第17讲  极值问题

【学习目标】

1、掌握极值问题常用的结论。

2、把复杂问题转化成极值问题解决。

人们经常考虑有关“最”的问题，如最大、最小、最多、最少、等问题。这类求最大值、最小值的问题，亦称极值问题，是一类重要的典型问题。

一、和（积）一定

1、两个数的和一定，那么当这两个数的差愈小时，它们的积就愈大。

2、三个数a、b、c，如果a+b+c是定值时，只有当a=b=c时，a b c的积才能最大，三个数越接近，积越大。 

3、两个数的积是定值时，那么当两个数的差最小时，它们的和最小。

在周长相等的封闭平而图形中，圆的面积最大。

反之在面积相等的封闭图形中，圆的周长最小。

在棱长和一定的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（即正方体）的体积最大。   

在所有表面积是定值的几何体中，球体的体积最大。

※在中学阶段我们又称为均值定理。

二、特定排名的极值问题

该类问题一般表述为：若干个整数量的总和为定值，且各不相同（有时还会强调：各不为0或最大不能超过多少），求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。

三、保证（抽屉原理）

    题目中会有“保证”这样的字眼，解此类问题利用“最不利原则（最不凑巧原则）”，假设问题的解决过程是最不希望看到的，在这种情况下求解。

四、多集合的极值问题

该类问题一般表述为：在一个量的总和（即全集）里，包含有多种情况（即多个子集），求这多种情况同时发生的量至少为多少。

【温故知新】

例题1：把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？

【答案】3×3×3×3×2

举一反三1：

1、把16拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？

2、把50拆成若干个自然数的和，要使这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？

【答案】1、3×3×3×3×4

例题2  一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）

【答案】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。

举一反三2：

1、一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。

2、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。已知DE=2CE，BE=3AE。在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？

3、一次考试满分100分，5位同学平均分是90分，且各人得分是不相同的整数。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同学至少得了多少分？

4、5人的体重之和是423斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，则体重最轻的人，最重可能重（     ）。

A、80斤     B、82斤     C、84斤     D、86斤

【答案】1、b=42，a=22，a+b=64      2、取BCD三个点。    3、96分   

4、B．体重最轻的人，是第5名，设为n。考虑其最重的情况，则其他人尽可能轻。

第四名的体重大于第五名n，但又要尽可能轻且不等于n，故第四名是n+1。同理，第三名至第一名依次大于排名靠后的人且取尽可能小的值，故依次为n+2，n+3，n+4。

五个人尽可能轻的情况下，总重量为n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10。

实际总重量423应大于等于尽可能轻的总重量，故5n+10≤423，解得n≤82.6，所以n最大为82斤，答案选B。

例3：社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?

【答案】每种活动不喜欢的人数分别为46-35=11人，16人，8人，6人。故四种活动都喜欢的反面——“四种活动不都喜欢”——即只要有一种活动不喜欢的人数最多为11+16+8+6=41人，所以四种活动都喜欢的人数最少为46-41=5人.

举一反三3：

100人参加7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加?（     ）

A、22     B、21        C、24         D、23

【答案】第四多的活动人数设为n，当n最大时，第5-7名尽可能小的值为0，1，2（题目中没有说每项活动一定有人参加），第1-3名尽可能小的值为n+3，n+2，n+1，故n+3+n+2+n+1+n+2+1+0=4n+9为尽可能小的总人数，应≤实际总人数100，故4n+9≤100，n≤22.75，所以最多有22人参加，答案选A。

小结：

【巩固练习】

1、用1，2，3，4，5五个数码组成一个三位数和一个两位数，这个三位数和这个两位数相乘，乘积最大是       。

2、将右图沿线折成一个立方体，它的共顶点的三个面的数字之积的最大值是       。

3、有4个相同的骰子摆放如下，底面的总数之和最大是       。

4、3个自然数（可以重复）之和为8，则这3个自然数之积的最大值等于       。

5、有120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权，若前100票中，甲得了45票，乙得了35票，甲要肯定当选至少还需要          张选票。

6、一次考试共有5道题。考试结果统计如下：做对第一题的占总人数的80%，做对第二题的占总人数的95%，做对第三题的占总人数的85%，做对第四道题的占总人数的79%，做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？

7、将两个不同的自然数中较大的数换成它们的差，称为一次操作，如此继续下去，直到两个数相同为止。如对20和26进行这样的操作，过程如下：

（20，26）→（20，6）→（14，6）→（8，6）→（2，6）→（2，4）→（2，2）

（1）    对45和80进行上述的操作。

（2）    对两个四位数进行上述操作，最后的得到的相同数是17，求这两个四位数的和最大值。

8、将3～10这八个数分别填入下图中，使两个大圆上的五个数的和相等，并且最小。

※9、用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？

【答案】

1、22412           

2、72         

3、20              

4、18

5、6                       

6、设总人数为100人，则做对的总题数为80+95+85+79+74=413题，错题数为500-413=87题，为求出最低及格率，则令错三题的人尽量多：87÷3=29人，由此即可解得及格率为：（100-29）÷100=71%。

设总人数为100人，则错题总数为：

5×100-（80+95+85+79+74）=500-413=87（道）

所以错3道题的人最多有：87÷3=29（人），故及格率最少是：（100-29）÷100=71%，

答：这次考试的及格率至少是71%。

7、（1）略   （2）9979+9996=19975

8、

9、因为0不能在个位和首位，所以必须在3位数或更大的数中，且算在3位数中，这个数末尾必须为奇数，若它占用两个奇数，而4、6、8也必须以奇数为它们的末尾，且不能为5，假设它们都是两位数，这样可使总和最小，2可以单独存在，则5必须是含0的三位数的首位，每个数末尾的数的各种组合不影响总的和。这样得出一种组合：503，2，41，67，89，和是702。

若含0三位数首位是6，加上含4和含8的数肯定和大于702。所以要优化，含0三位数首位要小于5，假设含0三位数占用一个奇数，这只能是401和409，因为每个数末尾的数的各种组合不影响总的和，不妨设是401，这样8、6形成两个两位数，其他的全是个位数即可，组合是401，89，67，2，5，3，和是567。

若含0三位数占用两个非5奇数，则因为奇数不够用，必须组成大于460的质数，这样和显然大于567。

显然结果不能再优化。和最小是567。

：                                                          

                                                                  。