2024年江苏省南京市初中数学模拟试题（二）（解析版）

这是一份2024年江苏省南京市初中数学模拟试题（二）（解析版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的值等于（ ）
A．2B．C．D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．绝对值小于的整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．改变数据2，4，6，8中的某1个数字的值后，新数据的中位数增加了1，那么新数据的极差不可能是（ ）
A．4B．5C．6D．
5．若关于的方程有两个不相等的实数根，则（ ）
A． B．C．D．
6．如图，木工师父要用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，截面的形状不可能是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
7．计算： ； ．
8．若分式在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ．
9．计算结果是 ．
10．分解因式：3a2﹣6a+3= ．
11．计算的结果是 ．
12．某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为 ．
13．甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A在第一象限，且．若反比例函数的图象经过点A，则k的取值范围是 ．
15．如图，与正六边形的边，分别相切于点，．若，则的半径长为 ．

16．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则 cm．
三、解答题
17．求不等式组的解集，并写出它的自然数解．
18．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
19．在科学实验复习备考中，王老师为本班学生准备了下面3个实验项目：A．测量物质的密度：B．实验室制取二氧化碳：C探究凸透镜成像．并准备了如图的三等分转盘，规定每名学生可转动一次转盘，并完成转盘停止后指针所指向的实验项目（若指针停在等分线上，则重新转动转盘）．根据数学知识回答下列问题：
(1)请直接写出：小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是________；
(2)请你求出小明和小红两名同学各转动一次转盘，都没有选中“C”实验的概率（用树状图或列表法求解）．
20．随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)直接写出本次调查的学生总人数 ；
(2)补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；
(4)该校共有学生3000人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？
21．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．

(1)求证：DF=CF；
(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积．
22．图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
(1)当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
(2)某日、一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）
23．如图，矩形ABCD中，AD＞AB，
（如需画草图，请使用备用图）
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
①在BC边上取一点E，使AE＝BC；
②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等．
(2)在（1）中，若AB＝6，AD＝10，则△AEF 的面积＝ ．
24．南京有着“天下文枢”、“江南第一州”等美誉．美丽环境来之不易，为了美化环境，我市加大了对绿化的投资，年用于绿化投资万元，截止到年，这三年的绿化总投资为万元，求我市、这两年绿化投资的年平均增长率．
25．如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD与⊙O相切于点D．
(1)求证：△CAD∽△CDB；
(2)若sinC＝，BD＝6，求⊙O的半径．
26．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的镜面函数．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的镜面函数的图象如图②所示，且它的镜面函数的解析式为，也可以写成．

(1)在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．
(2)函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．
(3)已知，，，，，，，，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边恰好有个交点，求的取值范围．
27．（1）【操作发现】
如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示．
①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度．
（2）【类比探究】
如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为_____．

参考答案：
1．A
【分析】
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知算术平方根的定义．
根据算术平方根的概念分析求解．
【详解】解：，
故选：A．
2．D
【分析】
本题主要考查幂的运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则进行计算即可
【详解】解：
，
故选：D
3．D
【分析】
此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的估算方法．
先估算的大小，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，
∴绝对值小于的整数有0，，，共5个，
故选：D．
4．D
【分析】
本题考查了中位数和极差，掌握相关定义是解答本题的关键．根据中位数的定义解答即可．
【详解】
解：因为改变数据2，4，6，8中的某1个数字的值后，新数据的中位数增加了1，
所以改变的数据是2或4或6，
则新数据为4，6，6，8或2，6，6，8或2，4，8，8，
所以新数据的极差不可能大于6．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此计算即可得出答案．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
∴化为一般式为：
，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了截一个几何体，根据用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状即可．
【详解】解：用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状可以是选项A，B，D的图形，不可能是选项C的图形，
故选：C
7． 2 2
【分析】
本题考查了绝对值的性质和二次根式的性质，解题关键是熟练掌握相关性质．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可．
【详解】解：，，
故答案为：2，2．
8．x≠2
【详解】试题解析：根据分式有意义的条件得：x-2≠0
即：x≠2
9．
【分析】
本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
10．3（a﹣1）2．
【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
11．
【分析】
本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得．
【详解】
解：
故答案为：．
12．35
【分析】
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案．
【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32，
∴，
把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为，
故答案为：35．
13．
【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可．
【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min），
追及的路程为（km），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min），
所以乙车的速度v的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求得的最大值是解题的关键．根据题意可知为反比例函数的图象与直线的交点时，的值最大，求得在直线上时点的坐标，即可求得的最大值，即可得到距离．
【详解】
解：由题意可知为反比例函数的图象与直线的交点时，的值最大，
，
在直线上时，，
此时，
点在第一象限，
，
的取值范围是，
故答案为：．
15．
【分析】
本题考查了正多边形与圆，解直角三角形；根据对称性得出且平分和，每个内角都为，得出，过点作，解直角三角形，即可求解．
【详解】
解：连接，如图由正六边形的内角和和对称性可知，

且平分和，每个内角都为，
，过点作，
，
与圆相切，
，
，
在直角三角形中，，
半径的长为，
故答案为：．
16．
【分析】
由，可得，由菱形的性质与折叠可得，，过点E作于点G，设，则，，易证，得到，代入即可求出x的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】
∵，，
∴，
由翻折可得：，
∴在菱形中，，
∵，
∴
∴在中，，
∵在菱形中，，
∴，
又由折叠有，且，
∴
过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵在菱形中，，
又，
∴，
∴，即
解得：，
∴，，
∴在中，．
故答案为：
【点睛】
本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．
17．，自然数解为0，1
【分析】
本题主要考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，再写出它的自然数解．
【详解】解：
由①式得，
由②式得，
不等式组的解集为．
它的自然数解为0，1
18．，当时，原式=1
【分析】
先计算括号里面进行通分运算，再进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式
由题意知且，
∴，
当时，原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法以及分式有意义的条件．
19．(1)
(2)列表见解析，都没有选中“C”实验的概率为．
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格找到所有的等可能性的结果数，再找到都没有选中“C”实验的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C三个项目，每个项目被选中的概率相同，
∴小明同学转动一次转盘，正好选中自己熟悉的“A”实验的概率是，
故答案为：
（2）解：列表如下：
由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中都没有选中“C”实验的结果数有4种，
∴都没有选中“C”实验的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
20．(1)90
(2)见解析
(3)48°
(4)800人
【分析】（1）利用在线答题的学生人数除以其所占百分比即得出总人数；
（2）用总人数减去其它在线学习方式人数即得出在线听课学生人数，即可补全统计图；
（3）求出在线讨论学生所占的百分比，再乘以即得出答案；
（4）求出在线阅读学生所占的百分比，再乘以该校总人数即可．
【详解】（1）本次调查的学生总人数：18÷20%＝90，
故答案为：90；
（2）在线听课的学生有：（人），
补全的条形统计图如下图所示；
（3）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是：，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角是48°；
（4）（人），
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有800人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体．根据题意，从统计图中找到必要的信息和数据是解题关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD；
（2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案．
【详解】（1）解：在△DCF和△DCO中，
，
∴△DCF≌△DCO（ASA），
∴DF=DO，CF=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴DF=CF=OC=OD；
（2）解：∵△DCF≌△DCO，
∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，
又∵OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD=OD=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)无法实施有效救援．
【分析】
（1）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到；
（2）根据矩形的性质知道边相等，再利用直角三角形的正弦值得到，进而得到该消防车能否可以实施有效救援．
【详解】（1）解：如图，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于点，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵的最大角度为，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴；
∴最高救援高度为，
∵该居民家距离地面的高度为，
∴,
故该消防车无法实施有效救援．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．
23．(1)①见解析；②见解析；
(2)
【分析】（1）①以A为圆心，BC的长为半径画弧与BC交于点E；
②连接DE，作DE的垂直平分线与DC交于点F；
（2）根据矩形的性质，得AE=AD，利用SSS证△AEF≌△ADF，得∠AEF=∠ADF=90°，利用勾股定理得BE=8,再得EC=2，利用勾股定理求出EF=，进而得出面积.
【详解】（1）解：①如图所示
点E即为所求
②如图所示
点F即为所求
（2）解：连接EF，AF
在矩形ABCD中
AD=BC=10
又AE＝BC
∴AE=AD=10
又DF=EF
∴△AEF≌△ADF（SSS）
∴∠AEF=∠ADF=90°
在Rt△ABE中
BE===8
∴EC=BC-BE=2
令DF=FE=x，则FC=6-x
在Rt△FCE中
FE2=
∴x2=
解得x=
∴△AEF 的面积为××10=
故答案为：.
【点睛】本题考查了等线段的截取，垂直平分线的画法及性质，全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，利用勾股定理求边长等知识点，熟练地掌握基本作图是解决问题的关键.
24．
【分析】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据三年的绿化总投资钱数列方程求解即可．
【详解】解：设我市、这两年绿化投资的年平均增长率为，则年用于绿化投资万元，年用于绿化投资万元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：我市、这两年绿化投资的年平均增长率为．
25．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质，得出，即，根据直径所对的圆周角等于90°，得出，根据，得出，即可得出，即可证明；
（2）设圆的半径为r，根据，表示出CO，用r即可表示出AC、BC、利用即可得出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可求出圆的半径．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵CD与⊙O相切于点D，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）设圆的半径为r，
，
即，
∴CO=3r，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理、解直角三角形，准确作出辅助线是解题的关键．
26．(1)图象见解析
(2)的值为3或
(3)的取值范围为或
【分析】
（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）先求出关于的“镜面函数”解析式，再分以及顶点在上的情况和时，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：如图③，即为函数函数关于直线的“镜面函数”的图象，

（2）对于，当时，，
函数与轴的交点坐标为，，
当时，，即函数与的交点为，，
当直线经过点，时，，
根据对称性，此时，函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点；
当直线与原抛物线只有一个交点时，也有三个公共点，
∴，
整理得，，
此时，，
解得，，
时，，
综上，的值为或；

（3）解：函数关于的“镜面函数”解析式为，
当时，，
，
解得，；
当的顶点在上时，
解得或舍，
此时，函数关于直线的“镜面函数”图象与矩形的边有个交点，不合题意，
，
当时，，
，
解得，；
综上，的取值范围为或．

【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，数形结合是解题的关键．
27．①的值不变，为；②或；（2）24
【分析】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可；②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论；
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论．
【详解】
解：（1）①的值不变，理由如下：
如图2中，连接．

∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵在图1中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．

∵，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，

∴，
综上所述，的长为或．
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，
当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，
∴的面积的最大值为16，
∴四边形的面积的最大值．
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）