热点专题05 概率初步（10个热点）-九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

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考点一、事件类型
1.必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
2.不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
3.不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.
说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.
（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即(必然事件)；
②不可能事件发生的概率为0,即（不可能事件）；
③如果为不确定事件，那么
考点二、概率
1.定义：一般地，对于一个随机事件，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率，记为．
（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率.
（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值.
2.概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为．
（1）一般地，所有情况的总概率之和为1;
（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个;
（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等;
（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0;
（5）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．
3.求概率方法：
（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用.等可能性事件的概率可以用列举法而求得.但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法;
（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用;
（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用.
考点三、频率与概率
1.频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数.
2.频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率.
3.一般地，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么，这个常数就叫作事件的概率，记为.
题型一事件的分类
【例1】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球
B．蒙上眼睛射击正中靶心
C．打开电视机，正在播放综艺节目
D．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾
【例2】下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起B．通常加热到时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【变式1-1】在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（ ）
A．百步穿杨B．瓮中捉鳖C．守株待兔D．水中捞月
【变式1-2】如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关
【变式1-3】成语“守株待兔”反映的事件是 事件（填必然、不可能或随机）．
题型二事件可能性的大小问题
【例3】在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．用长为，，三根木棒做成一个三角形
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．东台五一节当天的最高温度为30℃
D．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
【例4】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ．
【变式2-1】一个不透明的袋子中装有9个小球，其中4个红球，2个黑球，2个白球，1个蓝球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球可能性最大的是（ ）
A．红球B．黑球C．白球D．蓝球
【变式2-2】一个不透明的口袋里有4个黄球和4个红球，除颜色不同以外其余均相同，从口袋中任意提出1个球，要使摸出黄球的可能性大于摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）．
A．拿出2个黄球B．拿出2个红球C．放入2个白球D．放入2个红球
【变式2-3】盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．
(1)摸到红球是不可能的；
(2)摸到红球是必然的；
(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．
题型三概率公式的计算
【例5】如图，A是某景区的入口，B，C，D，E是四个不同的出口，小红从A处进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她从D出口离开的概率是（ ）

A．B．C．D．
【例6】一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球．
(1)若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为______________；
(2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？
【变式3-1】任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是偶数的概率是 ．
【变式3-2】一个不透明口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，小明通过大量摸球试验后，发现摸到红球的频率为，则估计红球的个数约为 ．
【变式3-3】在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干个黑球，它们只有颜色不同．若摸出一个球是黑球的概率是，则布袋中黑球的个数有 ．
题型四几何概率
【例7】如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例8】如图，是一块草地，将阴影部分修建为花圃，已知，阴影部分是的内切圆，一只小鸟将随机落在这块草地上，则小鸟落在花圃上的概率为 ．

【变式4-1】如图，转盘中阴影部分扇形的面积为，转盘所在圆的半径为2，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 ．

【变式4-2】如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的概率是 ．
【变式4-3】如图，在边长为4的正方形中，分别以四个顶点为圆心，以2为半径画圆弧，若随机向正方形内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒落在图中阴影部分的概率为 ．

题型五有关卡片及转盘的概率问题
【例9】甲、乙两盒中各有3张卡片，卡片上分别标有数字和，这些卡片除数字外都相同．把卡片洗匀后，从甲、乙两盒中各任意抽取1张，并把抽取得卡片上的数字分别作为平面直角坐标系中的一个点的横坐标、纵坐标．
(1)列出这样的点所有可能的坐标（用画树状图或列表法求解）；
(2)计算这些点落在直线上的概率．
【例10】有一个转盘如图，让转盘自由转动两次，求
(1)第一次指针落在白色区域的概率为__________．
(2)用画树状图或列表法求指针一次落在白色区域，另一次落在灰色区域的概率．
【变式5-1】为纪念杭州第19届亚运会成功举办，小东收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小东从中随机抽取一张卡片是“亚运会会徽”的概率是__________；
(2)小东从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的两张卡片恰好是“吉祥物莲莲”和“吉祥物琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母A，B，C，D表示）
【变式5-2】有四张完全一样正面分别写有汉字“吉”、“林”、“七”、“中”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，请用列表法或者画树状图法求抽取的两张卡片上的汉字相同的概率．
【变式5-3】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，则当作指向右边的扇形）．

(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．
(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”，用列表法（或树状图法）求两人“英雄所见略同”的概率．
题型六有关摸球的概率问题
【例11】一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的3个小球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
(1)求袋子中白球的个数；
(2)随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【例12】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“我”、“爱”、“中”、“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇均匀．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“爱”的概率是多少？
(2)从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“中国”的概率．
【变式6-1】在抽奖现场，一个不透明的袋中装有个红球，个黄球，个白球，个黑球，从袋中随机摸出个球，摸到红球表示抽中一等奖，奖金元；摸到黄球表示抽中二等奖，奖金元；摸到白球表示抽中三等奖，奖金元；摸到黑色表示未中奖．小明有两次抽奖机会，第次摸出球后，放回袋中并摇匀，再摸第次．求小明两次获得奖金不低于元的概率．
【变式6-2】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．
(1)从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为___________；
(2)从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．
【变式6-3】一只不透明的袋子中装有4个除了颜色外都相同的小球，其中两个红球、一个黄球、一个绿球．搅匀后先从中摸出1个小球（不放回），再从余下的当中摸出一个小球，如果红球代表A种矩形纸片，黄球代表B种矩形纸片，绿球代表C种矩形纸片，通过画树状图或列表求两次摸出的小球代表的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）
题型七有关电路和数字的概率问题
【例13】如图所示的电路图中，当随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡能发光的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例14】从1、、2这三个数中任取两个数，其中一个数记为，另一个数记为，则点恰好落在一次函数的图象上的概率为 ．
【变式7-1】在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【变式7-2】设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
【变式7-3】已知代数式．
(1)化简代数式；
(2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．
题型八有关比赛的概率问题
【例15】在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（ ）
A．两次求助都用在第1题B．两次求助都用在第2题
C．在第1第2题各用一次求助D．两次求助都用在第1题或都用在第2题
【例16】2023年10月15日上午，我校迎来了重量级嘉宾一曼联传奇球星，英超欧冠双料射手王德怀特·约克和陕西长安联合足球俱乐部优秀球员糜昊伦，与同学们面对面交流指导．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，初一年级体育组在第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级、、、进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛．
(1)抽第一张卡片时，抽到班的概率为________；
(2)请用树状图或者列表法求出半决赛中班与班进行比赛的概率．
【变式8-1】为了迎接江西师大附中八十周年校庆，政教处组织开展“校史知识竞赛”，某班准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表班级参加比赛．
(1)如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是______．
(2)用列表法或树状图法表示出所选代表的所有可能结果，并求出所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【变式8-2】2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目。小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为、、、四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在区观赛的概率为______；
(2)求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【变式8-3】2023年10月26日11时14分神州十七号载人飞船成功发射．2023年，中国航天开启高质量、高效率、高效益发展新征程，中国人探索太空的脚步将迈得更稳更远!为激发学生弘扬爱国奋斗精神，以航天英雄为榜样，不断攀登新的科学高峰，阳光中学举办以“相约浩瀚太空，逐梦航天强国”为主题的演讲比赛．九（1）班的李晓和王颜都想参加比赛，他们演讲水平相当，但名额只有一个．为了公平起见，班委决定通过转动转盘来决定人选．如图给出A，B两个均分且标有数字的转盘，规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，两个指针所指区域的数字之和为2时，李晓获胜；数字之和为5时，王颜获胜，其他情况视为平局．（若指针恰好指在分割线上，则重转，直到指针指向某一区域为止）

(1)用画树状图或列表法求李晓获胜的概率；
(2)这个游戏规则对双方公平吗?请判断并说明理由．
题型九利用频率估计概率
【例17】在一个不透明的袋子里装有若干个白球和个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回搅匀，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则袋中白球约有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【例18】在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个．
【变式9-1】某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【变式9-2】圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究，目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位，有学者发现，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字为的概率为 ．
【变式9-3】为了解某花卉种子的发芽情况，研究所工作人员在相同条件下，对该花卉种子进行发芽试验，相关数据记录如下：
根据以上数据，可以估计该花卉种子发芽的概率为 （结果精确到）．
题型十统计概率的综合
【例19】为了激发学生的航天兴趣，学校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题：

(1)本次调查一共随机抽取了_________名学生的成绩，频数分布直方图中_________，所抽取学生成绩的中位数落在_________组；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
(4)学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【例20】某区教科院想了解该区中考数学试题中统计题的得分情况，从甲、乙两所学校各随机抽取了名学生的学生成绩如下．（该题满分10分，学生得分均为整数）甲学校名学生成绩（单位：分）分别为：．乙学校名学生学生成绩的条形统计图如下．
经过对两校这20名学生成绩的整理得下表：
(1)求出表中的、、的值．
(2)该题得分8分及其以上即为优秀，已知甲学校有人，请估算甲学校的优秀人数有多少人?
(3)区教科院的老师计划从甲、乙两校得9分的学生中随机抽取两名学生进行当面谈话，了解统计知识学习情况，请你结合树状图或列表格的方式分析两名学生都来自甲校的概率．
【变式10-1】为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从．“中国天眼”，．“5G时代”，．“夸父一号”，．“巅峰使命”四主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制了不完整的统计图如下请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)九（1）班共有______名学生，并把折线图补充完整；
(2)C所对应扇形圆心角的大小为______﹔
(3)请以九（1）班的统计数据估计全校2000名学生大约有多少人选择D主题；
(4)甲和乙从A，B，C，D四个主题中任选一个主题，请用列表法或画树状图法求出他们选择相同主题的概率．
【变式10-2】农科所为了考察某种水稻穗长的分布情况，在一块试验田里随机抽取了52个谷穗作为样本，量得它们的长度（单位:cm）．对样本数据适当分组后，列出了如下频数分布表：
(1)请你在图1，图2中分别绘出频数分布直方图和频数折线图；
(2)请你对这块试验田里的水稻穗长进行分析；
(3)求这块试验田里穗长在范围内的谷穗的概率．
【变式10-3】某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中的一个类别．根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图．请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)求和的值；
(2)求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数；
(3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的两个开关，小灯泡发光的概率是多少？请你利用树状图或列表的方法解答．
一、单选题
1．（2022上·广东清远·九年级统考期末）已知粉笔盒里只有3支黄色粉笔和2支红色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022下·陕西渭南·九年级统考期末）小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现有5根木棒供他选择，其长度分别为．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
3．（2022上·河北张家口·九年级统考期末）如图，动点从点出发，沿正五边形的边，每次随机顺时针或逆时针跳动1步或2步（每步长度与长相等），则点跳跃两次后，恰好落在点处的概率为（ ）

A．B．C．D．
4．（2022上·云南昆明·九年级统考期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个，下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面四个推断中正确的是（ ）
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．
A．①②B．①③C．②③D．②④
5．（2023上·广西玉林·九年级统考期末）在一个不透明的袋子中有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外的形状、大小、质地完全相同，现随机摸出1个球记下颜色，然后放回摇匀，又随机摸出1个球记下颜色，有下列说法：①第一次摸出是黑球，第二次摸出的球不一定是黑球；②第一次摸出黑球的概率是；③两次都摸到黑球的概率是，则以上说法正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（2023下·全国·九年级期末）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（ ）
A．B．C．D．
7．（2023下·山东菏泽·九年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．投一枚硬币，“正面朝上”的概率不能用列举法计算
C．必然事件发生的概率是1
D．概率很小的事件不可能发生
8．（2022上·浙江舟山·九年级校联考期中）随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法错误的是（ ）
A．抽取100件的合格频数是90B．抽取200件的合格频率是0.95
C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90D．出售2000件毛衫，次品大约有100件
二、填空题
9．（2023下·山东烟台·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．

10．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么
（1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是 ．
（2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是 ．
11．（2023下·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）一个质地均匀的正方形骰子的六个面上分别有到的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次，将朝上一面的点数记为，抛第二次，将朝上一面的点数记为，则点落在直线上的概率为 ．
12．（2023上·湖北随州·九年级统考期末）如图，是一幅长3.2米、宽2米的长方形中国国际进口博览会宣传画．为测量宣传画上熊猫图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在熊猫图案中的频率稳定在常数0.12附近，由此可估计宣传画上熊猫图案的面积为 平方米．
13．（2023下·江西抚州·九年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．

14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）有6张大小形状相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5，6这6个数字，将它们的背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为，能使关于的分式方程的解为正整数的概率是 ．
15．（2023下·上海青浦·八年级统考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ．
16．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，不放回，再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，使得关于的一元二次方程有实数根的概率是 ．
三、解答题
17．（2023下·陕西渭南·九年级统考期末）淘气和笑笑做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下：
(1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率；
(2)笑笑将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数为1的概率；
(3)淘气将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率．
18．（2022上·湖北随州·九年级统考期末）某校为了了解九年级男生的体质锻炼情况，随机抽取部分男生进行1000米跑步测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，其中良好的学生人数占抽取学生总数的，学校绘制了如下不完整的统计图：
(1)求被抽取的合格等级的学生人数，并补全条形统计图；
(2)为了进一步强化训练，学校决定每天组织九年级学生开展半小时跑操活动，并准备从上述被抽取的成绩优秀的学生中，随机选取1名担任领队，小明是被抽取的成绩优秀的一名男生，求小明被选中担任领队的概率；
(3)学校即将举行冬季1000米跑步比赛，预赛分为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组，求某班甲、乙两位选手在预赛中恰好分在同一组的概率是多少？请画出树状图或列表加以说明．
19．（2023上·河南信阳·九年级校联考期末）某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 ___________人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中大约有___________名学生参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或表格求恰好选中一男一女的概率．
20．（2022上·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）某校对九年级学生参加体育“五选一”自选项目测试进行抽样调查，调查学生所报自选项目的情况统计如下：
(1)________，________；
(2)该校有九年级学生350人，请估计这些学生中选“跳绳”的约有多少人？
(3)在调查中选报“铅球”的4名学生，其中有3名男生，1名女生，为了了解学生的训练效果，从这4名学生中随机抽取两名学生进行“铅球”选项测试，请用列举法或树状图法求所抽取的两名学生中恰好有1名男生和1名女生的概率．
21．（2023下·陕西西安·九年级统考期末）有三把不同的钥匙，，和两把不同的锁，，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
(1)随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率是___________；
(2)随机取出一把钥匙开任意一把锁，请利用画树状图或列表的方法，求一次打开锁的概率
22．（2023下·辽宁沈阳·九年级统考期末）一个口袋中装有个白球、个红球，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀，求：
(1)随机摸出一球，发现是白球．
如果将这个白球放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
如果这个白球不放回，再摸出一球，那么它是白球的概率是______ ；
(2)如果将口袋中加入若干个白球，并取出相同数量的红球，然后再从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，请你估计加入______ 个白球．
累计抛掷次数
50
100
200
300
500
1000
2000
3000
5000
盖面朝上次数
28
54
106
158
264
527
1056
1587
2650
盖面朝上频率
0.5600
0.5400
0.5300
0.5267
0.5280
0.5270
0.5280
0.5290
0.530
种子总数
发芽种子数
发芽的频率
组别
极差
平均分
中位数
方差
甲
4
b
8
1.05
乙
7.8
2.46
穗长
频数
4
8
12
13
10
5
类别
频数（人数）
频率
力学
热学
光学
电学
合计
抽取件数（件）
100
150
200
500
800
1000
合格频数
a
141
190
475
764
950
合格频率
0.90
0.94
b
0.95
0.955
0.95
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
15
14
25
20
13
13
自选项目
立定跳远
三级蛙跳
跳绳
实心球
铅球
人数/人
频率