO∽▵∠ECO，从而得到EO2=OG⋅OC，即可得到答案．
【详解】解：∵矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，
∴DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=CB，∠EOG=∠FOG=90∘，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠GEC=90∘，
∴∠CEO+∠GEO=∠CEO+∠OCE=90∘，
∴∠GEO=∠OCE，
∴▵GEO∽▵∠ECO，
∴EO2=GO⋅OC，
∵AD=m、AB=n，
∴DG=OG=AG=m2，AE=OE=BE=n2，OC=CB=m，
∴n2=2m2，
故答案为：n2=2m2
本题考查矩形中折叠问题及三角形相似的判定与性质，解题的关键是根据这得得到相似的条件及线段的长度．
17.【答案】【小问1详解】
解：2a−3a+1−a−2a+1
=2a−3−a+2a+1
=a−1a+1；
【小问2详解】
解：1−a−2a÷a2−4a2+a
=1−a−2a⋅aa+1a+2a−2
=1a+2．

【解析】【分析】(1)利用分母不变，把分子相加减即可；
(2)先把除法化为乘法，计算分式的乘法，再计算分式的减法即可．
本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
18.【答案】【小问1详解】
解：方程两边同时乘以xx−2得
3x−2−2x=0，
解得x=6，
当x=6时，xx−2≠0，
∴x=6是原方程的解；
【小问2详解】
方程两边同时乘以3x−3得
2x+9=34x−7+6x−3，
解方程得：x=3，
∵当x=3时，3x−3=0，
∴原方程无解．

【解析】【分析】(1)方程两边同时乘以xx−2，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
(2)方程两边同时乘以3x−3，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
19.【答案】解：3x−6x−1−x+1x÷x2−1x2−3x
=3x−2x−1−x+1x⋅xx−3x+1x−1
=2x−3x−1，
由题意得：x≠1,0,3，
当x=2时，原式=1．

【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件以及x的取值范围确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，以及根据分式有意义的条件以及x的取值范围确定x的值，是解题的关键．
20.【答案】【小问1详解】
解：所作图如下所示：
【小问2详解】
解：所作▵A2B2C2如图所示，则点C22,0；
【小问3详解】
解：由图可知：Qb,−a；
故答案为Qb,−a．

【解析】【分析】(1)根据中心对称图形的定义可进行求解；
(2)根据旋转的性质可进行作图，然后由图可知点C2的坐标；
(3)根据旋转的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形的旋转是解题的关键．
21.【答案】解：设第一次教学用具单价为x元，第二次教学用具单价1+25%x元，
根据题意得：
2000x−20001+25%x=50，
解得：x=8，经检验，x=8是原方程的解
∵第二次购进数学用具的单价：1+25%x=10元
∴第二次购进教学用具的单价为10元．

【解析】【分析】设第一次教学用具单价为x元，得到第二次教学用具单价1+25%x元，根据第二次购买的用具比第一次少50件建议方程，解方程即可得第一次数学用具单价，进而求得答案．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．
22.【答案】【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=CB，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90∘，
∴▵AED≌▵CFBAAS，
∴BF=DE；
【小问2详解】
解：是，理由如下，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE//FC，
∵▵AED≌▵CFB，
∴AE=FC，
∴四边形AECF是平行四边形．

【解析】【分析】(1)利用AAS证明▵AED≌▵CFB，即可证明BF=DE；
(2)证明AE//FC，由▵AED≌▵CFB，推出AE=FC，即可证明四边形AECF是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
23.【答案】【小问1详解】
解：∵反比例函数y2=k2x(x>0)的图象经过点B5,2，
∴k2=2×5=10，
∴反比例函数的解析式为y2=10x；
当x=2时，y=5，
∴A2,5，
∵一次函数y1=k1x+b的图象经过点A2,5，点B5,2，
∴2k1+b=55k1+b=2，解得k1=−1b=7,
∴一次函数的解析式为y1=−x+7；
【小问2详解】
解：∵A2,5，B5,2，且x>0，
∴由函数图象可知，y1>y2时，x的取值范围是2【小问3详解】
解：设一次函数y1=−x+7的图象交x轴于点C，
令y1=0，则x=7，
∴OC=7，
∴S▵AOB=S▵AOC−S▵BOC=12×7×5−12×7×2=212．

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
(3)根据S▵AOB=S▵AOC−S▵BOC即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系；求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
24.【答案】【小问1详解】
证明：∵AB=AC，点N、M为AB、AC的中点，
∴AM=AN，∠ABC=∠ACB，
在△ACN和▵ABM中，
AC=AB∠CAN=∠BAMAM=AN,
∴▵ACN≌▵ABMSAS，
∴∠ACN=∠ABM，
∴∠ACB−∠ACN=∠ABC−∠ABM，即∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC；
【小问2详解】
解：连接MN，NQ，延长NQ交BC于点H，如图所示：
∵点N、M为AB、AC的中点，
∴MN//BC，
∴∠NMQ=∠HBQ，
∵Q为MB的中点，
∴MQ=BQ，
在▵MNQ和▵BHQ中，
∠NMQ=∠HBQ∠HQB=∠NQMMQ=BQ,
∴▵MNQ≌▵BHQAAS，
∴NQ=HQ，
∵P为CN的中点，
∴PQ//HC，
∴∠OPQ=∠OCB，∠OQP=∠OBC，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠OPQ=∠OQP，
∴△OPQ是等腰三角形．

【解析】【分析】(1)由∵AB=AC，点N、M为AB、AC的中点，得AM=AN，∠ABC=∠ACB，通过证明▵ACN≌▵ABMSAS，得到∠ACN=∠ABM，从而得到∠ACB−∠ACN=∠ABC−∠ABM，即∠OBC=∠OCB，即可解答；
(2)连接MN，NQ，延长NQ交BC于点H，通过证明▵MNQ≌▵BHQAAS，得到NQ=HQ，根据中位线的性质得到PQ//HC，再结合(1)的结论即可得到答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】【小问1详解】
①解：将A1,1代入y1=mx(m>0、x>0)得，1=m1，解得m=1，
∴m=1；
②解：设直线OA的函数表达式为yOA=kx，
将A1,1代入得，k=1，
∴直线OA的函数表达式为yOA=x，
令AB=t，则B1+t,1，
将B1+t,1代入y2=nx(n>m>0、x>0)，得k=1+t，
∴y2=1+tx，
当x=1，y=1+t，
∴D1,1+t，
∴C1+t,1+t，
将x=1+t代入yOA=x，得y=1+t，
∴C1+t,1+t始终在直线OA上；
∴直线OA的函数表达式为yOA=x，C1+t,1+t始终在直线OA上；
【小问2详解】
解：由Aa,b在y1上，得Aa,ma，
根据题意得：Banm,ma，Ca,na，Damn,na，
∴AB=anm−a=an−mm，CD=a−amn=an−mn，
∴ABCD=an−mman−mn=nm，
∴ABCD=nm．

【解析】【分析】(1)①将A1,1代入y1=mx(m>0、x>0)，可求m的值；②设直线OA的函数表达式为yOA=kx，将A1,1代入求k值，进而可得直线OA的函数表达式，令AB=t，则B1+t,1，y2=1+tx，D1,1+t，C1+t,1+t，然后将点C代入直线解析式求解判断即可；
(2)由Aa,b在y1上，得Aa,ma，则Banm,ma，Ca,na，Damn,na，分别表示AB,CD，然后作商求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于确定各点坐标．
26.【答案】【小问1详解】
解：DM=ME．
理由如下：
过M点分别作MH⊥AD，MP⊥AB，垂足分别为点H、点P．
则∠PMH=90∘，∠MPE=∠MHD=90∘，
∵∠DME=90∘，
∴∠DMH=∠EMP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∴HM=MP，
在ΔMDH和ΔMEP中
∠MPE=∠MHDHM=MP∠DMH=∠EMP,
∴ΔMDH≅ΔMEP(ASA)，
∴DM=ME．
【小问2详解】
过点G分别作GF⊥AD，GN⊥AB，垂足分别为点F、点N．
由(1)知，AC平分∠BAD，
∴GF=GN．
∴SΔADG:SΔAGE=12AD⋅GF:12AE⋅GN=AD:AE=4:3，SΔADG:SΔAGE=DG:GE=4:3
在RtΔADE中，AD=4，AE=3，
∴DE= AE2+AD2=5，
∴DG=47DE=207；
【小问3详解】
连接G、G′，如图，
根据翻折得ME⊥GG′，所以GG′//MD，
∴SΔDMG′=SΔDMG，
∵DG:GE=4:3，
∴SΔDMG′=47SΔDME，
中，DM=ME，DE=5，
∴DM2+ME2=DE2=25，
解得DM=ME=52 2，
∴SΔDMG=12DM⋅ME=12×52 2×52 2=254，
∴SΔDMG′=47SΔDME=47×254=257．

【解析】【分析】(1)过M点分别作MH⊥AD，MP⊥AB，垂足分别为点H、点P.证AC平分∠BAD，得HM=MP，再证ΔMDH≅ΔMEP(ASA)即可；
(2)过点G点分别作GF⊥AD，GN⊥AB，垂足分别为点F、点N.由角平分线的性质定理可得GF=GN.根据SΔADG:SΔAGE=12AD⋅GF:12AE⋅GN=AD:AE=4:3得到SΔADG:SΔAGE=DG:GE=4:3，求得DG=47DE=207；
(3)连接G、G′，根据翻折得ME⊥GG′，所以GG′//MD，可得SΔDMG′=SΔDMG，SΔDMG′=47SΔDME=47×254=257．
本题是四边形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、正方形的性质的综合应用及勾股定理，解决问题的关键是做出适当的辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题