安徽省蚌埠市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则下列选项中正确的是（ ）
A. ⫋B. ⫌C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，即可得出两集合之间的关系.
【详解】由题意， 在中，，，
∴，∴⫌，
故选：B.
2. 已知实数、满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可得出、、的大小关系.
【详解】因为，由不等式的基本性质可得，，故.
故选：C.
3. 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，则 “”是“函数在开区间内至少有一个零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，
由零点存在定理，时，函数在开区间内至少有一个零点，
充分性成立；
而函数在开区间内至少有一个零点时，不一定成立，
如函数，在开区间内有零点，但，
必要性不成立.
则“”是“函数在开区间内至少有一个零点”的充分不必要条件.
故选：A
4. 为了解高一新生的体质健康状况，某校将组织高一学生进行体质健康抽测．已知该校高一年级共有800名学生，将他们依次编号，拟利用随机数表随机抽取80名同学参加体质健康测试，随机数表的一部分如下：
在随机数表中从第2行第4列开始，横向依次读取三个数字，则被抽中的第5个编号是（ ）
A. 036B. 341C. 328D. 693
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机数表的用法，依次列出有关数据即可.
【详解】由题意，从第2行，第4列开始，横向依次读取的三个数字是：492，434，935（无效，舍去），820（无效，舍去），036，234，869（无效，舍去），693，所以抽中的第5个编号是：693.
故选：D
5. 已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
6. 如果，是互斥事件，下列选项正确的是（ ）
A. 事件与不互斥B.
C. 与互斥D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件的有关概念逐一判断即可.
【详解】对A：若，对立，则与也对立，所以与可以互斥，故A错误；
对B：因为，互斥，所以为不可能事件，故为必然事件，所以；
又，所以，故B正确；
对C：根据互斥事件的概念，，互斥，与一定不互斥，故C错误；
对D：只有，对立时，才有，故D错误.
故选：B
7. 函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域.
【详解】函数的定义域为，由，有，
即函数的定义域为，
令，解得，函数的定义域为.
故选：C
8. 若函数存在零点，则实数的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数，将零点问题转化为两个函数值相等问题，分别求出函数和的取值范围，即可得出实数的值.
【详解】由题意，在中，，
当时，，
即，
在中，，
，
当且仅当即时等号成立，
在中，函数开口向下，，
当时等号成立，
∴时，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，基本不等式求函数的取值范围，考查二次函数的范围，具有较强的综合性.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 是偶函数D. 是奇函数
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数和偶函数的定义，判断各选项中的结论.
【详解】函数，函数定义域都是R，
，，
设，，
即，不是偶函数，A选项错误；
设，，
是奇函数，B选项正确；
设，，
是偶函数，C选项正确；
设，，
是偶函数，D选项错误.
故选：BC
10. 在某次调查中，利用分层抽样随机选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. 女生得分的平均数小于75B. 女生得分的方差大于6
C. 女生得分的分位数是71.5D. 25名学生得分的方差为11.2
【答案】ACD
【解析】
【分析】A，B项，求出女生平均数和方差即可得出结论；C项，将女生得分从小到大排列，即可得出女生得分的分位数；D项，求出25名学生的平均数，即可得出25名学生得分的方差.
【详解】由题意，
分层抽样随机选取了25名学生，15名男生，10名女生，
男生平均数为75，方差为6，
10名女生的得分分别为，
A项，女生平均数：
，故A正确；
B项，女生方差：
，
故B错误；
C项，将女生得分从小到大排列：，
女生得分分位数是：，C正确；
D项，25名学生的平均数：，
25名学生得分的方差为：，D正确；
故选：ACD.
11. 下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用指数式和对数式的运算法则，结合指数函数和对数函数的单调性，比较大小.
【详解】函数在R上单调递减，则，
函数在上单调递增，则，
所以，A选项正确；
，，，所以，B选项正确；
函数在上单调递减，，
函数在R上单调递减，，所以，C选项错误；
，，
，D选项正确.
故选：ABD
12. 对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
【答案】AC
【解析】
【分析】分别将各选项中式子或者集合变形，判断是否能变形成与集合M中元素一样的特征.
【详解】对于A，，则恒有，
即，则，故A选项正确；
对于B，，若，则存在使得，
即，又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不一定能被4整除，
所以不能得到，故B选项错误；
如果，可设，
对于C，，
可得，故C选项正确；
对于D，，
不一定成立，不能得到，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题“，有”的否定为______．
【答案】，；
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题可得.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题，
命题“，有”的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 写出一个具有性质①②③的幂函数__________．
①是奇函数；②在上单调递增；③．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数.
【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③.
故答案为：（答案不唯一）
15. 计算__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
16. 已知实数且，则的最大值为__________，最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值.
【详解】已知实数且，
则，
，
当或时等号成立，即的最大值为1；
，当，或时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值.
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知集合．
（1）求和；
（2）定义且，求和．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）化简集合即可求出和；
（2）化简集合即可求出和.
【小问1详解】
由题意，
在中，
，
则，．
【小问2详解】
由题意及（1）得，，
∵且，
∴，．
18. 某商店开业促销，推出“掷骰子赢礼金券”活动，规则为：将两枚质地均匀的骰子同时投掷一次，根据点数情形赢得一等奖、二等奖、三等奖．记事件为“两枚骰子点数相同”，事件为“两枚骰子点数相连”，事件为“两枚骰子点数不同但都是奇数或都是偶数”．
（1）以事件、、发生的概率大小为依据（概率最小为一等奖，最大为三等奖），求二等奖所对应的事件；
（2）若除上述三个事件之外的点数情形均没有奖，每位参与活动的顾客有两次投掷机会，求该活动中每位顾客中奖的概率.
【答案】（1）二等奖为事件
（2）
【解析】
【分析】（1）设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，列举出所有可能的结果，利用古典概型的概率公式计算出、、的值，比较这三个概率值的大小，即可得出结论；
（2）计算出投掷一次中奖的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：设两枚骰子的点数分别为、，用表示投掷结果，则所有可能的结果有种，
即、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、、
、、，
，则，
，则，
，则
，
，所以二等奖为事件．
【小问2详解】
解：投掷一次中奖的概率为，
该活动每位顾客中奖的概率为．
19. 已知函数．
（1）设，判断并证明函数的奇偶性；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过求出的表达式即可得出函数的奇偶性；
（2）求出的值进而化简不等式，即可求出不等式的解集.
【小问1详解】
由题意，函数为奇函数，
证明如下：
在中，
，
的定义域为，
，
∴为奇函数．
【小问2详解】
由题意及（1）得，
在中，
，
，
所以，又，所以，
由，解得：，
∴原不等式的解集为．
20. 自2022年动工至今，我市的“靓淮河”工程已初具规模．该工程以“一川清､两滩靓､三脉通､十景红”为总体布局，以生态修复与保护为核心理念，最终将促进城市防洪､交通､航运､生态､观光､商业等多种业态协同融合发展．为调查我市居民对“靓淮河”工程的满意程度，随机抽取了200位市民，现拟统计参与调查的市民年龄层次，将这200人按年龄（岁）分为5组，依次为，并得到频率分布直方图如下．

（1）求实数的值；
（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）估计这200人年龄的中位数（精确到小数点后1位）．
【答案】（1）
（2）41.5岁 （3）42.1岁
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1，可求的值；
（2）根据频率分布直方图，可直接估算平均数；
（3）直接求频率在的数据就可估计中位数.
【小问1详解】
由题意：，解得．
【小问2详解】
由题意：，
估计这200人年龄的样本平均数为41.5岁．
【小问3详解】
由图可知，年龄在的频率为0.25，在的频率为0.35，
，
估计这200人年龄的样本中位数为42.1岁．
21. 为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（）值的2倍．（说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费）
（1）写出运输总费用元与汽车速度的函数关系，并求汽车的速度为每小时50千米，运输的总费用．
（2）为使运输总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围．
（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
【答案】（1）1244元；（2）汽车行驶速度不低于时，不高于；（3）汽车应以每小时60千米的速度行驶．
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再将代入计算即可；
（2）依题意得到分式不等式，再根据去掉分母，转化为一元二次不等式，解得即可；
（3）利用基本不等式即可求出的最小值，求出符合条件的即可．
【详解】（1）依题意可得
当汽车的速度为每小时50千米时，运输的总费用为：（元）．
（2）设汽车行驶速度为，
由题意可得：，
化简得.
解得，
故为使运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度不低于时，不高于．
（3）因为，所以，当且仅当即时取“”，
即当速度为60千米小时时，运输总费用最小．
22. 已知函数，.
（1）若，求函数的值域；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分析函数的单调性，即可求得函数的值域；
（2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出函数的最小值，根据题意可得出，综合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，所以，
所以，函数上单调递减，在上单调递增，
当时，，
当时，，
故当时，函数的值域为.
【小问2详解】
解：①当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递增，，
当时，则有恒成立；
②当时，，则，对称轴为，
此时在上单调递减，，
当时，则恒成立；
③当时，，
此时在上单调递减，在上单调递增，，
由，解得或．
综上可知，实数的取值范围是．7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9243
4935
8200
3623
4869
6938
7481
2976
3413
2841
4241
2424
1985
9313
2322