江苏省仪征中学2023届高三下学期3月学情测试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省仪征中学2023届高三下学期3月学情测试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则集合中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
2．在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是( )
A.iB.C.1D.
3．设，则“”是“直线和直线平行”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A.192里B.96里C.48里D.24里
5．已知的展开式中第二项与第三项的系数之比为，则的展开式中常数项为( )
A.-24B.24C.-48D.48
6．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.B.
C.对任意正数t，D.对任意正数t，
7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则( )
A.
B.该组数据的均值一定为90
C.该组数据的众数一定为84和96
D.若要使该总体的标准差最小，则
10．如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，，记四棱锥的外接球为球O，平面与平面的交线为l，的中点为E，则( )
A.B.
C.平面平面D.l被球O截得的弦长为1
11．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为( )
A.B.πC.D.
12．在数列中，，，则以下结论正确的为( )
A.数列为等差数列
B.
C.当取最大值时，n的值为51
D.当数列的前n项和取得最大值时，n的值为49或51
三、填空题
13．若，，则的取值范围为________.
14．已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有种可能，在这种可能中，电路从P到Q接通的情况有________种.
15．若存在实数t，对任意的，不等式成立，则整数s的最大值为________.(，)
四、双空题
16．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点G为的重心，若，x，y，，则__________；__________.
五、解答题
17．记，为数列的前n项和，已知，.
（1）求，并证明是等差数列；
（2）求.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高为.
（1）若，求的周长；
（2）求的最大值.
19．如图，在四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面ACD；
（2）设，，点F在BD上，当的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
20．某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.随后若第n（）次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.
（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
21．已知椭圆的上顶点为M､右顶点为N.(点O为坐标原点)的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.
22．已知函数，，其中k为实数.
（1）求的极值；
（2）若有4个零点，求k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为结合，，
根据集合交集的运算，可得，
所以集合中元素的个数为3个.
故选：C.
2．答案：D
解析：复数，对应的点分别是，，则，，
，其虚部为.
故选：D.
3．答案：C
解析：当时，两条直线的方程分别是和，此时两条直线平行成立，
反之，当两条直线平行时，有但即或，
时，两条直线都为，重合，舍去，
，
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B.
5．答案：B
解析：展开式第项，系数，
，解得.
展开式第m项，
令即，故常数项为.
故选：B.
6．答案：C
解析：A选项：、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，所以，故A错误；
B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，所以，故B错误；
CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：
对任意正数t，，，故C正确，D错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：由函数，
令，，解得，，且，
即函数的单调递增区间为，，且，
要使得在区间上单调递增，
则满足，，解得，，其中，
又由，解得，因为，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：A.
8．答案：B
解析：先比较a与b大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较e与大小，，，，，
比较b与c大小，先比较与大小，
比较与大小，，，
，即，，
故选：B.
9．答案：ABD
解析：因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A，因为，平面，平面，
所以平面，
又因平面与平面的交线为l，
所以，故A正确；
对于B，连接，，
在等腰梯形中，因为，，的中点为E，所以四边形，都是菱形，
所以，，所以，
因为底面，面，
所以，
又，所以平面，
又因平面，所以，故B正确；
对于C，如图以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
则，，，，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，可取，
同理可取，
因为，所以与不垂直，
所以平面与平面不垂直，故C错误；
对于D，由B选项可知，，则点E即为四边形外接圆的圆心，
故四棱锥的外接球的球心O在过点E且垂直于面的直线上，
设外接球的半径为R，则，则，
所以，
设与l所成的角为，点O到直线l的距离为d，
，，，
因为，直线l的方向向量可取，，
则，所以，
所以，
所以l被球O截得的弦长为，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故函数，
对，，即，，
故为偶函数，所以，，
又，所以，
故，
，所以，，
，所以，，
可得和均为的奇数倍，故的可能取值为，.
故选：AC.
12．答案：ACD
解析：对于A，由，得，
两式作差得，即，所以数列为等差数列，故A正确；
对于B，令，知，故B错误；
对于C，由等差数列的性质知，即，又，
可得公差，所以，知数列的前51项为正，从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，故C正确；
对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又，
知，，，所以数列前49项和最大，
又，所以数列前51项和最大，当时，，
所以当或51时，的前n项和取得最大值，D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题意，设，
则，解得，，
因为，，
可得，，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：16
解析：若电路从P到Q接通，共有三种情况：
（1）若1闭合，而4不闭合时，可得分为：
①若1、2闭合，而4不闭合，则3、5可以闭合也可以不闭合，共有种情况；
②若1、3、5闭合，而4不闭合，则2可以闭合也可以不闭合，有2种情况，
但①与②中都包含1、2、3、5都闭合，而4不闭合的情况，所以共有种情况；
（2）若4闭合，而1不闭合时，可分为：
③若4、5闭合，而1不闭合，则2、3可以闭合也可以不闭合，有种情况；
④若4、3、2闭合，而1不闭合，则5可以闭合也可以不闭合，有2种情况，
但③与④中，都包含4、2、3、5都闭合，而1不闭合的情况，所以共有种情况；
（3）若1、4都闭合，共有种情况，而其中电路不通有2、3、5都不闭合与2、5都不闭合2种情况，则此时电路接通的情况有种情况；
所以电路接通的情况有种情况.
故答案为：16.
15．答案：2
解析：令，，
，，
令，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，分别作出，大致图象如下：
联立，即，
设，，令，即，
令，知在上单调递减，
，，
，整数s的最大值为2.
故答案为：2.
16．答案：1；
解析：取的中点D，
，
又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为，，，，，
.
故答案为：1；.
17．答案：（1），证明见解析
（2）
解析：（1）已知，，
当时，，；当时，，，所以.
因为①，所以②.
②-①得，，整理得，，
所以（常数），，
所以是首项为6，公差为4的等差数列.
（2）由（1）知，，，.
当n为偶数时，；
当n为奇数时，.
综上所述，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，可得，
因为，所以.由余弦定理得，
因此，即.
故的周长为.
（2）由（1）及正弦定理可得，
，（其中为锐角，且），
由题意可知，因此，当时，取得最大值.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中，，E为AC的中点，
.
在与中，
，，，
，，
又E为AC的中点，，
又，，平面，平面BED，
又平面ACD，
平面平面.
（2）由（1）知是等腰三角形，又，
为等边三角形，，，
在等腰中，，又，，
以E为原点，EA，EB，ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，连接EF，
则，，，，
，，
设平面ABD的法向量为，
则令，得，
易知的面积最小时，，
在中，由知，
，，
，，
，易得，
设CF与平面ABD所成的角为，
则，
与平面ABD所成的角的正弦值为.
20．答案：（1）分布列见解析，
（2）7次
解析：（1）据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.
当时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则，
当时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则，
当时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”，
则，
当时，前3次亮灯的颜色为“红红红”，则，
所以X的分布列为：
.
（2）记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为，由题设，，
则因为，
则，所以是首项为，公比为的等比数列.
则，
所以，
由，得，所以n为奇数.
由，得
因为n为奇数，则，即，则.
当时，，9，11，13，15，17，19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.
21．答案：（1）
（2）存在，方程为
解析：（1）由题意知，，由，得.
设直线与椭圆C交于点，，则.
把代入椭圆方程，得，
故，即.
由①②，解得或(舍去)，所以椭圆C的标准方程为.
（2）假设存在这样的圆O，设.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为.
由，得.
设，，则，.
故③.
由，得④.
由③④，得，当与k无关时，，，
即圆O的半径为.
当直线AB的斜率不存在时，若直线AB的方程为，
将其代入椭圆C的方程，得，，
此时，
若直线AB的方程为，同理可得.
综上，存在满足题意的圆O，其方程为.
22．答案：（1），无极小值.
（2）
解析：（1）因为，，
所以，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，即，无极小值.
（2）由即，可得，
令，则，
设，则，
由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，，即，，
所以存在，使得，，
即，①，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故的极大值为，极小值为和，
对①式两边取对数可得，②，
将①②代入得，
同理可得，
要使有四个零点，则必有，解得，
而，，
由零点存在定理可知，当时有且仅有4个零点，即有4个零点，
所以实数k的取值范围为.
X
0
1
2
3
P