专题18.9 构造三角形中位线的四种常用方法-八年级数学下册举一反三系列（人教版）

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专题18.9 构造三角形中位线的四种常用方法【人教版】考卷信息：本套训练卷共24题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造三角形中位线的四种常用方法的理解！【题型1 连接两点构造三角形的中位线】1．（2023上·山西临汾·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（    ）  A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质．连接AE，作AH⊥BC于点H．由三角形中位线的性质得FM=12AE，由垂线段最短可知当AE最小，即点E与点H重合时FM的值最小，然后利用勾股定理求出AH的长即可．【详解】解：连接AE，作AH⊥BC于点H．  ∵点D，E分别是AB，BC边上的动点，∴FM是△ADE的中位线，∴FM=12AE，∴当AE最小，即点E与点H重合时FM的值最小．设BH=x，则CH=10−x，∵102−x2=122−10−x2，∴x=2.8，∴AH=102−2.82=9.6，∴FM的最小值为4.8．故选D．2．（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，AD∥BC，BD为∠ABC的平分线，BC=3，AC=4，E，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为 ．  【答案】1【分析】根据勾股定理得到AB=5，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=3，求得DG=5−3=2，根据三角形中位线定理即可得到结论．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵BC=3，AC=4，∴AB=5，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD=5，连接BF并延长交AD于G，  ∵AD ∥ BC，∴∠AGF=∠CBF，∵F是AC的中点，∴AF=CF，在△AFG和△CFB中，∠AFG=∠CFB∠AGF=∠CBFAF=CF，∴△AFG≌△CFB (AAS)，∴BF=FG，AG=BC=3，∴DG=5−3=2，∵E是BD的中点，∴EF=12DG=1．故答案为：1．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）（1）【定理】如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以得出：①DE与BC位置关系是 ．②DE与BC数量关系是 ．（2）【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD=6，CD=4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF的长度．（3）【拓展提升】如图③，△ABC中，AB=12，BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则EF= ．【答案】（1）①DE∥BC；②DE=12BC；（2）EF=10；（3）2【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等证明△ADE∽△ABC，即可证明；（2）连接AR，在Rt△ADR中求出AR，再由中位线的性质求EF即可；（3）在Rt△AFB中，利用斜边的中线等于斜边的一半，求出DF，再由中位线性质求DE，即可求EF．【详解】解：（1）∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴ADAB=AEAC=12，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=12，∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC，DE=12BC；故答案为：①DE∥BC；②DE=12BC；（2）如下图，连接AR，∵E是AP的中点，F是PR的中点，∴EF=12AR，∵R是CD的中点，CD=4，∴DR=12CD=2，，∵AD=6，∠D=90°，∴AR=AD2+DR2=210，∴EF=10；（3）∵BC=16，点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE=12BC=8，∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，AB=12，∴DF=12AB=6，∴EF=DE−DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中位线的的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握中位线的定义及性质、三角形相似的判定及性质是解题的关键．4．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作等边三角形ABM和等边三角形CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE．求证：DE=EF．【答案】见解析【详解】证明：如图，连接MC，BN．∵△ABM和△CAN是等边三角形，∴∠BAM=∠CAN=60°，AM=AB，AN=AC，∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN．在△MAC和△BAN中，AM=AB,∠MAC=∠BAN,AC=AN,∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC=BN．∵D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=12MC，EF=12BN，∴DE=EF．5．（2023上·江苏常州·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE=DC．  (1)用直尺和圆规在边AC上作点F，使得△CDF≌△EDF；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下：①求CF的长；②线段DF与线段AB的数量关系是______，位置关系是______．【答案】(1)见解析(2)①32；②DF=12AB，DF∥AB【分析】此题考查作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等角对等边证明边相等，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．（1）作∠CDE的平分线，可得△CDF≌△EDF；（2）①由△CDF≌△EDF得到EF=CF，∠DEF=∠C=90°，利用CD=DE=BD=2推出∠B=∠BED，进而得到∠A=∠AEF，证得AF=EF，即可求出AF=CF=12AC=32；②勾股定理求出AB=5，根据中点得到DF是△ABC的中位线，由此得到DF∥AB,DF=12AB．【详解】（1）如图，连接EF，  ∵CD=DE,∠CDF=∠EDF,DF=DF∴△CDF≌△EDF；（2）①∵△CDF≌△EDF，∴EF=CF，∠DEF=∠C=90°，∵BC=4，D是边BC的中点，DE=DC．∴CD=DE=BD=2∴∠B=∠BED∵∠A+∠B=90°,∠DEB+∠AEF=90°∴∠A=∠AEF∴AF=EF∴AF=CF=12AC=32；②∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=5∵AF=CF，CD=BD∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AB,DF=12AB，故答案为：DF=12AB，DF∥AB．6.（2023上·江苏南通·八年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．【答案】44【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，，连接AC，AP，先由矩形的性质和勾股定理求出AC=10，再证明MN是△AEP的中位线，得到MN=12AP，由AD