2022-2023学年广东省广州市黄埔区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年广东省广州市黄埔区八年级下学期期中数学试题及答案，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2
3
下列二次根式是最简二次根式的是()
45
​
​
D.
10
0.2
下列曲线中不能表示?是?的函数的是()
A.B.
C.D.
下列各组数据中的三个数作为三角形的边长.其中能构成直角三角形的是()
5
3
A.2，2，B.2，3，4C.6，7，8D.1，2，
下列各式计算正确的是()
2
+
=
43−3= 1
3
5
3
2
× 2
= 4
​
÷= 3
3
3
3
27
3
下列说法错误的是()
对角线相等的菱形是正方形B.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线垂直且相等的四边形是正方形
已知正比例函数，若?的值随?的增大而减小，则点(?−2,2−?)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
如图，在 △ ???中，?? = ?? = 13，?? ⊥ ??于点?且?
?= 12，?? ⊥ ??于点?，连接??，则??的长为()
A.5
2
B.7
2
C.5
D.6
如图，在矩形????中，??=1，??=2，点?在边??上，若??平分∠???，则??的长是()
2
A.3
B.1
5
C.2
3
D.
如图，?? △ ???中，∠? = 90°，?? = 4，?? = 8，将??
△ ???折叠，使点?与??的中点?重合，折痕交??于点?，交
??于点?，则线段??的长为()
3
7
15
4
4
10
3
如图所示，在菱形????中，∠? = 60°，?? = 2，?，?两点分别从?，?两点同时出发，以相同的速度分别向终点?，?移动，连接??，在移动的过程中，??的最小值为()
2
1B.
C.3D.
3
2
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
若式子6−3?在实数范围内有意义，则?的取值范围是．
在?=(?−2)?+?2−4中，若?是?的正比例函数，则?值为．
已知直角三角形斜边上的中线长为6，斜边上的高线长为4，则该三角形的面积为．
如图，有一块四边形花圃????，?? = 3?，?? = 4?，?? = 13?，?? = 12?，∠? =
90°，若在这块花圃上种植花草，已知每种植1?2需50元，则共需元．
如图，在菱形????中，对角线??与??相交于点?，??=16，??=12，??⊥??，垂足为点?.则?? =．
如图，在正方形????中，?是对角线??上一点，且满足??
= ??，连接??并延长交??于点?，连接??，过?点作?? ⊥ ??于点?，延长??交??于点?.在下列结论中：①?? = ??；②∠??
?= 45°；；④△ ???≌ △ ?
??.其中正确的结论有(填正确的序号)．
三、解答题（本大题共 9小题，共 102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题9.0分)
计算下列各式．
；
5
(2)(
+2)(5−2)−(
+2)2．
3
(本小题9.0分)
已知? + 1与?−2成正比例，且当? = 1时，? = −3．
求?与?的函数关系式；
判断点(−1,−5)是否在该函数的图象上．
(本小题9.0分)
已知：如图，矩形????的对角线交于点?，??//??，??//??.求证：四边形????是菱形．
(本小题9.0分)
已知? > 0 > ?，．
(1)化简?；
(2)若点(?,?)在一次函数? = − 3?的图象上，求?的值．
(本小题12.0分)
如图，已知等腰 △ ???的底边?? = 25??，?是腰??上一点，连接??，且?? = 24??，?? =7??．
求证： △ ???是直角三角形；
求??的长．
(本小题12.0分)
城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑梯的高??长为2米，点?，?，?在同一水平地面上.求：
改善后滑滑梯加长多少米？
若滑滑梯的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有4.5米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
(本小题12.0分)
如图，在▱????中，?? (1)用尺规完成以下基本作图：在??上截取??，使?? = ??；作∠???的平分线交??于点?.(
保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，连接??交??于点?，证明：?? = ?
?．
(本小题15.0分)
(1)如图1，在正方形????中，?是??上一点，?是??延长线上一点，且?? = ??，求证：?? = ??．
(2)如图2，在正方形????中，?是??上一点，?是??上一点，如果∠??? = 45°，求证：?? =
?? + ??．
运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形????中，??//??(?? > ??)，∠? = 90°，是??上一点，且∠??? = 45°，?? = 4，求直角梯形????的面积．
(本小题15.0分)
如图，在矩形????中，点?是对角线??的中点，点?是直线??上一点，点?是直线??上一点，且∠??? = 90°，连接??．
(1)如图1，若点?在??中点处，且?? = 8，?? = 6，求??的长：
(2)如图2，若点?在??的延长线上，其他条件不变，求证：??2−??2 = ??2；
(3)如图3，若点?在??的延长线上，且?? = ??，∠??? = 30°，?? = 1，请直接写出线段??2
的值．
答案和解析
【答案】?
45
【解析】解：?、= 35，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 10是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、
2
3
= 6，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 3
0.2
D、
=
1
5
= 5，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 5
故选：?．
根据最简二次根式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【答案】?
【解析】解：对于每个?的值，都有唯一的?值与其对应才是函数，
A、?、?都不符合题意，只有?符合题意．故选：?．
根据函数定义判断即可．
本题考查了函数的定义，正确理解定义并识图是解题关键．
【答案】?
【解析】解：?、( 2)2 + (2)2 ≠ ( 5)2，故不是直角三角形，不合题意；
B、 ∵ 22 + 32 ≠ 42，故不是直角三角形，不合题意；
C、62 + 72 ≠ 82，故不是直角三角形，不合题意；
D、12 + ( 2)2 = ( 3)2，故是直角三角形，符合题意；故选：?．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长?，?，?满足?2 + ?2 = ?2，
那么这个三角形就是直角三角形．
【答案】?
2
【解析】解：?、+3，无法合并，故此选项错误；
3
B、43−3=3，故此选项错误；
3
27
C、2 D、
× 2
3
3
÷
= 12，故此选项错误；
= 3，正确．
故选：?．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【答案】?
【解析】解：?、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，符合题意；故选：?．
根据正方形、矩形、菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：∵正比例函数，?随?的增大而减小，
∴ 2−? <0，
∴ ?−2 >0，
∴ 点(?−2,2−?)在第四象限，故 D正确．故选：?．
先根据正比例函数的性质确定，2−?<0，从而得出?−2>0，即可判断点(?−2,2−?)所在的象限．
本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的性质，确定2−? <0．
【答案】?
【解析】解： ∵ ?? = ?? = 13，?? ⊥ ??于点?且?? = 12，
??2−??2
∴ ?? = ?? =
=
= 5，
132−122
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ??=1??=??=5，
2
故选：?．
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = 1，??//??，?? = ?? = 2，∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ?? = 2，
??2−??2
∴ ?? =
=
=3，
22−12
故选：?．
由矩形的性质得出?? = ?? = 1，??//??，?? = ?? = 2，∠? = 90°，由平行线的性质得出∠??
? = ∠???，再由角平分线证出∠??? = ∠???，由勾股定理求出??即可．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ?是??中点，?? = 4，
∴ ?? = ?? = 2，
∵ 将 △ ???折叠，使点?与??的中点?重合，
∴ ?? = ??，
，
在?? △ ???中，??2 = ??2 + ??2，
，
，
，故选：?．
由折叠的性质可得?? = ??，根据勾股定理可求??的长，即可求??的长．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
【答案】?
【解析】解：连接??，作?? ⊥ ??于?，如图，
∵ 四边形????为菱形，
∴ ?? = ?? = ?? = ??，而∠? = 60°，
∴ △ ???和 △ ???都是等边三角形，
∴ ∠??? = ∠??? = 60°，?? = ??，在?? △ ???中，?? = 1，?? = 2，
∴ ?? =3，
在 △ ???和 △ ???中
{
? ?= ? ?
∠ ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ? ?
∴△ ???≌ △ ???，
∴ ∠2 = ∠1，?? = ??
∴ ∠1 + ∠??? = ∠2 + ∠??? = ∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∴ ?? = ??，
而当?点运动到?点时，??的值最小，其最小值为 3，
∴ ??的最小值为 3．故选：?．
连接??，作?? ⊥ ??于?，如图，利用菱形的性质得?? = ?? = ?? = ??，则可判断 △ ???和 △
???都是等边三角形，再证明 △ ???≌ △ ???得到∠2 = ∠1，?? = ??，接着判定 △ ???为等边三角形，所以?? = ??，然后根据垂线段最短判断??的最小值即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
【答案】? ≤ 2
【解析】解：由题意得：6−3? ≥ 0，解得：? ≤ 2，
故答案为：? ≤ 2．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】? = −2
【解析】解：依题意得，?−2 ≠ 0且?2−4 = 0，解?−2 ≠ 0得? ≠ 2，
解?2−4 = 0得? = ± 2，
∴ ? = −2．
故答案为：? = −2．
根据正比例函数的定义：? = ??(? ≠ 0)，得到?−2 ≠ 0且?2−4 = 0即可求出?的值．
此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
【答案】24
【解析】解： ∵ 直角三角形斜边的中线为6，
∵ 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴ 该直角三角形的斜边长为6 × 2 = 12，
∵ 直角三角形斜边上的高线为4，
∴ 直角三角形面积为：．
故答案为：24．
根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线及三角形的面积，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
【答案】1800
【解析】解：连接??，
在?? △ ???中，?? = 3?，?? = 4?，
??2+??2
?? == 5(?)，
在 △ ???中，根据勾股定理得??2 + ??2 = ??2，
∴ ∠??? = 90°
∴ △ ???的面积为1× ?? × ?? = 30平方米，
2
△ ???的面积为1× ?? × ?? = 6平方米，
2
∴ 四边形面积 = 36平方米，
∴ 种植花草共需花费36 × 50元 = 1800元．故答案为：1800．
连接??，则在直角 △ ???中，已知??，??根据勾股定理可以计算??，又因为??2 + ??2 = ?
?2，所以 △ ???为直角三角形，四边形????的面积为 △ ???和 △ ???面积之和．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定 △ ???是直角三角形并计算其面积是解题的关键．
【答案】48
5
【解析】解： ∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ??，?? ⊥ ??，?? = ??，?? = ??，
∵?? = 16，?? = 12，
∴ ?? = 8，?? = 6，
由勾股定理得，?? = 10，
∴ ?? = 10，
，
，
解得：?? = 48，
5
故答案为：48．
5
根据菱形的性质得出?? = ??，?? ⊥ ??，?? = ??，?? = ??，求出??和??，求出??，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
【答案】①②④
【解析】解： ∵ ??是正方形????的对角线，
，?? = ?? = ?? = ??，在 △ ???和 △ ???中，
{
? ?= ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ??
∴ △ ???≌???(???)，故④正确；
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? ⊥ ??，
，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
，
在 △ ???和 △ ???中，
，
∴△ ???≌ △ ???(???)，
∴ ?? = ??，故①正确；
∵ ?? = ??，?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
，
， ，
故②正确；连接??，
∵ ?? = ??，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ??，??是线段??的垂直平分线，
∴ ?? = ??，，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∵ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ △ ???是等腰三角形，
∵ ??不垂直??，
，
∴?△???≠?△???，
，故③不正确；
故答案是：①②④．
先由△ ???≌???判断④正确，得出，从而证明△ ???≌ △ ???，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出∠??
? = 45°，得出②正确；连接??，判断?△ ??? ≠ ?△ ???得出③不正确．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，属于填空压轴题，有一定难度，解题的关键是先判断出 △ ???≌
≌ △ ???，难点是作出辅助线判断出?△ ??? ≠ ?△ ???．
6 × 3
+12× 3−6
2
17.【答案】解：(1)原式 = 2
2
2
= 6+ 6−6
= 6；
(2)原式
= −2−26．
【解析】(1)先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和乘法公式是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)设? + 1 = ?(?−2)，把? = 1，? = −3代入得−3 + 1 = ?(1−2)，解得? = 2，
所以，
即?与?之间的函数关系式为? = 2?−5；
(2)当? = −1时，? = 2 × (−1)−5 = −7，所以点(−1,−5)不在该函数的图象上．
【解析】解答：见答案。分析：
(1)利用正比例函数的定义设? + 1 = ?(?−2)，然后把已知对应的值代入求出?，从而得到?与?之间的函数关系式；
(2)通过一次函数图象上的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设? = ?? + ?；将自变量?的值及与它对应的函数值?的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
【答案】证明： ∵ ??//??，即??//??，
??//??，即??//??．
∴ 四边形????是平行四边形．又 ∵ 四边形????是矩形，
∴??=1??，??=1??，
22
且?? = ??，
∴ ?? = ??．
∴ 四边形????是菱形．
【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等和一组邻边相等的平行四边形是菱形，需熟练掌握并灵活运用．
先求出四边形????是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等求出?? = ??，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【答案】解：，
；
(2) ∵ 点(?,?)在一次函数? = − 3?的图象上，
，
．
【解析】(1)根据? > 0 > ?把原式进行化简即可；
(2)把点(?,?)代入一次函数? = − 3?，再把? = − 3?代入(1)中?的关系式即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
【答案】(1)证明： ∵ ?? = 25??，?? = 24??，?? = 7??，
∴??2=132=169，
??2 + ??2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169，即??2 = ??2 + ??2，
∴ △ ???为直角三角形；
(2)解：设?? = ???，
∵ △ ???是等腰三角形，
∴ ?? = ?? = ???．
∵ △ ???为直角三角形，
∴ △ ???为直角三角形，
∴ ??2 + ??2 = ??2，即，
解得：，
故AB的长为：．
【解析】(1)由?? = 25??，?? = 24??，?? = 7??，知道??2 = ??2 + ??2，根据勾股定理的逆定理可得 △ ???为直角三角形；
(2)设?? = ???，根据勾股定理得到关于?的方程，解方程可求出??的长．
此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理解答．
【答案】解：(1) ∵ ?? ⊥ ??，∠? = 30°，?? = 2(米)．在直角三角形???中，米)．
在直角三角形???中，米)，
米)．
答：改善后滑滑梯加长米．
(2)在直角三角形???中，∠? = 30°，
在直角三角形???中，∠??? = 45°，?? = 2米，
∴ ?? = 2(米)，
米)．
米)．
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是．因此，此方案是可行的．
【解析】(1)在直角三角形???内，根据∠?的度数和??的长，运用30°角求出??的长，进而即可求解；
(2)本题实际要求的是??的前方长是否超过3米，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就可行，反之，则不可行．
本题主要考查了勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的性质，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的关键．
【答案】解：(1)如图所示，点?、?即为所求；
(2) ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ??平分∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ?? = ??，又 ∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，即?? + ?? = ?? + ??，
∴ ?? = ??．
【解析】(1)以点?为圆心、??为半径画弧，与??的交点即为点?；根据角平分线的尺规作图可得
??；
(2)先证?? = ??，再结合?? = ??得?? = ??，即?? + ?? = ?? + ??，从而得出答案．
本题主要考查作图—复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及平行四边形的性质、等角对等边的性质．
【答案】解：(1)证明：如图1，
∵ 四边形????是正方形，
∴ ?? = ??，∠? = ∠??? = 90°，又 ∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(???)，
∴ ?? = ??；
成立．
∵∠??? = 45°，
∴∠??? + ∠??? = 45°，
∵△ ???≌ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = 45°，即∠??? = 45°，
∴ ∠??? = ∠???，且?? = ??，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(???)，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? + ?? = ?? + ??；
如图：过点?作?? ⊥ ??于?，
∵ ??//??，∠? = 90°，
∴∠? = 90°，
∵∠? = ∠? = 90°，?? ⊥ ??，
∴ 四边形????是矩形，且?? = ?? = 12，
∴ 四边形????是正方形，
∴ ?? = 12，
由(2)可得?? = ?? + ??，
∴ ?? = 4 + ??，
在 △ ???中，??2 + ??2 = ??2．
．
∴ ?? = 6，
∴ ?? = 6，
．
【解析】(1)根据正方形的性质，可证明 △ ???≌ △ ???(???)，从而得出?? = ??；
由 △ ???≌ △ ???，可得∠??? = ∠???，即可求∠??? = ∠??? = 45°，且?? = ??，?? = ??
可证 △ ???≌ △ ???(???)，则结论可求．
过点?作?? ⊥ ??于?，可证四边形????是正方形，根据(2)的结论可得?? = ?? + ?? = 4 + ??，根据勾股定理列方程可求??的长，则??可求出，即可得出直角梯形????的面积．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，四边形的面积，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【答案】(1)解：如图1， ∵ 四边形????是矩形，?? = 8，?? = 6，
∴∠? = 90°，?? = ?? = 6，
∵ ?、?分别是??、??的中点，
∴??//??，??=1??=3，
2
∴∠??? = ∠? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 90°，
∵∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴ ?? = ?? = 3，
∵??=??=1，
????
∴ ??=??=1??=4，
32+42
2
??2+??2
∴ ?? =
=
= 5，
∴ ??的长是5．
证明：如图2，连接??，作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，
∵∠??? = 90°，?? = ??，
∴?? = ?? = ?? = 1??，
2
∴ ??=?? =1??，??=?? =1??，
22
∴ ??=1??= ??=??，??= 1??=??= ??，??//??，
∴??
2
1??
=2=
??
2
，∠???= ∠??? = 90°，
??
1??
2
??
∴ ∠??? = ∠??? = 90°−∠???，
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴△ ???∽ △ ???，
∴??=??=??，
??????
∴ ?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
设?? = ?? = ?? = ?，?? = ?? = ?? = ?，
∴??2=(??+?)2+?2=??2+2?⋅??+?2+?2，??2=(??−?)2+?2=??2−2?⋅??+?2+
?2，
∴??2+??2=??2+??2+2?⋅??+2?2−2?⋅??+2?2=??2+??2+2?(??+?)−2?(??−?)，
∵ ?? = 2?，?? = 2?，?? + ? = ??，??−? = ??，
∴ 2?(?? + ?)−2?(??−?) = ?? ⋅ ??−?? ⋅ ?? = 0，
∴??2=??2+??2=??2+??2，
∴??2−??2=??2．
解：如图3，作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，
∵ ∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
∴∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°−∠???，
∴△ ???∽ △ ???，
∴??=??=??，
??????
∵∠??? = 90°，∠???= 30°，?? = 1，
22−12
∴ ?? = ?? = 2?? = 2，
??2−??2
∴ ?? =
=
=3，
1
3
∴??=??=
=3，??= ??=??=1??=3，
??
??322
∴ ??=3??= 2−3，
32
∴ ?? = 23−3，
2
∵ ??=?? =??=1?? =1，
22
∴??2=(1)2+(2−3)2=5−23，??2=(3)2+(23−3)2=15−63，
3
2222
3
∴??2=??2+??2=5−2
+ 15−6
=20−83，
∴ 线段??2的值是20−83．
【解析】(1)先由三角形的中位线定理求得?? = 1?? = 3，再证明四边形????是矩形，得?? = ??
2
= 3，再求得?? = ?? = 1?? = 4，即可根据勾股定理求得?? = 5；
2
连接??，作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，则?? = ?? = ?? = 1??，即可推导出?? = ?? =
2
?? = 1??，?? = ?? = ?? = 1??，进而证明??= ??，再证明 △ ???∽ △ ???，得??= ??=
22??
??
??
??
??，所以?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，设?? = ?? = ?? = ?，?? = ?? = ?? = ?，根据勾股定理得??2 = (
??
?? + ?)2 + ?2 = ??2 + 2? ⋅ ?? + ?2 + ?2，??2 = (??−?)2 + ?2 = ??2−2? ⋅ ?? + ?2 + ?2，则??2
+ ??2 = ??2 + ??2 + 2?(?? + ?)−2?(??−?) = ??2 + ??2 + ?? ⋅ ??−?? ⋅ ?? = ??2 + ??2，所
以??2 = ??2 + ??2 = ??2 + ??2，即可证明??2−??2 = ??2；
作?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，则四边形????是矩形，可证明 △ ???∽ △ ???，得??=
??
??=??，再由∠???=90°，∠???= 30°，??=1，得??=??= 2??=2，则??=3，所以??
??
??
??
=??=
= 3，?? = ?? = ?? = 3，得?? = 3?? = 2−3，则?? = 23−3，而?? = ?? = ?
1
3
??32322
? = 1?? = 1，由勾股定理得??2 = (1)2 + (2−3)2 = 5−23，??2 = (3)2 + (23−3)2 = 15−6
222222
3，则??2 = ??2 + ??2 = 20−83．
此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形中30
°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．