福建省宁德市福安市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知平面向量，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则的值为（ ）

A. 2B. 3C. D. 5
6. 已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A 外心B. 内心C. 垂心D. 重心
7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B、C两点间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
8. 已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的实部为3B. 的虚部为2
C. D.
10. 已知，，则正确的有（ ）
A. B. 与同向单位向量是
C. 和的夹角是D. 与垂直的单位向量是
11. 下列说法正确的有
A. 在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B. 在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形
C. △ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件
D. △ABC中，若sin A=，则A=
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知向量，若，则
B. 已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为
D. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数是纯虚数，则________．
14. 设的内角所对的边分别为，若，则____．
15. 如图所示，在一个坡度一定的山坡的顶上有一高度为的建筑物，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的处测得，沿山坡前进到达处，又测得，根据以上数据得_________．
16. 已知是边长为的正三角形，点P是的外接圆上一点，则的最大值是______．
四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标;
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ.
18. 设是两个不共线的非零向量 （t∈R）
（1）记，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？
（2）若且与夹角为，那么实数x为何值时的值最小？
19. 在复平面上有点和点，所对的复数是．已知小明在点处休憩，有只小狗沿着所在直线来回跑动．
（1）求的面积；
（2）问：小狗在什么位置时，离小明最近？
20. 已知中，D是AC边的中点．，，．
（1）求AC的长；
（2）的平分线交BC于点E，求AE的长．
21. 已知中内角A，，的对边分别为，，，向量，，为锐角且.
（1）求角的大小；
（2）如果，求的最大值.
22. 已知条件：①；②；③.
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.
（1）求角C大小；
（2）若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.