精品解析：广东省广州市海珠区南武集团2022--2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

2022学年第二学期广州市南武教育集团

八年级数学学科联合练习题

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟．

第一部分  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．

【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；

B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；

C、被开方数含分母，故C不符合题意；

D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

2. 要使二次根式有意义，的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．

【详解】解：由二次根式有意义可得：，

解得：，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．

3. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的加减、除运算法则逐一判断即可．

详解】解：A．，故原选项错误，不符合题意；

B．和不是同类二次根式，不可以合并，故原选项错误，不符合题意；

C．，故原选项正确，符合题意；

D．，故原选项错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，掌握相关法则进行正确计算是解题的关键．

4. 如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC＝20m，则AB=（    ）

A. 200m B. 20m C. 40m D. 50m

【答案】C

【解析】

【分析】在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可．

【详解】解：∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，

∴AB=（m）．

故选：C．

【点睛】本题考查是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边．

5. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　）

A.  B. ，，

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．

【详解】解：∵，，

∴，

∴为直角三角形，故A不符合题意；

∵，

∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；

∵，

∴为直角三角形，故C符合题意；

∵，，

∴，

∴为直角三角形，故D符合题意，

故选B．

【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．

6. 如图，在中，AE平分交BC于点E．若，则的大小为（    ）

A. 58° B. 62° C. 69° D. 78°

【答案】C

【解析】

【分析】由平行四边形的性质可得∠BAD=138°，∠B=∠D=42°，由角平分线的性质和平行线的性质即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=42°，

∴∠BAD=138°，∠B=∠D=42°，AD

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD =69°，

∵AD

∴∠AEB=∠EAD=69°，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．

7. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（　　）

A.  B.  C. 3 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．

【详解】解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD，

∴△ABC是等边三角形，

菱形的边长为6，

∴AC＝6，

∴AO＝AC＝3，

在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，

∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．

故选：B．

【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定，解题关键是熟练运用菱形的性质和等边三角形的判定求出对角线长．

8. 已知四边形EFGH是平行四边形，则下列结论正确的是（    ）

A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形

C. 当时，它是菱形 D. 当时，它是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定定则来逐一判断．

【详解】解：如图所示

A、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形；

B、不正确，对角线垂直的平行四边形是菱形；

C、正确，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；

D、不正确，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

故选C．

【点睛】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定，解决此题的关键是掌握以上基本的判定．

9. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形、、、的边长分别是1，3，3，5，则最大正方形的面积为（    ）

A. 12 B. 15 C. 38 D. 44

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．

【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知

；

故选：D．

【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的几何意义．

10. 如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．

【详解】解：设，则，

由勾股定理得：

在中，

，

在中，

，

由题意可知：，

所以：，

解得：．

所以，应建在距点处．

故选：．

【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

第二部分  非选择题（共90分）

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11. 计算：________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算．

详解】解：原式．

故答案是：．

【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则．

12. 在□ABCD中，若∠A=40°，则∠C=_______°.

【答案】40

【解析】

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠A=40°，

∴∠C=∠A=40°.

故答案是：40．

13. 如图所示，在数轴上点所表示数为，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出，再根据即可解答．

【详解】解：如图，

∵，，

设点表示的数是，

∴，

∴，

∴或，

∵点在原点的左侧，

∴点表示的数为，

故答案为；

  【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，数轴上表示的数，掌握勾股定理是解题的关键．

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______．

【答案】（5，4）

【解析】

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．

【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，

∴AB=5，

∴DO=4，

∴点C的坐标是：（5，4）．

故答案为：（5，4）．

15. 已知，则xy的值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根是有意义的条件：被开方数是非负数即可求得x的值，进而求得y的值，然后代入求解即可．

【详解】根据题意得：，

解得：x＝3，则y＝﹣2，

故xy＝．

故答案是：．

【点睛】此题考查了二次根是有意义的条件，解一元一次不等式组，负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握二次根是有意义的条件．

16. 如图，直角三角形中，，于点，平分交于点，交于点，交于点，于，以下4个结论：①；②是等边三角形；③；④中正确的是______（将正确结论的序号填空）

【答案】①③④

【解析】

【分析】连接EH，得出平行四边形EHBG，推出BG=EH，求出∠CEF=∠AFC，得出CE=CF，证△CAE≌△HAE，推出CE=EH，即可得出答案．

【详解】解：如图，连接EH，

∵∠ACB=90°，

∴∠3+∠4=90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=90°，

∴∠B+∠4=90°，

∴∠3=∠B，故①正确；

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∵∠AED=∠CEF，

∴∠CEF=∠AFC，

∴CE=CF，

∴△CEF是等腰三角形，故②错误；

∵AF平分∠CAB，FH⊥AB，FC⊥AC，

∴FH=FC，

在Rt△CAF和Rt△HAF中，

，

∴Rt△CAF≌Rt△HAF（HL），

∴AC=AH，

在△CAE和△HAE中，

，

∴△CAE≌△HAE（SAS），

∴∠3=∠AHE，CE=EH，

∵∠3=∠B，

∴∠AHE=∠B，

∴EH∥BC，

∵CD⊥AB，FH⊥AB，

∴CD∥FH，

∴四边形CEHF是平行四边形，

∴CE=FH，

∴CD=CE+DE=FH+DE，故③正确；

∵EG∥AB，EH∥BC，

∴四边形EHBG是平行四边形，

∴EH=BG，

∵CE=EH，

∴BG=CE．故④正确．

所以正确的是①③④．

故答案为：①③④．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定的难度．

三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）

17. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各数，再根据二次根式的加减运算法则求解即可；

（2）先利用二次根式的性质化简各数，根据二次根式的除法和减法运算法则求解即可．

【小问1详解】

解：原式

；

【小问2详解】

解：原式

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键．

18. 如图，在中，点，分别在，上，且．求证：．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据得出，进而得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可进行解答．

【详解】证明：∵四边形是平行四边形，

∴，，

又∵，

∴，即，

∴四边形是平行四边形，

∴．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形对边相等．

19. 一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米   

（2）梯子的底端在水平方向滑动了8米

【解析】

【分析】（1）AC=25米，BC=7米，根据勾股定理即可求得的长；

（2）由题意得： =20米，根据勾股定理求得，根据即可求解．

【小问1详解】

解：由题意得：AC=25米，BC=7米，∠ABC=90°，

（米）

答：这个梯子的顶端距地面有24米；

【小问2详解】

由题意得： =20米，

（米）

则：=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

20. 已知，，求代数式的值：

（1）；

（2）

【答案】（1）   

（2）17

【解析】

【分析】（1）（解法1）先求得，，再利用平方差公式得到，然后代值求解；（解法2）直接代入利用完全平方公式计算也可；

（2）（解法1），，利用完全平方公式得到，然后代值求解即可．（解法2）直接代入利用完全平方公式计算也可；

【小问1详解】

解法一：，，

，，

解法二：原式=

=

=

【小问2详解】

解法一：，，

，，

．

解法二：

原式=

=

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式并灵活运用是解答的关键．

21. 如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．

（1）求边长，，；

（2）判断的形状，并说明理由．

【答案】（1），，   

（2）是直角三角形，理由见解析

【解析】

【小问1详解】

解：（1），，，

，，；

【小问2详解】

解：是直角三角形，理由如下：

，，，

，

是直角三角形．

【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长，，．

22. 如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，

求 （1）AE的长．（2）折痕EF的长．

【答案】（1）5；（2）2．

【解析】

【分析】（1）根据折叠的性质得到AE=CE，根据勾股定理即可得到结论
（2）先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE=CE，∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF．求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．

【详解】（1）∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，

∴AE=CE，

∴BE=BC-CE=BC-AE=8-AE，

∵∠B=90°，

∴AB2+BE2=AE2，

即42+（8-AE）2=AE2，

∴AE=5；

（2）过点F作FG⊥BC于G，

∵EF是直角梯形AECD的折痕，

∴AE=CE，∠AEF=∠CEF，

又∵AD∥BC，

∴∠CEF=∠AFE，

∵∠CEF=∠AEF，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，

在Rt△ABE中，

设BE=x，AB=4，AE=CE=8-x．x2+42=（8-x）2，

解得x=3，

在Rt△FEG中，EG=BG-BE=AF-BE=AE-BE=5-3=2，FG=4，

∴EF==2．

【点睛】本题考查了翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

23. 阅读并解答问题：

；

；

；

……

上面的计算过程叫做“分母有理化”，仿照上述计算过程，解答下列问题：

（1）将的分母有理化；

（2）已知，，求的值；

（3）计算．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）仿照资料中分母有理化的方法即可求解；

（2）仿照资料中分母有理化的方法分别计算出的值，再的值即可；

（3）仿照资料中分母有理化的方法将代数式化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解．

【小问1详解】

解：原式．

【小问2详解】

解：，，

∴．

【小问3详解】

解：原式

．

【点睛】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化的计算方法，掌握二次根式性质，分母有理化的计算方法是解题的关键．

24. 如图，已知四边形是正方形，点为上一点，，

（1）求证：；

（2）如图2，为上一点，连接，作，交于点，求证：

（3）若为延长线上一点，连接，作，交延长线于点，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3），理由见解析

【解析】

【分析】（1）连接证明可得进一步可得结论；

（2）延长交于，证明得再证明可进一步得出，，再由勾股定理得出，从而得出结论；

（3）延长交于M，证明得从而进一步得出结论．

【小问1详解】

连接如图，

∵四边形在正方形，

∴

∵

∴

∴

∴

又∵

∴

在与中

，

∴，

∴

∴；

【小问2详解】

延长交于，

∴

在与中

，

∴，

∴

∵，

∴

∴,

∴,

∵

∴，

∴，

与中

，

∴

∴．

∴，

∴，

在中，∵，

∴，

∵

∴．

【小问3详解】

理由如下：延长交于M，如图所示，  

  由（2）可知：，

∵，

∴

∴

在与中

，

∴，

∴

∴

∴

∵，

∴．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解答本题的关键．

25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，且、满足，点从点出发沿着射线以每秒个单位的速度运动，运动时间为秒，点关于轴的对称点为点，连接，，

（1）若时，求的长；

（2）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求的值及点的坐标；

（3）记的面积为，的面积为．请用含的式子表示．

【答案】（1）6    （2），或，   

（3）或

【解析】

【分析】（1）过点作于点，根据二次根式和完全平方的非负性求得，

从而有，又由勾股定理得，于是，进而根据对称性即可求解；

（2）分点在线段上与点在线段的延长线上两种情况讨论求解即可；

（3）利用三角形的面积公式，分点在线段上与点在线段的延长线上两种情况讨论求解即可．

【小问1详解】

解：过点作于点，

当时，，

∵，

∴，

∴且，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

又∵

∴

∴

∴−−，

∴，

∵点关于轴的对称点为点，

∴；

【小问2详解】

解：依题意可知

在中，

∴

①当点在线段上时，如下图，

∴

∴，

，

若四边形是平行四边形

则

∴

解得，

∴，

∴；

②当点在线段的延长线上时，如下图，

∴

∴，

，

若四边形是平行四边形

则

∴

解得，

∴，

∴；

【小问3详解】

解：①当点在线段上时，

∵，

∴，

②当点在线段的延长线上时，

∵，

∴．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、等腰三角形的判定、轴对称的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的判定、轴对称的性质以及平行四边形的性质，构造恰当图形是解题的关键．