高中数学一轮复习考点规范练：第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入27 Word版含解析

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1.对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是( )

A.|a·b|≤|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
2.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( )
A.-1B.0C.1D.2
3.(2016山西孝义模拟)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,(a+b)·b=0,则向量a,b的夹角为( )
A.30°B.60°C.150°D.120°
4.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为( )
A.B.C.5D.13
5.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )
A.B.2C.5D.10
6.(2016山东昌乐二中模拟)在△ABC中,AB边的高为CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,则=( )
A.a-bB.a-b
C.a-bD.a-b
7.(2016河南郑州三模)已知P是双曲线-y2=1上任意一点,过点P分别作曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则的值是( )
A.-B.
C.-D.不能确定〚导学号37270322〛
8.已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为 .
9.设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x= .
10.(2016内蒙古包头一模)设e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,若a=e1+λe2与b=2e1-3e2垂直,则λ= .
11.(2016山东昌乐二中模拟)已知|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9.
(1)求向量a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|及向量a在a+b方向上的投影.
能力提升
12.(2016山东,理8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cs=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4B.-4C.D.-
13.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为( )
A.B.C.D.〚导学号37270323〛
14.已知,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且,则的最大值等于( )
A.13B.15C.19D.21〚导学号37270324〛
15.
(2016河南驻马店期末)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则的值是 .
16.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是 .〚导学号37270325〛
高考预测
17.已知非零向量a,b满足|a|=2,且|a+b|=|a-b|,则向量b-a在向量a方向上的投影是 .
参考答案
考点规范练27 平面向量的数量
积与平面向量的应用
1.B 解析 A项,设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cs θ≤|a||b|,所以不等式恒成立;
B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时, |a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;
C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;
D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.
综上,选B.
2.B 解析 由已知得|a|=|b|=1,a与b的夹角θ=60°,
∴(2a-b)·b=2a·b-b2
=2|a||b|cs θ-|b|2
=2×1×1×cs 60°-12=0,故选B.
3.D 解析 设向量a,b的夹角为θ,则(a+b)·b=a·b+b2=|a|·|b|cs θ+|b|2=0,
即2×1×cs θ=-1,故cs θ=-
又θ∈[0°,180°],故θ=120°,故选D.
4.B 解析 由题意得2×6+3x=0,x=-4.|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=
5.C 解析 依题意得,=1×(-4)+2×2=0,四边形ABCD的面积为|||==5.
6.D 解析 ∵a·b=0,
∵|a|=1,|b|=2,∴AB=
又CD⊥AB,∴由射影定理,得AC2=AD·AB.
∴AD=
)
=(a-b),故选D.
7.A 解析 设P(m,n),则-n2=1,即m2-3n2=3.由双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x.
则由
解得交点A;
由
解得交点B
,
,
则=-=-=-
8 解析 设a与b的夹角为θ,则cs θ=,且两个向量夹角范围是[0,π],∴所求的夹角为
9.- 解析 ∵a⊥b,∴a·b=x+2(x+1)=0,解得x=-
10 解析 ∵e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=
∵(e1+λe2)⊥(2e1-3e2),
∴(e1+λe2)·(2e1-3e2)=2+(2λ-3)e1·e2-3=2+(2λ-3)-3λ=0.
∴λ=
11.解 (1)因为|a|=2,|b|=1,(2a-3b)·(2a+b)=9,
所以4a2-3b2-4a·b=9,即16-8cs θ-3=9.所以cs θ=
因为θ∈[0,π],所以θ=
(2)由(1)可知a·b=|a||b|cs=1,所以|a+b|=,a·(a+b)=a2+a·b=5.
所以向量a在a+b方向上的投影为
12.B 解析 由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cs+|n|2=t×3k×4k+(4k)2=4tk2+16k2=0.
所以t=-4,故选B.
13.B 解析 因为=+,
所以||2=|+|2.
所以=λ2||2+μ2||2+2λ
因为AB=1,AD=,AB⊥AD,
所以=λ2+3μ2.
又=λ2+3μ2≥2,
所以(λ+)2=+2所以λ+的最大值为,当且仅当λ=,μ=时等号成立.
14.A 解析 以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
则A(0,0),B,C(0,t),
=(1,0),=(0,1),
=(1,0)+4(0,1)=(1,4),
∴点P的坐标为(1,4),=(-1,t-4),
=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.
当且仅当=4t,即t=时等号成立,的最大值为13.
15.22 解析 =3,
又AB=8,AD=5,
=||2-|2=25--12=2.
=22.
16 解析 设a与b的夹角为φ,由已知得φ=60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).
设e=(cs α,sin α),
则|a·e|+|b·e|=|cs α|+|cs α+sin α|
≤|cs α|+|cs α|+|sin α|=2|cs α|+|sin α|,
当cs α与sin α同号时等号成立.
所以2|cs α|+|sin α|=|2cs α+sin α|=
=|sin(α+θ)|
显然|sin(α+θ)|
易知当α+θ=时,|sin(α+θ) |取最大值1,此时α为锐角,sin α,cs α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为
17.-2 解析 ∵|a+b|=|a-b|,
∴a⊥b,即a·b=0.
∴(b-a)·a=a·b-a2=-4.
∴向量b-a在向量a方向上的投影为=-2.