中考数学复习压轴题题组练(四)含答案

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(1)【观察猜想】在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为AM＝CN；
(2)【实践发现】如图②，当点M，N在△ABC内且C，M，N三点共线时，求证：CM－AM＝eq \r(2)DM；
(3)【解决问题】若△ABC中，AB＝eq \r(5)，在△DMN旋转过程中，当AM＝eq \r(3)且C，M，N三点共线时，直接写出DM的长．
(2)证明：连接AD，易证△AMD≌△CND(SAS)，
∴∠MAD＝∠NCD，AM＝CN，∴CM＝CN＋MN＝AM＋MN，∴CM－AM＝CM－CN＝MN，
∵△DMN是等腰直角三角形，∴MN＝eq \r(2)DM＝eq \r(2)DN，∴CM－AM＝eq \r(2)DM.
(3)解：Ⅰ)如答图①，易证△ADM≌△CDN，∴AM＝CN＝eq \r(3)，∠DAM＝∠DCN，
∴∠DAM＋∠MAC＋∠ACD＝∠DCN＋∠MAC＋∠ACD＝90°，∴△AMC是直角三角形，
∴CM＝eq \r(AC2－AM2)＝eq \r(（\r(5)）2－（\r(3)）2)＝eq \r(2)，∴MN＝CN－CM＝eq \r(3)－eq \r(2)，
在Rt△DMN中，MN＝eq \r(2)DM，∴DM＝eq \f(\r(2)MN,2)＝eq \f(\r(2)（\r(3)－\r(2)）,2)＝eq \f(\r(6)－2,2)；
Ⅱ)如答图②，易证△ADM≌△CDN(SAS)，∴∠AMD＝∠N＝45°，
∴∠AMD＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即△ACM是直角三角形，
在Rt△ACM中，AB＝AC＝eq \r(5)，AM＝CN＝eq \r(3)，
∴CM＝eq \r(AC2－AM2)＝eq \r(（\r(5)）2－（\r(3)）2)＝eq \r(2)，∴MN＝CM＋CN＝eq \r(2)＋eq \r(3)，
∵MN＝eq \r(2)DM，∴DM＝eq \f(\r(2)MN,2)＝eq \f(\r(2)（\r(2)＋\r(3)）,2)＝eq \f(2＋\r(6),2).
综上所述，DM的长为eq \f(\r(6)－2,2)或eq \f(2＋\r(6),2).
24.(13分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B.
(1)如图，若A(0，eq \r(3))，抛物线的对称轴为x＝3.求抛物线的解析式，并直接写出 y≥eq \r(3) 时x的取值范围；
(2)在第(1)题的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当△PBC为等边三角形时，求点P，C的坐标；
(3)若抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，F(1，－1)，且m＜n，求正整数m，n的值．
解：(1)∵A(0，eq \r(3))，抛物线的对称轴为x＝3.∴c＝eq \r(3)，－eq \f(b,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝3，
解得b＝3，∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋3x＋eq \r(3)，
当y≥eq \r(3) 时，x的取值范围是0≤x≤6.
(2)连接AB，在对称轴上截取BD＝AB，由已知可得
OA＝eq \r(3)，OB＝3，tan∠OAB＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，
∴∠OAB＝60°，∴∠PAB＝180°－∠OAB＝120°，∵△BCP是等边三角形，∴∠BCP＝60°，
∴∠PAB＋∠BCP＝180°，∴A，B，C，P四点共圆，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，
∵BD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴点D在AC上，BD＝AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝2eq \r(3)，
∴D(3，2eq \r(3))，
设AD的解析式为y＝kx＋b，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k＋b＝2\r(3)，,b＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(\r(3),3)，,b＝\r(3)，))∴AC的解析式为y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)，
由eq \f(\r(3),3)x＋eq \r(3)＝－eq \f(1,2)x2＋3x＋eq \r(3)，得x1＝0，x2＝－eq \f(2\r(3),3)＋6，
当x＝－eq \f(2\r(3),3)＋6时，y＝3eq \r(3)－eq \f(2,3)，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)＋6，3\r(3)－\f(2,3)))，
设P(0，y)，则y2＋32＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)\r(3)＋6))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)－\f(2,3)－y))eq \s\up12(2)，解得y＝3eq \r(3)－eq \f(4,3)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3\r(3)－\f(4,3)))；
当点C与点A重合时，∵∠OAB＝60°，∴点P与点A关于x轴对称，符合题意，此时，P(0，－eq \r(3))，C(0，eq \r(3))；
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，3\r(3)－\f(4,3)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)\r(3)＋6，3\r(3)－\f(2,3)))或P(0，－eq \r(3))，C(0，eq \r(3))．
(3)∵抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点D(m，2)，E(n，2)，F(1，－1)，
∴D，E关于对称轴对称，－eq \f(1,2)＋b＋c＝－1，∴b＝eq \f(m＋n,2)，c＝－b－eq \f(1,2)，
∴抛物线解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c＝－eq \f(1,2)x2＋bx－b－eq \f(1,2)，
∵点D(m，2)，E(n，2)在抛物线上，∴m，n是方程－eq \f(1,2)x2＋bx－b－eq \f(5,2)＝0的解，
∴m＋n＝2b，mn＝2b＋5.∴mn＝m＋n＋5，即n＝eq \f(m＋5,m－1)，
又∵n>m>1，∴eq \f(m＋5,m－1)>m，即m2－2m－5<0，解得1又∵m为正整数，∴m＝2或3，代入n＝eq \f(m＋5,m－1)，得n＝7或4.∴m＝2，n＝7或m＝3，n＝4.