2024年山东省淄博市高青三中中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2024年山东省淄博市高青三中中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(−1)2023的相反数是( )
A. −1B. 1C. −2023D. 2023
2.下列计算正确的是( )
A. (2a−1)2=4a2−1B. a+2a2=3a3
C. 4=±2D. (−a2)3=−a6
3.一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为( )
A. 5°
B. 10°
C. 15°
D. 20°
4.我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？( )
A. 8尺B. 12尺C. 16尺D. 18尺
5.分式方程xx−1−1=3(x−1)(x+2)的解为( )
A. x=1B. x=−1C. 无解D. x=−2
6.一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°B. 100°C. 140°D. 160°
8.小明从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：
①c<0；②abc>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤c−4b>0，
你认为其中正确信息的个数有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为( )
A. (0,2)B. (3,1)C. (1,4)D. (−3,−1)
10.如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y=1x、y=4x上，边BC交y=1x于点E，连接AE，则△ABE的面积为( )
A. 94
B. 34
C. 38
D. 98
11.已知A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，则正数n=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
12.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=24，AB=15，则线段PE的长等于( )
A. 22B. 20C. 18D. 16
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
13.已知a+b=4，a−b=2，则a2−b2的值为 ．
14.如图，l1//l2，∠1=38°，∠2=46°，则∠3的度数为______．
15.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是______.(写出一个即可)
16.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB=3，则光盘的直径是______．
17.如图，已知长方形ABCD顶点坐标为A(1,1)，B(3,1)，C(3,4)，D(1,4)，一次函数y=2x+b的图象与长方形ABCD的边有公共点，则b的变化范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)计算：2−2−4cs30°+|− 12|+(3.14−π)0；
(2)解不等式组：3x+4>5x−2x≥13x−43．
19.(本小题8分)
某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．
根据以上信息解决下列问题：
(1)在统计表中，m=______，n=______，并补全条形统计图．
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______．
(3)若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为−2.直线l2与y轴交于点D．
(1)求直线l2的解析式；
(2)求△BDC的面积．
21.(本小题8分)
为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米?
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元．问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元?
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平∠ABC交AC于点D，O为BA上一点，经过点B，D的⊙O分别交AB，BC于点E，F，连接OF交BD于点G．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)求证：BD2=BA⋅BF；
(3)若AE=5，sinA=35，求BD的长．
23.(本小题8分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD=2BF+DE．
24.(本小题8分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点D(2,−3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值;
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵(−1)2023=−1，−1的相反数是1，
∴(−1)2023的相反数是1．
故选：B．
先求出(−1)2023的值，再确定相反数即可．
本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握−1的奇次方是−1是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、原式=4a2−4a+1，故不合题意；
B、等号左侧两项不是同类项，不能合并，故不合题意；
C、原式=2，故不合题意；
D、原式=−a6，故符合题意；
故选：D．
A、利用完全平方公式计算判断即可；
B、根据合并同类项法则判断即可；
C、根据算术平方根的概念判断即可；
D、根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算判断即可．
此题考查的是完全平方公式、算术平方根、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得：∠ACB=45°，∠F=30°，利用平行线的性质可求∠DCB=30°，进而可求解．
【解答】
解：如图，∠ACB=45°，∠F=30°，
∵BC/​/EF，
∴∠DCB=∠F=30°，
∴∠1=45°−30°=15°，
故选：C．
4.【答案】A
【解析】解：设绳长是x尺，井深是y尺，
依题意得：13x−y=414x−y=1，
解得：x=36y=8，
即井深是8尺．
故选：A．
设绳长为x尺，井深为y尺，根据等量关系：①绳长的13−井深=4尺；②绳长的14−井深=1尺；列出方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：去分母得：x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，
整理得：2x−x+2=3
解得：x=1，
检验：把x=1代入(x−1)(x+2)=0，
所以分式方程的无解．
故选：C．
分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6.【答案】A
【解析】解：方程化为一般式为x2−2x−4=0，
∵Δ=(−2)2−4×(−4)=20>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，从而可判断根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠AOC=160°，
∴∠ADC=12∠AOC=80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−80°=100°，
故选：B．
先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口方向向上，
∴a>0，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴c<0，
∵−b2a=13>0，
∵a>0，
∴b<0，
2a−3b>0，
∴abc>0，
∴①②是正确的，
④对称轴x=−b2a=13，
∴3b=−2a，
∴2a+3b=0，
∴④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，
而点(−1,a−b+c)在第二象限，
∴a−b+c>0是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，
而点(2,c−4b)在第一象限，
∴c−4b>0．
故选：C．
观察图象易得a>0，−b2a=13>0，所以b<0，2a−3b>0，因此abc>0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；
当x=−1，y=a−b+c，由点(−1,a−b+c)在第二象限可以判定a−b+c>0③是正确的；
当x=2时，y=4a+2b+c=2×(−3b)+2b+c=c−4b，由点(2,c−4b)在第一象限可以判定c−4b>0⑤是正确的．
本题考查同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质．
9.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，
∴点B(−3,1)与点B′关于y轴对称，
∴B′(3,1)，
故选：B．
由折叠的性质可求解．
本题考查了翻折变换，轴对称中的坐标变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10.【答案】D
【解析】解：∵点B在y=4x上，
∴设点B的坐标为(a,4a)，
∴点A的纵坐标4a，点E的横坐标为a，
∵点A、点E在y=1x上，
∴A(a4,4a)，E(a,1a)，
∴AB=a−a4=34a，BE=4a−1a=3a，
∴S△ABE=12AB⋅BE=12×3a4×3a=98．
故选：D．
首先根据双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，求得AB，BE，用三角形的面积公式便可求得结果．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
11.【答案】C
【解析】解：∵A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，
∴2020=−(x−h)2+2036，
解得x1=h−4，x2=h+4，
∴A(h−4,2020)，B(h+4,2020)，
∵m=h−4，m+n=h+4，
∴n=8，
故选：C．
由A(m,2020)，B(m+n,2020)是抛物线y=−(x−h)2+2036上两点，可得A(h−4,2020)，B(h+4,2020)，即可得到m=h−4，m+n=h+4，进而即可求得n=8．
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，求得A(h−4,2020)，B(h+4,2020)是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=15，CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，
∴NC=MD=24−15=9，
在Rt△FNC中，FN= CF2−NC2=12，
∴MF=15−12=3，
在Rt△MEF中，设EF=x，则ME=9−x，由勾股定理得，32+(9−x)2=x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠CFN=∠FPG，
∵∠CNF=∠PGF=90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，
设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，
∴GN=PH=BH=12−3m，HN=15−(12−3m)=3+3m=PG=4m，
解得：m=3，
∴PF=5m=15，
∴PE=PF+FE=15+5=20，
故选：B．
根据折叠可得ABNM是正方形，CD=CF=15，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为9，12，15，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG=HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：当a+b=4，a−b=2时，
a2−b2=(a+b)(a−b)=4×2=8．
故答案为：8．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
14.【答案】96°
【解析】解：∵l1/​/l2，
∴∠1+∠3+∠2=180°，
∵∠1=38°，∠2=46°，
∴∠3=96°
故答案为：96°．
根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
15.【答案】−1(答案不唯一)
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=(−2)2−4×1⋅m=4−4m>0，
解得：m<1，
取m=−1，
故答案为：−1．
根据方程的系数结合根的判别式△>0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，在m的范围内选一个即可．
本题考查了根的判别式，熟记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
16.【答案】6 3
【解析】解：如图，设三角板与圆的切点为C，连接OA，OB，
∴OB⊥AB，
由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∵∠BAC=180°−60°=120°，
∴∠OAB=60°，
在Rt△OAB中，OB= 3AB=3 3，
∴光盘的直径为6 3．
故答案为6 3．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
设三角板与圆的切点为C，连接OA，OB，利用切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，则可计算出∠OAB=60°，然后在Rt△OAB中利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB，从而得到光盘的直径．
17.【答案】−5≤b≤2
【解析】解：由直线y=2x+b随b的数值不同而平行移动，知当直线通过点D时，得b=2；
当直线通过点B时，得b=−5．
则b的范围为−5≤b≤2．
故答案为：−5≤b≤2．
由于一次函数y=2x+b的图象与长方形ABCD的边有公共点，观察图象可知，公共点最左端是D点，最右端是B点，于是把D、B的坐标代入分别求得b值即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系以及矩形的性质；在直线的平行移动过程中，按题意找出直线经过的关键点是解题的关键．
18.【答案】解：(1)原式=14−4× 32+2 3+1=54；
(2)3x+4>5x−2①x≥13x−43②，
由①得：x<3，
由②得：x≥−2，
则不等式组的解集为−2≤x<3．
【解析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】(1)30 20 (2) 90°
(3)“听写正确的个数少于24个”的人数有：10+15+25=50 (人)．
900×50100=450 (人)．
答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人．
【解析】解：(1)抽查的总人数是：15÷15%=100(人)，
则m=100×30%=30，
n=100×20%=20．
．
故答案是：30，20；
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是：360°×25100=90°．
故答案是：90°；
(3)见答案
【分析】
(1)根据B组有15人，所占的百分比是15%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；
(2)利用360度乘以对应的比例即可求解；
(3)利用总人数900乘以对应的比例即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20.【答案】解：(1)把x=2代入y=12x，得y=1
∴A的坐标为(2,1)
∵将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3
∴直线l3的解析式为y=12x−4
∴x=0时，y=−4
∴B(0,−4)
将y=−2代入y=12x−4，得x=4
∴点C的坐标为(4,−2)
设直线l2的解析式为y=kx+b
∵直线l2过A(2,1)、C(4,−2)
∴2k+b=14k+b=−2
解得k=−32b=4
∴直线l2的解析式为y=−32x+4
(2)∵y=−32x+4
∴x=0时，y=4
∴D(0,4)
∵B(0,−4)
∴BD=8
∴△BDC的面积=12×8×4=16
【解析】(1)把x=2代入y=12x，得y=1，求出A(2,1)，根据平移规律得出直线l3的解析式为y=12x−4，求出B(0,−4)、C(4,−2)，设直线l2的解析式为y=kx+b，将A、C两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线l2的解析式。
(2)根据直线l2的解析式求出D(0,4)，得出BD=8，再利用三角形的面积公式即可求出△BDC的面积。
21.【答案】解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意得
3x+5y=1654x+7y=225
解得：x=30y=15
∴每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12−m)台．
根据题意得
W=4×300m+4×180(12−m)=480m+8640
∵4×30m+4×15(12−m)≥10804×300m+4×180(12−m)≤12960
∴解得m≥6m≤9
∵m≠12−m，解得m≠6
∴7≤m≤9
∴共有三种调配方案，
方案一：当m=7时，12−m=5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台，
费用为；4×300×7+4×180×5=12000元；
方案二：当m=8时，12−m=4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
4×300×8+4×180×4=12480元；
方案三：当m=9时，12−m=3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台．
4×300×9+4×180×3=12960元；
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元．
【解析】(1)根据题意列出方程组即可；
(2)利用总费用不超过12960元求出方案数量，再利用一次函数增减性求出最低费用．
本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解答时先根据题意确定自变量取值范围，再运算解答问题．
22.【答案】(1)证明：如图1，连接OD，则OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD//BC，
∴∠ODA=∠C=90°，
∵点D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
(2)证明：如图2，

连接OD，DF，EF，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BFE=90°=∠C，
∴EF/​/AC，
∴∠A=∠BEF，
∵∠BEF=∠BDF，
∴∠A=∠BDF，
由(1)知，∠ABD=∠DBF，
∴△BAD∽△BDF，
∴BABD=BDBF，
∴BD2=BA⋅BF；
(3)解：如图3，

连接OD，由(1)知，OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
设⊙O的半径为R，则OB=OD=OE=R，
∵AE=5，
∴OA=AE+OE=5+R，
在Rt△ADO中，sinA=35，
∴sinA=ODAO=R5+R=35，
∴R=152，
∴BE=2OE=15，AB=AE+2OE=20，
连接EF，
由(2)知，∠BEF=∠A，∠BFE=∠C=90°，
∴sin∠BEF=sinA=35，
在Rt△BFE中，sin∠BEF=BFBE=BF15=35，
∴BF=9，
由(2)知，BD2=AB⋅BF=20×9=180，
∴BD=6 5．
【解析】(1)先判断出OD/​/BC，得出∠ODA=90°，即可得出结论；
(2)先判断出∠BEF=∠A.再判断出∠BEF=∠BDF，进而得出∠A=∠BDF，进而判断出△BAD∽△BDF，即可得出结论；
(3)先利用三角函数求出⊙O的半径，进而求出BE，AB，再判断出∠BEF=∠A，进而利用三角函数求出BF，最后借助(2)的结论即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
即△ABC≌△ADE；
(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
24.【答案】解：(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式并解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2−2x−3…①．
(2)如图1，设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得
直线PD的表达式为y=mx−3−2m，则OG=3+2m>0，
S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3，其中xD、xP分别为点D、P的横坐标，
∵−1<0，故S△POD有最大值，当m=14时，其最大值为4916．
(3)如图2，∵OB=OC=3，∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠ABC=∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：
①当∠ACB=∠BOQ时，
AB=4，BC=3 2，AC= 10，
过点A作AH⊥BC与点H，
S△ABC=12×AH×BC=12AB×OC，解得AH=2 2，
则sin∠ACB=AHAC=2 5，则tan∠ACB=tan∠BOQ=2，
则直线OQ的表达式为y=−2x…②，
联立①②并解得x=± 3(舍去负值)，
故点Q( 3,−2 3)
②∠BAC=∠BOQ时，
tan∠BAC=OCOA=31=3=tan∠BOQ，
则直线OQ的表达式为y=−3x…③，
联立①③并解得x=−1+ 132，
故点Q(−1+ 132,3−3 132)，
综上，点Q( 3,−2 3)或(−1+ 132,3−3 132).
【解析】(1)设函数的表达式为y=a(x+1)(x−3)，将点D坐标代入上式，即可求解；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点P(m,m2−2m−3)，将点P、D的坐标代入一次函数表达式y=sx+t并解得直线PD的表达式，由S△POD=12×OG(xD−xP)=12(3+2m)(2−m)=−m2+12m+3可求解；
(3)分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、锐角三角函数、三角形相似的性质、三角形面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．组别
正确字数x
人数
A
0≤x<8
10
B
8≤x<16
15
C
16≤x<24
25
D
24≤x<32
m
E
32≤x<40
n