难点冲刺01 二次函数的六种实际问题-九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

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解二次函数的实际应用问题的一般步骤：
审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）；
设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确；
列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数；
解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题；
检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案；
答：写出答案.
题型一 拱桥问题
【例1】如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽4m，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．则当水面宽为3m时，水位上升了（ ）

A．0.675mB．0.875mC．0.975mD．1.125m
【答案】B
【分析】建立适当的直角坐标系，确定抛物线的解析式即可求解．
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系：

可得抛物线的顶点坐标为
设抛物线的解析式为：
将点代入得：，解得：
∴
令，则
即：则当水面宽为3m时，水位上升了0.875m
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用．建立适当的直角坐标系是解题关键．
【例2】如图，一阵拱桥的跨度长为，拱桥顶部距离水面的高度为，现在以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)抛物线顶点的坐标是______，并求抛物线的表达式．
(2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______．
(3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过?
【答案】(1)，
(2)
(3)货船不能顺利通过此桥洞，理由见解析
【分析】（1）根据题目中给出的拱桥的跨度长为，拱桥顶部距离水面的高度为，先确定顶点坐标；再结合所示坐标系设出对应的函数解析式，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据倒影与拱桥关于轴对称，求出倒影的解析式即可；
（3）把代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：因为拱桥的跨度长为，拱桥顶部距离水面的高度为，
又以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
，
故答案为：；
根据题意设抛物线的解析式为，
把代入解析式得：，
解得：，
∴函数表达式为；
（2）解：∵抛物线在水面中的倒影与抛物线关于x轴对称，
∴倒影所在抛物线开口向上且顶点为，
∴倒影所在抛物线函数表达式为；
故答案为：；
（3）解：货船不能顺利通过此桥洞，理由如下：
因为船宽6米，当船行驶到拱桥中心时，离对称轴左右各3米，
又因为抛物线对称轴为直线 ，
所以由题意得：把代入表达式，得：
，
货船不能顺利通过此桥洞．
【点睛】本题考查二次函数的应用，当桥洞的拱形是抛物线关键是根据坐标系列出相应的函数解析式．
【变式1-1】如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m．若把拱桥的截面图放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 ．

【答案】
【分析】先根据题意和图象得出顶点坐标，然后设出抛物线的顶点式为：，再把代入解析式求出的值即可．
【详解】解：桥洞与水面的最大距离是，且拱桥的跨度为，
抛物线的顶点坐标为，
则可设抛物线的解析式为：，
根据题意和图象把代入解析式可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，解题关键是求出顶点坐标并设出抛物线的顶点式．
【变式1-2】如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明；
(3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大值．
【答案】(1)；
(2)能，理由见解析；
(3)米时，三根“光带”长度之和L的最大值为15米．
【分析】（1）根据所建坐标系知顶点P和与x轴交点M的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是；
（2）根据对称性当车宽2.5米时，或9，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论；
（3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和，再运用性质求最大值，可设点A或点B的坐标表示三段的长度从而得出表达式．
【详解】（1）解：∵，．
∴设这条抛物线的函数解析式为，
∵抛物线过，
∴，解得，
∴这条抛物线的函数解析式为， 即.
（2）当时，，
故能行驶宽2.5米、高米的消防车辆．
（3）设点A的坐标为，则，，
根据抛物线的轴对称，可得：，
∴，即，
令，
当 时，最大值为：，
故当，即米时，三根“光带”长度之和L的最大值为15米．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．关键是首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后利用函数性质解决问题．
【变式1-3】一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．

建立坐标系：
我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单．
【答案】；；；；支柱的长度是；其他方法见解析
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后利用待定系数法求出表达式，然后将代入求出，进而得到的长度．
【详解】解：以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示．

由题意得，，．
设抛物线的解析式为．
把代入，得到，
抛物线的解析式为．
当时，，
；
如图所示，以中点为原点建立平面直角坐标系，

根据题目条件，，，，
将，代入，得
解得：，
，
设，故，
∴，
∴支柱的长度是．
∵第一种方法得到的表达式只有二次项，第一种方法得到的表达式有二次项和常数项，
∴第一种方法更简单．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，求出二次函数解析式时关键．
题型二 图形问题
【例3】用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（ ）

A．8米B．9米C．10米D．米
【答案】B
【分析】设的长为米，则的长为米．表示出窗框的面积，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设的长为米，则的长为米
则窗框的面积
∵
∴当时，窗框的面积最大
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．掌握建模思想是解题关键．
【例4】装潢公司要给边长为6米的正方形墙面进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形，用材料乙进行装潢），两种装潢材料的成本如下表：
设矩形的较短边的长为x米，装潢材料的总费用为y元．
(1)的长为________米（用含x的代数式表示）；
(2)求y关于x的函数解析式；
(3)当中心区的边长不小于2米时，求装潢材料的总费用的最大值及此时中心区的边长．
【答案】(1)
(2)
(3)装潢材料的总费用的最大值为1760元，此时中心区的边长2米
【分析】（1）用大正方形的边长减去两个矩形的短边长可求解；
（2）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，米，
故答案为：；
（2）解：由题意，米，米，
则装潢材料的总费用
，
即y关于x的函数解析式为；
（3）解：∵中心区的边长不小于2米，
∴，则，
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
当时，y有最大值，最大值为，
答：装潢材料的总费用的最大值为1760元，此时中心区的边长2米．
【点睛】本题考查二次函数的几何应用，理解题意，找到题中隐含等量关系列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
【变式2-1】如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先添加辅助线，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面积公式得出面积与之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解．
【详解】如图，过点作于点，易得：四边形为矩形，

∴，
，
设，
∴，，
∴，，
则四边形的面积为：
，
整理得：，
∴当长为时，储料场 的面积最大为．
故选：．
【点睛】此题考查了梯形的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用，利用梯形的面积建立二次函数是解题的关键．
【变式2-2】某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图②，以下简称水池2）.如果设水池的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，设水池2的边的长为，水池2的面积为.

(1)直接写出，关于x的函数解析式.
(2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值.
(3)当时，设，求W的最大值和此时x的值.
【答案】(1)，
(2)当或时，水池1与水池2的面积相等
(3)当时，最大，最大值为
【分析】（1）根据长方形的面积公式解答即可；
（2）当时，可得关于x的方程，解方程即得答案；
（3）根据二次函数的性质求解即可
【详解】（1），
（2）当时，，
解得，，
∴当或时，水池1与水池2的面积相等；
（3）当时，，
∵，
∴当时，最大，最大值为.
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键.
【变式2-3】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地，为美化环境，用总长为100米的篱笆围成三块面积相等的矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．当矩形的边为多长时，矩形区域的面积最大？其最大面积是多少？

【答案】米时，最大面积为：平方米．
【分析】设，求解，，再建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：设，矩形，矩形，矩形，
∴，，，，，
∵矩形，矩形，矩形的面积相等，
∴设，，
∴，
同理可得：，
∴，
∴矩形区域的面积
，
由，解得：，
当时，矩形面积最大，
最大面积为：（平方米）．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，准确的建立二次函数的解析式是解本题的关键．
题型三 销售利润问题
【例5】为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（ ）
A．1800B．1600C．1400D．1200
【答案】B
【分析】设出与的函数关系式，把，代入求出关系式，再根据题意列出利润的二次函数关系式，根据二次函数的性质和实际情况求解最大值即可．
【详解】提示：设与的函数关系式，把，代入，
得，解得，
∴，
由题意得，
∵，开口方向向下，
∴当时，随的增大而增大，
又∵，
∴时，（元）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意列出相关函数关系式是解题的关键．
【例6】金秋十月，梁子湖区成功获评“国家生态文明建设示范区”，以生态环境保护与绿色经济共赢的特色吸引各地游客纷纷前来观光．梁湖超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
(2)若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为
(2)销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元
【分析】（1）设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为，
将点代入一次函数表达式，用待定系数法即可求解；
（2）根据利润=每千克的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为，
由图象得：，
解得：，
∴每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为；
（2）解：，
∴函数的对称轴为直线，
∵，，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，W有最大值，最大值为2000，
∴销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式3-1】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是元，经市场预测，销售单价为元时，可售出个；面销售单价每涨元，销售量将减少个，设每个销售单价为元．
(1)写出销售量件和获得利润元与销售单价元之间的函数关系；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于元，且商场要完成不少于件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)8640
【分析】（1）根据面销售单价每涨元，销售量将减少个，求出销售量件与销售单价元之间的函数关系，利用总利润等于单件利润乘以销量，列出获得利润元与销售单价元之间的函数关系；
（2）根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，利用二次函数求最值解决问题．
【详解】（1）解：设每个销售单价为元，由题意，得：
；
；
（2）由题意，得：，
∴；
∵，
∴当，随着的增大而增大，
∴时，取最大值，为：；
答：最大利润为元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解．
【变式3-2】水果商店经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
(3)为了响应脱贫致富攻坚战，商场决定每卖出1千克捐赠m元给贫困山区学生，设每千克涨价x元后，若要保证当时，每天盈利随着x的增加而增大，求m的取值范围．
【答案】(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克应涨价5元；
(3)
【分析】（1）由题意设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，进而即可求得每次下降的百分率；
（2）根据题意设每千克应涨价y元，根据总盈余=每千克盈余×数量列方程，即可求解；
（3）由题意设扣除捐赠后的每天盈利为S元，进而根据，结合函数开口向下，对称轴在的右侧得出的取值范围．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x，则，
解得：，
∵，
∴，
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价y元，则
解得：，
∵，
∴，
答：每千克应涨价5元；
（3）设扣除捐赠后的每天盈利为S元，
，
∵当时，S随x的增大而增大，
∴，解得，
∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找到题目中的等量关系并列出方程求解是解答本题的关键．
【变式3-3】某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，．
(1)求，的值；
(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式．
当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?
当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)，；．
【分析】（）用待定系数法求出，的值即可；
（）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值；
当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．
【详解】（1）把时，；时，代入得：
，解得：，；
（2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，，
∴，
，
，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；
当时，，
∴，
∴，
则与的函数图象如图所示：

由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，
∴当，时，，
当，时，，
∴的取值范围．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
题型四 方案设计问题
【例7】某商场要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现：当销售单价为元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
(1)写出每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，有最大值，最大值是多少？
(2)商场的营销部结合上述情况，提出了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过元；方案乙：每天销售量不少于件，且每件文具的利润至少为元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
【答案】(1)，有最大值，当时，最大值为；
(2)甲方案最大利润最高．
【分析】（1）根据题意列出函数关系式，再通过配方即可求解；
（2）根据二次函数在自变量取值范围内的最值问题即可求解．
【详解】（1）由题意得：，
，
，
∵，
∴有最大值，当时，最大值为；
（2）甲方案最大利润最高，理由如下：
甲方案：，把代入函数表达式，
最大值为，
乙方案：，
解得：，
当时，有最大值为，
∵，
∴甲方案最大利润最高．
【点睛】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，解题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型，注意在自变量的取值范围内求最值．
【例8】根据以下提供的素材，完成任务．
如何制定商店的销售定价方案
根据以下商店提供的信息，请你设计一个合适的商品定价方案．
素材一：商品成本：元/件，每天进货件，并且全部卖出；商品有两种包装，目前的售价和日销量如下表：
素材二：
为了增加盈利，该商店准备降低包装商品的售价，同时提高包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，包装商品售价每降低元可多卖出件，包装商品售价每提高元就少卖出件．商店发现若按照当前的总销量销售两种包装商品，最大总利润为元．
素材三：
销售一段时间后，商店发现若减少两种包装商品的总销量，两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将两种包装商品的总销量减少件．
【问题解决】
任务一：探究商品销量
设每件包装商品售价降低元（为整数），用含的代数式表示降价后包装商品每日的总销售量为________件．
任务二：探究商品售价
在每日两种包装商品的总销量为件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时两种包装商品的售价．
任务三：确定定价方案
请设计一种两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过元．（直接写出方案即可）
【答案】；包装商品的售价为元，包装商品的售价元；包装商品的售价为元，包装商品的售价为元
【分析】任务一：探究商品销量：根据题目中包装商品售价每降低元可多卖出件，由此即可求解；
任务二：探究商品售价：设每件包装商品售价降低元（为整数），利润为，可用含的式子表示包装商品的售价和日销售量，设包装商品售价提高元（为整数），利润为，则用含的式子表示包装商品的售价和日销售量，根据题意即可求解；
任务三：确定定价方案：根据任务一、二的信息可得包装商品的售价，销量，包装商品的售价，销量，根据数量关系，列不等式即可求解．
【详解】解：任务一：探究商品销量
每件包装商品的售价是元/件，日销售量为件，设每件包装商品售价降低元（为整数），
∴降价后包装商品的售价为元，
∵包装商品售价每降低元可多卖出件，
∴降价后包装商品的日销售量为件，
故答案为：；
任务二：探究商品售价
由任务一可知，设每件包装商品售价降低元（为整数），则降价后包装商品的售价为元，降价后包装商品的日销售量为件，设包装商品的利润为，
∴包装商品的利润为，
同理，设每件包装商品售价提高元（为整数），则提价后包装商品的售价为元，提价后包装商品的日销售量为件，设包装商品的利润为，
∴包装商品的利润为，
∵每日两种包装商品的总销量为件，
∴，则，即降低的价格等于提高的价格，
∵总利润达到最大，最大总利润为元，
∴，且，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∴，即降价元，提价元，
∴包装商品的售价为（元），包装商品的售价为（元），
∴包装商品的售价为元，包装商品的售价元；
任务三：确定定价方案
由任务一可知，包装商品的销售量为件，售价为元/件，
将两种包装商品的总销量减少件，则每日两种包装商品的总销量为件，
假设包装商品销量不变，包装商品销量减少件，则售价增加了元，售价为（元），销量为件，
∴总利润为，解得，，
∴当时，包装商品的售价为（元），包装商品的售价为（元），
∴包装商品的售价为元，包装商品的售价为元．
【点睛】本题主要考查销售与方程的综合运用，理解题目中的数量关系，掌握方程与实际问题的综合运用，解方程的方法等知识的综合是解题的关键．
【变式4-1】某商场准备购进A、B两种商品进行销售，已知一件A种商品的进价比一件B种商品的进价多10元，且用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍．
(1)每件A种和B种商品的进价分别为多少元？
(2)该商场欲购进A，B两种商品共250件进行销售，其中A种商品件数不小于20件，且不大于B种商品件数．
若B种商品的售价定为210元/件，A种商品的售价与A种商品销量之间的关系如下表所示：
商场购进这两种商品能全部售出的前提下，请求出该商场销售这两种商品能获得的最大利润，并求出此时的进货方案．
【答案】(1)每件A种商品的进价160元，每件B种商品的进价为150元
(2)该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品进230件
【分析】（1）设每件A种商品的进价x元，则每件B种商品的进价为元，根据：用16000元采购A种商品件数是用7500元采购B种商品件数的2倍，即可列出关于x的方程，解方程并检验后即得答案；
（2）由表格中的数据可知：A种商品的售价y与A种商品销量m满足一次函数关系，利用待定系数法求出其关系式，再根据利润=两种商品的利润之和，列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质解答.
【详解】（1）解：设每件A种商品的进价x元，则每件B种商品的进价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是方程的根，
，
答：每件A种商品的进价160元，每件B种商品的进价为150元.
（2）解：设销售A种商品销量m件，则销售B种商品件，
根据题意可得：，
解得，
由表格中的数据可知：A种商品的售价y与A种商品销量m满足一次函数关系，设为，
由题意可得；，解得，
∴，
设获得的利润w元，
则
，
∵，
∴当时，w随m的增大而减小，
∵，
∴当时，w有最大值为元；
此时进货方案为：A种商品进20件，B种商品进230件；
答：该商场销售这两种商品能获得的最大利润为14600元，此时的进货方案是A种商品进20件，B种商品进230件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数和二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、学会构建方程或函数是解题的关键．
【变式4-2】某公司准备推出一种水杯，经过市场调查发现，该水杯前期的日销售情况如下：进价每个20元，每天销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系：
(1)求销售单价为多少元时，该水杯每天的销售利润最大；
(2)经市场反馈，售价高于25元时，若每个水杯每涨价1元，每天要少卖出10个，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案：方案A：每个水杯涨价不超过5元；方案B：每个水杯的利润至少为16元．哪种方案的最大利润较大，并说明理由．
【答案】(1)当销售单价为元时，该水杯每天的销售利润最大
(2)方案的最大利润较大，理由见解析
【分析】（1）设销售利润为，得，根据二次函数的性质即可求解．
（2）分别求出两种方案的最大值，进而即可求解．
【详解】（1）解：设销售利润为，根据题意得，
，
当时，该水杯每天的销售利润最大
∴当销售单价为元时，该水杯每天的销售利润最大
（2）方案：设销售利润为，设涨价元，；
当售价为元时，销售量为个，
∴当时，取得最大值为，
由（1）可得，
方案：销售单价为:，利润为:（元）
∴方案的最大利润较大
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式4-3】冰墩墩和雪容融是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，据反馈冰墩墩、雪容融玩偶一经上市，非常畅销，小许选两款玩偶各50个，决定在网店进行销售．售后统计，一个冰墩墩玩偶利润为30元/个，一个雪容融玩偶利润为5元/个，调研发现：冰墩墩的数量在50个的基础上每增加3个，平均每个利润减少1元；而雪容融的利润始终不变；小许计划第二次购进两种玩偶共100个进行售卖．设冰墩墩的数量比第一次增加个，第二次冰墩墩售完后的利润为元．
(1)用含的代数式表示第二次冰墩墩售完后的的利润；
(2)如何安排购买方案，使得第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元
【分析】（1）由题意第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，根据利润=一个利润×数量，即可求得第二次冰墩墩售完后的的利润；
（2）由题意知，第二次购买雪容融的数量为个，根据两种玩偶销售利润的和得关于x的函数式，然后求最大值即可．
【详解】（1）由题意，第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，平均每个的利润减少元，则第二次冰墩墩售完后的的利润；
整理得：．
（2）第二次购进冰墩墩的数量为（50+x）个，第二次购买雪容融的数量为个，
∴第二次售卖两种玩偶的销售利润
,
∴,
由题意知，x为正整数，所以当x=12或13时，w最大，最大值为1802；
当x=12时，50+x=62，50-x=38；当x=13时，50+x=63，50-x=37；
即购进冰墩墩62个，雪容融38个或购进冰墩墩63个，雪容融37个时，第二次售卖两种玩偶的销售利润最大，最大利润是1802元．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意是解题的关键．
题型五 抛物线型轨迹问题
【例9】一位运动员在距篮圈中心（点）水平距离处竖直跳起投篮（为出手点），球运行的路线是抛物线的一部分，当球运行的水平距离为时，达到最高点（点），此时高度为，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心（点）到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设抛物线的表达式为，根据题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，然后将代入抛物线解析式，得，再由即可求解．
【详解】解：如图所示，以水平面所在的直线为x轴，以过点B且与水平面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线的表达式为，
∵抛物线经过，
∴
∴，
∴抛物线的表达式为，
当时，，
，
∴球出手时，他跳离地面的高度是，
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的相关知识，利用二次函数解决抛物线形的实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上是解题关键．
【例10】学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点B距台面的距离为，且B、D、H三点共线．小王在距离台面处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：根据题意：所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，，，，
将点坐标代入解析式得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
【变式5-1】某班级在一次课外活动中设计了一个弹珠投箱子的游戏（长方体无盖箱子放在水平地面上）．同学们受游戏启发，将弹珠抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（x轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，矩形为箱子的截面示意图），某同学将弹珠从处抛出，弹珠的飞行轨迹为抛物线(单位长度为)的一部分，且当弹珠的高度为时，对应的两个位置的水平距离为．已知，，．

(1)求抛物线L的解析式和顶点坐标．
(2)请判断该同学抛出的弹珠是否能投人箱子．若能，请通过计算说明原因；若不能，在不改其它条件的情况下，调整的高度，使得弹珠可以投入箱子，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据题意可求出的长，将点的横坐标代入解析式．
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线过点，
将把点，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点坐标为；
（2），
．
，
，
即点．
，，
．
点，，．
当时，，
，
该同学抛出的弹珠不能投入箱子；
若调整的高度，使得弹珠可以投入箱子，的取值范围为．
【点睛】本题属于二次函数的应用，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题．
【变式5-2】某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为x米，距地面的竖直高度为y米，获得数据如表：
小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)水流的最高点距喷水枪的水平距离为_________米；
(3)结合函数图象，解决问题：若公园准备在距喷水枪水平距离为米处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_________米．（精确到米）
【答案】(1)函数的图像见解析
(2)2
(3)
【分析】（1）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，用光滑的曲线顺次连接即可；
（2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，把抛物线的解析式化成顶点式，即可得到答案；
（3）把代入（2）中求出的抛物线的解析式即可求得答案．
【详解】（1）解：函数图象如图所示：

（2）解：∵ 喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分，
∴设抛物线的解析式为，
任取三组抛物线点的坐标，分别代入得，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴当时，y取最大值5，
故水流的最高点距喷水枪的水平距离为．
故答案为：2．
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴石柱的高度为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用问题，也考查了描点法画函数图象、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．
【变式5-3】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案；
（3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为，
∵水柱关于轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为．
（2）解：当函数值时，有，
解得，，
结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）解：当时，，
喷出水柱的形状不变，水池的高度不变，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该函数图象过点，
，
解得，
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该抛物线的顶点坐标为，
故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式．
题型六 图形运动问题
【例11】如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：正方形边长为4，
，
是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意
但是的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
【例12】如图，等腰直角三角形的直角边与正方形的边都在直线上（点与点重合），且它们都在直线同侧，，现等腰直角三角形以每秒1个单位的速度从左到右沿直线运动，当点运动到与点重合时运动结束．设运动时间为，与正方形重叠部分的面积为．
(1)请直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，求的值为10或．
【分析】（1）当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是一个以为长的等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行计算即可得出答案；当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积为梯形，根据梯形的面积公式进行计算即可；
（2）把分别代入（1）中的式子进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积是一个以为长的等腰直角三角形，
，
则，
即当，，
当点由点运动到点时，与正方形重叠部分的面积为梯形，
，
则，，，
即当，，
∴综上所述：；
（2）解：当，时，，
解得；
当，时，，
解得；
综上，当时，求的值为10或．
【点睛】本题主要考查了实际问题与二次函数，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解决问题的关键．
【变式6-1】如图，在中，平分，过点D作的平行线交的延长线于点C，连接．

(1)求证：四边形是菱形．
(2)如果，（）的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求的长．
(3)若动点M从A出发，沿AC以的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿以的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，的面积为．
【答案】(1)见解析
(2)5
(3)秒，秒，秒
【分析】（1）根据题意，先证明四边形是平行四边形，再用邻边相等证明菱形即可；
（2）解方程可得，的长，用勾股定理即可求的长；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论即可解答．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∴是等腰三角形，则，
又∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：解方程，
得，，
又∵，
∴，，
∴；
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，的面积为，
当点M在上时，即时，
,
解得：，（大于2，舍去）；
当点M在上且点N在上时，即时，
，
解得：；
当点M在上且点N在上时，即时，
，
解得：，（小于3，舍去）；
综上所述，M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，一元二次方程的应用，三角形的面积计算方法，属于综合类题，解题的关键是运用分类讨论的数学思想及熟练掌握以上知识点．
【变式6-2】如图，在中，，，cm．点从点出发，以2cm/s的速度沿边向终点运动．过点作交折线于点，为中点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积是y（cm），点的运动时间为x（s）．

(1)当点在边上时，正方形的边长为 cm（用含的代数式表示）；
(2)如图当点不与点重合时，求点落在边上时的值；
(3)当时，求关于的函数解析式；并求出为何值时，为最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)关于的函数解析式为或或；当时，有最大值
【分析】（1）根据已知条件得到，求得，由于为中点，于是得到；
（2）如图①，延长交于，由题意得，由于为中点，得到，求得，列方程于是得到结论；
（3）如图②，当时，根据正方形的面积公式得到；当时，过作于，交于，则，根据正方形和三角形面积公式得到关于的函数解析式，求出最大值；当时，，根据三角形的面积公式得到关系式即可．
【详解】（1）解：，，，
，
，
为中点，
，
故答案为：；
（2）如图①，延长交于，由题意得，

为中点，
，
，
，
；
（3）分三种情况：
如图②，当时，，

；
如图③，当时，过作于，交于，则，

，，
，，
，
，
；
当时，有最大值；
如图④，当时，，

，
，
，
；
综上所述，关于的函数解析式为或或；当时，有最大值．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算、二次函数、以及分类讨论等知识；正确的作出图形是解题的关键，注意分类讨论．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1) ， ；
(2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标．
【答案】(1)2，3
(2)当时，四边形的面积最小，最小值为4
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B，
则 ，
解得：；
故答案为：2；3；
（2）令，则有，即有；
∵，，，
∴，，即，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由点P、Q的运动可知：，，
结合，可得：，
即：，
过点P作轴，垂足为H，如图，
∴，即，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且，
∴即，，
∴当时，四边形的面积最小，最小值为4；
（3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1），
根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称，
连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求，

∵，，
∴利用待定系数法可得直线的解析式为：，
当时，．
即点M的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
1．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．
【详解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为
将代入可得：
解得
即解析式为
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式．
3．（2022秋·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）行驶中的汽车刹车后行驶的距离y（单位：米）与行驶的时间x（单位：秒）的函数关系式是，那么汽车刹车后到静止所需时间为 秒，刹车后汽车行驶的距离为 米.
【答案】
【分析】根据二次函数的顶点坐标的纵坐标即可求解．
【详解】解：

当时，y取得最大值，即，
故汽车刹车后到静止所需要的时间为秒，刹车后行驶的距离为米，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是运用二次函数的最值解决问题．
4．（2022秋·陕西宝鸡·九年级校考期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙（足够长），其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设每间羊圈垂直于墙的一边长为，三间羊圈的总面积，则关于的函数解析式是 ，的取值范围是 ，当 时，最大．
【答案】 / 3
【分析】先根据栅栏的总长度表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为，再根据长方形的面积公式表示即可得到关于的函数关系式；结合图形，列出关于的不等式组，解之即可求出的取值范围；利用二次函数的顶点公式即可求得开口向下的抛物线的最大值及对称轴，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该农场计划用木材围成总长的栅栏，每间羊圈垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，
所以，关于的函数解析式是，
由图可知，解得，
所以，的取值范围是，
因为，
所以，当时，三间羊圈的总面积最大．
故答案为：，，3．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数解决实际问题，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键．
5．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，是高度为3米的防御墙．若以点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
【答案】(1)
(2)能
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把代入，求得y的值，与6作比较即可．
【详解】（1）解：∵发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米，
∴设石块运行的函数关系式为，由图象可知，抛物线过点，
把代入，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∵，
∴能飞越防御墙．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的列出二次函数解析式，是解题的关键．
6．（2022秋·贵州毕节·九年级校考期中）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种商品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数表达式；
(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大?
【答案】(1)
(2)该商品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大
【分析】（1）根据每天的利润等于每千克的利润乘以每天的销售量，可得w关于x 的函数关系式；
（2）将配方，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
故w与x的函数表达式为：；
（2）解：，
，
当时，w取最大值．
即该商品销售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本、利润的基本数量关系及二次函数的相关性质是解题的关键．
7．（2022秋·福建三明·九年级校考期中）如图，一小球（看做一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画、若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的表达式；
(2)小球落点为，求点的坐标；
(3)在斜坡上的点有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)若过点作轴的垂线，交斜坡于点，则线段的最大值为____．（直接写出答案）
【答案】(1)；
(2)；
(3)小球能飞过这棵树；
(4)．
【分析】（1）根据小球到达的最高的点坐标为，设，把代入得，，即可求出抛物线的表达式；
（2）点A在一次函数又在抛物线上，即解方程，得，，即可求出点A的坐标；
（3）依题意，把分别代入一次函数和抛物线，求出y值，再进行比较即可作答；
（4）设点M坐标为，那么点N坐标，记线段的长度为，然后根据二次函数的图像性质作答即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）解：解方程，得，，
当时，，
所以；
（3）解：当时，，
，
∵，
∴小球能飞过这棵树；
（4）解：设点M坐标为，
那么点N坐标，
记线段的长度为，
因为，所以在上，有最大值，
则
线段的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，正确掌握二次函数的图象性质是解题的关键，本题难度适中．
8．（2023秋·山东济宁·九年级校考期末）崇阳县“众望科工贸有限公司”生产的“众望小麻花”色香味美，老少皆宜，深受消费者青睐，“青嬣超市”从该公司购进“众望小麻花”进行销售，每箱进价30元，超市将销售价定为每箱40元时，每月可以卖出100箱，销售一段时间后发现，销售价每箱提高5元，每月就会少卖10箱．
(1)直接写出每月的销售量y（箱）与销售价格x（元/箱）之间的关系式；
(2)“青嬣超市”计划涨价销售，请你帮助超市计算一下，每箱销售价格为多少时，每月的销售利润最大，最大月销售利润为多少？
(3)疫情期间，相关部门严格督查稳定物价，要求超市的利润不得超过平时的，可由于防控交通不便等原因，“众望科工贸有限公司”的生产成本提高，“青嬣超市”的每箱麻花进价上涨了a元，该期间月销售量与销售价格仍然满足（1）中的函数关系，结果当月超市获得最大销售利润元，求a的值．
【答案】(1)
(2)每箱销售价格为元时，每月的销售利润最大，最大月销售利润为元．
(3)当月超市获得最大销售利润元，进价上涨了元．
【分析】（1）根据题意列出表达式即可；
（2）设销售利润为w，据题意，即可求解；
（3）据题意，对方程进行变换即可求解；
【详解】（1）解：根据题意得，
∴．
（2）设销售利润为w，
据题意，
∴每箱销售价格为元时，每月的销售利润最大，最大月销售利润为元．
（3）
，
∵，
∴，
∴当月超市获得最大销售利润1500元，进价上涨了5元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，正确列出函数表达式是解题的关键．
9．（2023秋·广西南宁·九年级三美学校校考期中）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
【答案】(1)
(2)第40天利润最大，最大利润为7200元
(3)共有46天利润不低于5400元
【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为元，则当时，；当时，，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）根据和时，由求得的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．
【详解】（1）解：与成一次函数，
设，将，，，代入，得：
，
解得：．
所以关于的一次函数表达式为；
（2）设销售该产品每天利润为元，关于的函数表达式为：
，
当时，，
，
当时，有最大值，最大值是7200；
当时，，
，
随增大而减小，即当时，的值最大，最大值是6000；
综上所述，当时，的值最大，最大值是7200，
即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；
（3）当时，由可得，
解得：，
，
；
当时，由可得，
解得：，
，
，
综上，，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．
10．（2022秋·山西阳泉·九年级校联考期末）如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．

(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数解析式为：
(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米
(3)
【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式；
（2）设运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：，解出即可；
（3）求出山坡的顶点坐标为，根据题意即，再解出的取值范围即可．
【详解】（1）由题意可知抛物线过点和，将其代入得：
，
解得，
∴抛物线的函数解析式为：；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
，
整理得：，
解得：，（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米；
（3），
当时，运动员到达坡顶，
即，
解得：．
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
11．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）抛物线的顶点为，与轴交于点和（点在点的右侧），与轴交于点，直线是抛物线的对称轴．
(1)当时，求顶点P的坐标；
(2)将抛物线向左平移1个单位长，向上平移2个单位长，所得抛物线的顶点恰好与点C重合，求平移后所得抛物线的解析式；
(3)设E是直线上的一点，F是直线上的一点，若四边形的三边的最小值为5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）化成顶点式即可求得；
（2）求得的坐标以及顶点的坐标，即可得到平移后的顶点为，根据题意得到，求得，然后根据顶点坐标写出解析式即可；
（3）如图，作点关于直线的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点，连接与直线交于点，与对称轴交于点，此时的最小．求出线段即可．
【详解】（1）解：当时，抛物线
顶点的坐标为；
（2）解：由抛物线可知，点为，
，
顶点为，
将抛物线向左平移1个单位长，向上平移2个单位长，所得抛物线的顶点为，
点恰好与点重合，
，
顶点为
平移后所得抛物线的解析式
（3）解：，
，
如图，作点关于直线的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点，连接与直线交于点，与对称轴交于点，此时最小．

，
过点作，过点作于点，
，
在中，，
，
整理得，，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、最短问题等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法求得函数解析式，熟练掌握轴对称的性质，属于中考压轴题．
12．（2022秋·四川成都·九年级成都实外校考期中）王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间(单位：分)钟与学习收益量的关系如图所示，用于回顾反思的时间(单位：分钟)与学习收益量的关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

(1)求王亮解题的学习收益量与用于解题的时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求王亮回顾反思的学习收益量与用于回顾反思的时间之间的函数关系式；
(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这分钟的学习收益总量最大？（注：学习收益总量解题的学习收益量回顾反思的学习收益量）
【答案】(1)；
(2)；
(3)王亮用于解题的时间为分钟，用于回顾反思的时间为分钟时，学习收益总量最大
【分析】（1）设代入可得k与y的值；
（2）当时，设，代入可得，则可以求出y的解，当时，；
（3）根据题意可得可推出z随着x的增大而减小．
【详解】（1）解：设，
把代入，得．
．
自变量的取值范围是：．
∴；
（2）解：当时，设，
把代入，得，．
∴．
当时，．
即；
（3）解：设王亮用于回顾反思的时间为分钟，学习效益总量为，
则他用于解题的时间为分钟．
当时，．
∴当时，．
当时，．
∵Z随的增大而减小，
∴当时，，
综合所述，当时，，此时．
即王亮用于解题的时间为分钟，用于回顾反思的时间为分钟时，学习收益总量最大．
【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，特别是分段函数中自变量的取值范围问题，综合性较强．
材料
甲
乙
价格（元/米2）
50
40
售价（元/千克）
40
50
60
销售量（千克）
120
100
80
包装
包装
售价（元/件）
日销售量（件）
A种商品的销量
0
5
10
15
20
……
A种商品的售价
240
230
220
210
200
……
x（米）
y（米）
时间（第天）
1
3
6
10
日销售量件）
198
194
188
180
时间（第天）
销售价格（元件）
100