2022-2023学年福建省宁德一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省宁德一中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. x(x−2)=x2−2xB. (x+1)2=x2+2x+1
C. x2−4=(x+2)(x−2)D. x2+2x+4=(x+1)2+3
3.若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x−1y+5C. −2x>−2yD. x24.不等式组−x≥13−x>0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为( )
A. 12B. ±12C. 24D. ±24
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ADB=( )
A. 100°
B. 105°
C. 110°
D. 115°
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=3，则AD的长度为( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
8.如图，在△ABC中，∠BAC=135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E.当点A、D、E在同一条直线上时，下列结论不正确的是( )
A. △ABC≌△DECB. AE=AB+CD
C. AD= 2ACD. AB⊥AE
9.一次函数y1=mx+n与y2=−x+a的图象如图所示，则mx+n<−x+a的解集为( )
A. x>3
B. x<1
C. x<3
D. 010.如图，△ABC的顶点A(−8,0)，B(−2,8)，点C在y轴的正半轴上，AB=AC，将△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′经过点C，则点C′的坐标为( )
A. (74,6)
B. (3,6)
C. (72,6)
D. (4,6)
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.若等腰三角形的两边长分别为6和8，则它的周长为______．
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是______．
13.如图，若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的周长为______．
15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论中正确的是______.(填写序号)
①∠EAF=45°；
②△ABE≌△ACD；
③AE平分∠CAF；
④BE2+DC2=DE2．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解不等式组3(x+2)≥2x+52x−1+3x2<1，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
因式分解：
(1)a(m−2)+b(m−2)；
(2)2a3−4a2+2a．
18.(本小题5分)
如图所示，BD、CE是△ABC的高，且BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形．
19.(本小题5分)
列一元一次不等式解应用题：
夏季将至，某电器经营业主计划购进一批同种品牌的立式和挂式空调共50台，可用于购买这两种空调的资金不超过120000元，已知：每台立式空调采购价为4000元，每台挂式空调采购价为1800元，求该经营业主最多可以购进这种品牌的立式空调多少台？
20.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)将△ABC向下平移5个单位再向左平移1个单位得到△A1B1C1，作出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，作出旋转后的△A2B2C2；
(3)△A2B2C2可由△A1B1C1旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标为______；
(4)将点P(m,2)绕原点O逆时针旋转90°，则点P旋转后对应点P1的坐标为______.(用含m的式子表示)
21.(本小题6分)
在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)在CB上找一点E，使EB=EA；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AC=4，BC=8，求CE的长．
22.(本小题6分)
伴随2022年北京冬奥会的进行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.某单位准备购进吉祥物系列商品冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣共20个.在某官方旗舰店看到冰墩墩毛绒玩具每个180元，雪容融钥匙扣每个70元．
(1)该单位准备用不超过3000元的资金购进冰墩墩毛绒玩具和雪容融钥匙扣，问最多可以购进冰墩墩毛绒玩具多少个？
(2)若购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，求此时所用的最少资金．
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，∠BFD=97°．
(1)求∠ADC的大小；
(2)若∠BDC=7°，BD=3，CD=5，求AD的长．
24.(本小题9分)
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=6，D在线段BC上，E是线段AD的一点.现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
(1)如图1，求证：AE=BF；
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若BF=2，则AF的长为______；
(3)如图3，若∠BAD=15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，则△DEF的面积为______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左至右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义(把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解)是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A.∵x>y，
∴x−1>y−1，故本选项不符合题意；
B.∵x>y，
∴x+5>y+5，故本选项符合题意；
C.∵x>y，
∴−2x<−2y，故本选项不符合题意；
D.∵x>y，
∴x2>y2，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据不等式的性质逐个判断即可．①不等式的性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：−x≥1，解得x≤−1；
解3−x>0，得x<3，
在数轴上表示都向左，故A符合提议，
故选：A．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5.【答案】D
【解析】解：∵(3x±4y)2=9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m=±24．
故选：D．
这里首末两项是3x和4y个数的平方，那么中间一项为加上或减去3x和4y乘积的2倍，进而得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=12(180°−∠A)=75°，
由题意得：BD=BC，
∴∠C=∠BDC=75°，
∴∠ADB=180°−∠BDC=105°，
故选：B．
先根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ABC=∠C=1275°，然后再根据题意可得BD=BC，从而可得∠C=∠BDC=75°，最后利用平角定义，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°−30°=60°，
∵∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°−60°=30°，
在Rt△CDB中，∠BCD=30°，
∴BC=2BD=6，
在Rt△ACB中，∠A=30°，
∴AB=2BC=12，
∴AD=AB−BD=12−3=9，
故选：B．
根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质得到∠BCD=30°，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
8.【答案】B
【解析】解：由旋转的性质可知，△ABC≌△DEC，
故A选项不符合题意；
则∠EDC=∠BAC=135°，且A、D、E三点在同一直线上，
∴∠ADC=45°，
由旋转的性质知CA=CD，
∴∠CAD=∠ADC=45°，
则∠BAD=∠BAC−∠CAD=135°−45°=90°，
∴AB⊥AE，
故D选项不符合题意；
∴△ADC中，∠ACD=180°−45°−45°=90°，
∴AD= 2AC= 2CD，
故C选项不符合题意；
∵△ABC≌△DEC，
∴AB=DE，
∴AE=AD+DE= 2CD+AB，
故B选项符合题意；
故选：B．
根据图形旋转的性质，以及全等图形的基本性质进行逐项分析即可．
本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握基本图形的性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式．
结合函数图象，写出直线y1=mx+n在直线y2=−x+a的下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：根据图象得，当x<3时，y1所以mx+n<−x+a的解集为x<3．
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：过点B作BG⊥x轴于点G，
∵A(−8,0)，B(−2,8)，AB=AC，
∴OA=8，BG=8，OG=2，
∴AG=6，
∵BG2+AG2=AB2，
∴82+62=AB2，
∴AB=10，
∴AC=10，
在Rt△AOC，AC2=OA2+OC2，
∴OC=6，
点C(0,6)；
设直线AB的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴0=−8k+b8=−2k+b，
解得k=43b=323，
∴y=43x+323；
设△ABC向右平移n个单位长度得到△A′B′C′，
∴直线A′B′的解析式为：y=43(x−n)+323，
∵点C(0,6)在直线A′B′上，
∴6=43(0−n)+323，
∴n=72，
∴△ABC向右平移72个单位长度得到△A′B′C′，
∴点C′(72,6)，
故选：C．
过点B作BG⊥x轴于点G，根据AB=AC，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线AB的解析式为：y=kx+b(k≠0)，把A(−8,0)，B(−2,8)代入，求出解析式，根据点C在平移的直线A′B′，即可得解．
本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
11.【答案】20或22
【解析】解：若6是腰长，则三角形的三边分别为6、6、8，
能组成三角形，
周长=6+6+8=20，
若6是底边长，则三角形的三边分别为6、8、8，
能组成三角形，
周长=6+8+8=22，
综上所述，三角形的周长为20或22．
故答案为20或22．
分6是腰长与底边两种情况分情况讨论，再利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
12.【答案】8
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
∵DC⊥AC，CD=2，
∴点D到AB的距离为2，
∴△ABD的面积=12×8×2=8．
故答案为：8．
由作法得AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为2，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
13.【答案】−3
【解析】解：∵点A(0,1)向下平移2个单位，得到点A1(a,−1)，点B(2,0)向左平移1个单位，得到点B1(1,b)，
∴线段AB向下平移2个单位，向左平移1个单位得到线段A1B1，
∴A1(−1,−1)，B1(1,−2)，
∴a=−1，b=−2，
∴a+b=−1−2=−3．
故答案为：−3．
先利用点A平移到A1得到平移的规律，再按此规律平移B点得到B1，从而得到B1点的坐标，于是可求出a、b的值，然后计算a+b即可．
本题考查了坐标与图形变化−平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．(即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．)
14.【答案】7
【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴CD+DB=CD+AD=AC=4，
∴△BCD的周长为：BC+CD+DB=BC+(CD+DB)=3+4=7，
故答案为：7．
根据勾股定理可以求得BC的长，然后根据垂直平分线的性质可以得到DB=DA，即可求得△BCD的周长．
本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是求出BC的长．
15.【答案】①③④
【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，
∴∠FAD=90°，DC=BF，∠FBE=90°，AD=AF，
而∠DAE=45°，
∴∠EAF=90°−45°=45°，
∴△DAE≌△FAE(ASA)，
∴∠DEA=∠FEA，即EA平分∠CEF；
∴EF=ED，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
∴BE2+DC2=DE2，
∴①③④正确，
故答案为：①③④．
△ADC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，根据旋转的性质得到∠FAD=90°，DC=BF，∠FBE=90°，AD=AF，而∠DAE=45°，得到∠EAF=90°−45°=45°，所以①正确；易得△DAE≌△FAE，则∠DEA=∠FEA，即EA平分∠CEF，所以③正确；并且EF=ED，在Rt△BEF中，根据勾股定理即可得到BE2+DC2=DE2，所以④正确．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
16.【答案】解：3(x+2)≥2x+5①2x−1+3x2<1②，
解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x<3，
则不等式组的解集为−1≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
17.【答案】解：(1)a(m−2)+b(m−2)=(m−2)(a+b)；
(2)2a3−4a2+2a
=2a(a2−2a+1)
=2a(a−1)2．
【解析】(1)直接提取公因式(m−2)，进而分解因式即可；
(2)直接提取公因式2a，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式分解因式是解题关键．
18.【答案】证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠CEB=∠BDC=90°，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
BC=CBCE=BD
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与全等三角形的判定与性质．掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
由BD、CE是△ABC的高，且BD=CE，利用HL的判定方法，即可证得Rt△BCE≌Rt△CBD，则可得∠ABC=∠ACB，由等角对等边，即可判定：△ABC是等腰三角形．
19.【答案】解：设该经营业主购进这种品牌的立式空调x台，则购进这种品牌的挂式空调(50−x)台，
根据题意得：4000x+1800(50−x)≤120000，
解得x≤13711，
答：该经营业主最多可以购进这种品牌的立式空调13台．
【解析】根据购买两种空调的资金不超过120000元列出不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，关键是找到不等关系列出不等式．
20.【答案】(2,−3) (−2,m)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)作线段C1C2、B1B2的垂直平分线，交于点D，则旋转中心的坐标为(2,−3)，
故答案为：(2,−3)；
(4)将点P(m,2)绕原点O逆时针旋转90°，则点P旋转后对应点P1的坐标为(−2,m)，
故答案为：(−2,m)．
(1)根据平移的性质可得△A1B1C1；
(2)根据旋转的性质可得△A2B2C2；
(3)根据旋转的性质，作线段C1C2、B1B2的垂直平分线，交于点D，点D即为旋转中心；
(4)根据旋转的性质可得答案．
本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，点E为所作；
(2)设CE=x，则EB=AE=8−x，
在Rt△ACE中，
∵AC2+BC2=AE2，
∴42+x2=(8−x)2，
解得x=3，
即CE的长为3．
【解析】(1)作AB的垂直平分线交BC于点E；
(2)设CE=x，则EB=AE=8−x，利用勾股定理得到42+x2=(8−x)2，然后解方程即可．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22.【答案】解：设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣(20−x)个，
(1)根据题意得：180x+70(20−x)≤3000，
解得x≤14611，
∵x为整数，
∴x最大取14，
答：最多可以购进冰墩墩毛绒玩具14个；
(2)∵购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，
∴20−x≤3x，
解得x≥5，
当x=5时，所用的资金最少为5×180+(20−5)×70=1950(元)，
答：此时所用的最少资金是1950元．
【解析】设购进冰墩墩毛绒玩具x个，则购进雪容融钥匙扣(20−x)个，
(1)根据题意可得：180x+70(20−x)≤3000，解出不等式取最大整数即可；
(2)根据购进雪容融钥匙扣的数量不超过冰墩墩毛绒玩具数量的3倍，得20−x≤3x，解得x范围，即可得到答案．
本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式．
23.【答案】解：(1)∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠AEB=180°−97°−60°=23°，
∴∠ADC=∠AEB=23°；
(2)如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴DE= BE2−BD2= 25−9=4，
∴AD=DE=4．
【解析】(1)由旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，由三角形的内角和定理可求解；
(2)连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE=60°，AD=DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，由勾股定理可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
24.【答案】2 17 3 3−3
【解析】(1)证明：∵△ACB、△ECF都是等腰三角形，
∴CA=CB，CE=CF，∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACB−∠BCE=∠ECF−∠BCE，即∠ACE=∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF；
(2)解：∵CA=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6 2，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CAD=∠DBF，
∵∠ADC=∠BDF，
∴∠ACD=∠DFB=90°，
∴AF= AB2−BF2= (6 2)2−22=2 17，
故答案为：2 17；
(3)如图3，作FH⊥BC于H，
∵∠ACE=∠CAE=30°，
∴AE=EC，
∵△ACE≌△BCF，
∴BF=AE，
∵CF=CE，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠CBF=30°，
∵FC=FB，FH⊥BC，
∴CH=BH=3，FH= 3，CF=BF=2 3，
∵∠CED=∠CAE+∠ACE=60°，∠ECD=90°−30°=60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC=CF=CD=2 3，
∴S△EDF=S△ECD+S△CDF−S△ECF= 34×(2 3)2+12×2 3× 3−12×2 3×2 3=3 3−3，
故答案为：3 3−3．
(1)根据等腰直角三角形的性质得到CA=CB，CE=CF，根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCF，证明△ACE≌△BCF，根据全等三角形的性质证明结论；
(2)根据全等三角形的性质证明∠ACD=∠DFB=90°，再利用勾股定理即可解决问题；
(3)如图3，作FH⊥BC于H，证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，求出CF，FB，FH，根据S△EDF=S△ECD+S△CDF−S△ECF计算即可．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题、学会利用参数构建方程解决问题．